2022-2023学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数中，y是x的一次函数的是( )
A. y=x2−5B. y=3C. y=kx+bD. y=x−1
2. 直线y=−2x+1一定经过的象限是( )
A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限
C. 二、三、四象限D. 一、三、四象限．
3. 下列方程中，有实数根的是( )
A. x2−x+4=0B. x−3+2=0C. x+2=−xD. xx2−1=1x2−1
4. 下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 在十进制中，1+1=2
B. 在实数中任取一个数，这个数的平方小于0
C. 任意画一个三角形是等腰三角形
D. 掷一枚骰子，点数为4的一面朝上
5. 如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中错误的是( )
A. AC与BC是相反向量B. CA与BC是相等向量
C. AC与AB是平行向量D. AC+BC=0
6. 已知四边形ABCD中，AB//CD，AC=BD，下列判断中一定正确的是( )
A. 如果AD//BC，那么四边形ABCD是菱形
B. 如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形
C. 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形
D. 如果BC=AD，那么四边形ABCD是等腰梯形
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 方程x3−27=0的根是______．
8. 已知一次函数f(x)=12x+3，那么f(−4)= ______ ．
9. 如图，直线y=kx+b经过点(−2,0)和(0,1)，那么关于x的不等式kx+b>0的解集为______ ．
10. 用换元法解方程3xx2−1−x2−1x=2，如果设y=xx2−1，那么原方程可以化为关于y的整式方程为______ ．
11. 如果一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的边数为______．
12. 从1，2，4这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数，那么组成的两位数是奇数的概率为______ ．
13. 书香相伴，香满校园，某校学生9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，如果每月借阅图书数量的增长率相同，设这个增长率为x，那么根据题意可列方程为______ ．
14. 用一根20cm长的绳子围成一个矩形，使其相邻两边的长度比为3：2，那么这个矩形的面积为______ cm2
15. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE=AB，则∠EBC= ______ ．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．OA=a,DO=b时那么向量DC用向量a,b表示为______ ．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF=3，则AD的长为______ ．
18. 如图，平行四边形ABCD中，BC=4，∠B=30°，∠ACB=45°，将△ABC沿着AC翻折，点B的对应点为点E，连接DE，那么线段DE= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
解方程： 5−x−1=x
20. (本小题6.0分)
解方程组：2x−y=6①x2−xy−2y2=0②．
21. (本小题6.0分)
甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
(1)求如图所示的y与x的函数解析式(不要求写出定义域)；
(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
22. (本小题6.0分)
A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地.求汽车原计划的速度．
23. (本小题8.0分)
已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF//AB分别交AC、BC于点E、F．
(1)求证：四边形ABFD是菱形；
(2)如果∠BAD=2∠ADC，求证：AC=DF．
24. (本小题8.0分)
如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与y轴交于点A，且与直线CD交于点B(m,2)，直线CD与x轴、y轴分别交于点D、C，点C的坐标为(0,−2)．
(1)求△ABC的面积；
(2)过点A作BC的平行线交x轴于点E，
①求点E的坐标；
②点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D，E.P，Q为顶点，且以DE为边的平行四边形的面积等于△ABC的面积，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．
25. (本小题12.0分)
在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=4，BC=6，DC=2 10，点E是射线AB上一点(不与点A、B重合)，联结DE，过点E作EF⊥DE交射线CB于点F，联结DF.设AE=x，FC=y．

(1)求AB的长；
(2)如图，当点E在线段AB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)如果△DFC是以DF为腰的等腰三角形，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、自变量x的次数是2，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、自变量x的系数k可能为0，故此选项不符合题意；
D、是一次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
根据一次函数的定义判断即可．
本题主要考查了一次函数的定义，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫一次函数，掌握一次函数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵k=−2<0，b=1>0，
∴直线y=−2x+1经过第一、二、四象限，
故选：B．
根据k、b的符号确定直线y=−2x+1所经过的象限即可．
本题考查了一次函数图象的性质，熟知：对于直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，当k>0，b>0时，直线y=kx+b经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，直线y=kx+b经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，直线y=kx+b经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，直线y=kx+b经过第二、三、四象限．
3.【答案】C
【解析】解：A.x2−x+4=0，
这里a=1，b=−1，c=4，
b2−4ac=(−1)2−4×1×4=−15<0，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B. x−3+2=0，
x−3=−2，
x−3是非负数，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C. x+2=−x，
方程两边平方得：x+2=x2，
x2−x−2=0，
解得：x=2和x=−1，
经检验x=2不是原方程的解，x=−1是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项符合题意；
D.xx2−1=1x2−1，
方程两边都乘x2−1，得x=1，
经检验x=1不是方程的解，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据根的判别式即可判断选项A；求出 x−3=−2，根据算术平方根的非负性即可判断选项B；方程两边平方得出x+2=x2，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；去分母后求出x=1，再进行检验，即可判断选项D．
本题考查了解一元二次方程，解无理方程和解分式方程等知识点，能选择适当的方法求方程的解是解此题的关键，注意：解无理方程和解分式方程都要进行检验．
4.【答案】A
【解析】解：A、在十进制中，1+1=2，是必然事件，符合题意；
B、在实数中任取一个数，这个数的平方小于0，是不可能事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形是等腰三角形，是随机事件，不符合题意；
D、掷一枚骰子，点数为4的一面朝上，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】D
【解析】解：∵点C是线段AB的中点，
∴ AC与BC是相反量，CA与BC是相等向量，AC与AB是平行向量，AC+BC=0，
∴选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．
本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B.∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
C.根据AC平分BD，AB//CD和AC=BD不能证明四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D.∵AB//CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定和正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定和正方形的判定等知识点，能熟记平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形和正方形的判定是解此题的关键．
7.【答案】x=3
【解析】解：x3−27=0，
x3=27，
x=327=3，
故答案为：x=3．
先移项，再开立方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
8.【答案】1
【解析】解：∵一次函数f(x)=12x+3，
∴f(−4)=12×(−4)+3=−2+3=1，
故答案为：1．
根据一次函数f(x)=12x+3，可以计算出f(−4)的值．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数值．
9.【答案】x>−2
【解析】解：根据函数图象可知，
∴关于x的不等式kx+b>0的解集为x>−2．
故答案为：x>−2．
结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】3y2−2y−1=0
【解析】解：设y=xx2−1，
则原分式方程可化为：3y−1y=2，
去分母得：3y2−1=2y，
即3y2−2y−1=0，
故答案为：3y2−2y−1=0．
结合已知条件，利用换元法将原分式方程换元后并化为整式方程即可．
本题考查换元法解分式方程，换元法是解方程的常用方法，必须熟练掌握．
11.【答案】10
【解析】解：360°÷36°=10．
故这个多边形的边数为10．
故答案为：10．
根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有6种等可能出现的结果，其中奇数的有2种，
所以组成的两位数是奇数的概率是26=13，
故答案为：13．
用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
13.【答案】500(1+x)2=845
【解析】解：根据题意得：500(1+x)2=845．
故答案为：500(1+x)2=845．
利用11月份借阅图书数量=9月份借阅图书数量×(1+每月借阅图书数量的增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：设较长边为3x，则较短边为2x，根据平行四边形的性质可知对边相等，
∴3x+3x+2x+2x=20，解得x=2．
∴3x=6，2x=4．
∴这个矩形的面积为4×6=24(cm2).
故答案为：24．
根据矩形的对边相等，可设较长边为3x，则四条边均可用x表示，根据四条边之和为20构造方程求解．
本题主要考查了矩形的性质，根据已知构造方程是解题的捷径．
15.【答案】22.5°
【解析】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠ECB=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为22.5°．
由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠ECB=90°，故能求出∠EBC．
本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．
16.【答案】b−a．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵DC=DO+OC，
∴DC=b−a．
故答案为：b−a．
理由平行四边形的性质以及三角形法则求解．
本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】6
【解析】解：∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=12CD，
∴CD=6，
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，
∴AD=CD=6．
故答案为：6．
由题意知，EF是△ACD的中位线，则EF=12CD，CD=6，由∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，可知AD=CD，进而可得结果．
本题考查了三角形的中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18.【答案】6 2−2 6
【解析】解：设CE交AD于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=4，∠B=30°，∠ACB=45°，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∴∠CAD=∠ACB=45°，
由翻折得EC=BC=4，∠ACE=∠ACB=45°，∠AEC=∠B=30°，
∴∠ACE=∠CAD=45°，∠DFE=∠AFE=∠AFC=90°，AD=EC，
∴AF=CF，AE=2AF，
∴EF= AE2−AF2= (2AF)2−AF2= 3AF= 3CF，
∴CF+ 3CF=CF+EF=EC=4，
∴CF=2 3−2，
∵AD−AF=EC−CF，
∴DF=EF=EC−CF=4−(2 3−2)=6−2 3，
∴DE= DF2+EF2= 2EF2= 2EF= 2×(6−2 3)=6 2−2 6，
故答案为：6 2−2 6．
设CE交AD于点F，由四边形ABCD是平行四边形，BC=4，∠B=30°，∠ACB=45°，得AD//BC，AD=BC=4，则∠CAD=∠ACB=45°，由翻折得EC=BC=4，∠ACE=∠ACB=45°，∠AEC=∠B=30°，则∠DFE=∠AFE=∠AFC=90°，AD=EC，AF=CF，AE=2AF，由勾股定理得EF= 3AF= 3CF，可求得CF=2 3−2，则DF=EF=EC−CF=6−2 3，所以DE= 2EF=6 2−2 6，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解： 5−x−1=x，
5−x=1+x，
5−x=(1+x)2，
5−x=1+2x+x2，
x2+3x−4=0，
(x+4)(x−1)=0，
x+4=0或x−1=0，
x=−4或x=1，
检验：当x=−4时， 5−x=1+x=−3<0，不符合题意，所以舍去．
当x=1时， 5−x=1+x=2，符合题意．
所以原方程的解为：x=1．
【解析】先把无理方程转化为一元二次方程，然后进行求解．
本题主要考查了无理方程的知识、一元二次方程的知识，难度不大，转换成一元二次方程是解答的关键．
20.【答案】解：由①得：y=2x−6，
把y=2x−6代入②得：x2−x(2x−6)−2(2x−6)2=0，
整理，得：x2−6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4；
当x=2时，y=2×2−6=−2；
当x=4时，y=2×4−6=2；
∴方程组的解为：x=2y=−2或x=4y=2．
【解析】利用代入消元法，将方程组转化为一元二次方程，进行求解即可．
本题考查解二元二次方程组．熟练掌握消元法以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设y=kx+b，
则有b=400100k+b=900，
解得k=5b=400，
∴y=5x+400．
(2)绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，
∵6300<6400
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；
本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．
22.【答案】解：设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千米/时，
根据题意得：360x−360x+20=3，
整理得：x2+20x−2400=0，
解得：x1=40，x2=−60，
经检验，x1=40，x2=−60均为所列方程的解，x1=40符合题意，x2=−60不符合题意，舍去．
答：汽车原计划的速度为40千米/时．
【解析】设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千米/时，利用时间=路程÷速度，结合实际比原计划提前3小时到达B地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵AD//BC，DF//AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB//DF，
∴∠FDB=∠ABD，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FB=FD，
∴四边形ABFD是菱形．
(2)连接AF，
∵四边形ABFD是菱形，
∴∠BAD=2∠DAF，
∵∠BAD=2∠ADC，
∴∠DAF=∠ADC，
∵CF//AD，
∴四边形ADCF是等腰梯形，
∴AC=DF．
【解析】(1)AD//BC，DF//AB，得到四边形ABFD是平行四边形，由角平分线定义，平行线的性质推出∠FDB=∠FBD，得到FB=FD，即可证明问题；
(2)连接FA，由菱形的性质得到∠BAD=2∠DAF，又∠BAD=2∠ADC，因此∠DAF=∠ADC，推出四边形ADCF是等腰梯形，即可证明AC=DF．
本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出FB=FD；由菱形的性质推出四边形ADCF是等腰梯形．
24.【答案】解：(1)∵直线y=x+4与y轴交于点A，
∴A(0,4)，
∵C(0,−2)，
∴AC=6，
把点B(m,2)代入y=x+4得，2=m+4，
解得m=−2，
∴B(−2,2)，
∴S△ABC=12×6×2=6；
(2)①∵B(−2,2)，C(0,−2)，
∴设直线BC为y=kx−2，
代入点B的坐标得，2=−2k−2，
解得k=−2，
∴直线BC为y=−2x−2，
∵AE//BC，
∴直线AE为y=−2x+4，
令y=0，则−2x+4=0，解得x=2，
∴E(2,0)；
②把y=0代入y=−2x−2得，−2x−2=0，
解得x=−1，
∴D(−1,0)，
∴DE=3，
∵以DE为边的平行四边形的面积等于△ABC的面积，
∴DE⋅yP=6，
∴yP=2，
把y=2代入y=x+4得，2=x+4，
解得x=−2，
∴P(−2,2)，
∵PQ=DE=3，
∴Q(−5,2)或(1,2)．
【解析】(1)根据直线y=x+4求得A，B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积；
(2)①利用待定系数法求得直线BC的解析式，根据平行线的系数特征即可求得直线AE的解析式，令y=0，求得x的值，即可求得E点的坐标；
②根据题意求得P点的纵坐标，进一步求得P点的坐标，然后根据平行四边形的性质PQ=DE=3，即可求得Q点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，平行线的系数特征，平行四边形的性质，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，
如图1，过点D作DG⊥BC于点G，
∴∠A=∠B=∠DGB=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG=AB，BG=AD=4，
∵BC=6，
∴CG=BC−BG=2，
∵DC=2 10，
∴DG= DC2−CG2=6，
∴AB=6；
(2)如图1，当点E在线段AB上时，
∵AE=x，FC=y，
∴BE=AB−AE=6−x，BF=BC−CF=6−y，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠AED=90°−∠FEB=∠BFE，
∴△ADE∽△BEF，
∴ADBE=AEBF，
∴46−x=x6−y，
∴y=14x2−32x+6，
∴y与x之间的函数解析式为y=14x2−32x+6，自变量x的取值范围0
(3)当△DFC是以DF为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当DF=DC，如图1，
∴FG=CG=2，
∴y=CF=2CG=4，
∴y=14x2−32x+6=4，
整理得x2−6x+8=0，
∴x1=2，x2=4，
∴AE的长为2或4；
当DF=CF=y，如图2，过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥CD于点H，
∴∠DGC=∠FHC=90°，CH=DH=12CD= 10，
由(1)知：CG=2，
∴csC=CGCD=CHCF，
∴22 10= 10y，
∴y=10，
∴y=14x2−32x+6=10，
整理得x2−6x−16=0，
∴x1=8，x2=−2(不符合题意，舍去)，
∴AE的长为8，
综上所述：AE的长为2或4或8．
【解析】(1)过点D作DG⊥BC于点G，得四边形ABGD是矩形，然后利用勾股定理即可解决问题；
(2)结合(1)证明△ADE∽△BEF，得ADBE=AEBF，进而可得y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；
(3)当△DFC是以DF为腰的等腰三角形时，分两种情况：当DF=DC，如图1，当DF=CF=y，如图2，过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥CD于点H，结合(2)的y与x之间的函数解析式，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，二次函数，一元二次方程，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．