专题7电磁感应中的电路、电荷量问题-2023-2024学年高二物理同步导与练（人教2019选择性必修第二册 ）

第二章 电磁感应专题7 电磁感应中的电路、电荷量问题【核心素养目标】知识点一　电磁感应中的电路问题【重难诠释】处理电磁感应中电路问题的一般方法1．明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路．2．画等效电路图，分清内、外电路．3．用法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)或E＝Blvsin θ确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极．4．运用闭合电路的欧姆定律、串并联电路特点、电功率等公式求解．【典例精析】例1．如图甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω，在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻．把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．求：(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；(2)t＝5 s时，电阻两端的电压U.【答案】(1)1 V　(2)3.2 V【解析】　(1)根据法拉第电磁感应定律可得E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S由题图乙可知，0～4 s内，eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(0.4－0.2,4) T/s＝0.05 T/s解得E＝1 V.(2)由题图乙知，4～6 s内，eq \f(ΔB′,Δt′)＝eq \f(0.4,2) T/s＝0.2 T/s根据法拉第电磁感应定律有E′＝neq \f(ΔΦ′,Δt′)＝neq \f(ΔB′,Δt′)S＝4 V根据闭合电路的欧姆定律有I′＝eq \f(E′,R＋r)＝eq \f(4,4＋1) A＝0.8 A则电阻两端的电压U＝I′R＝0.8×4 V＝3.2 V.例2．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　)【答案】　B【解析】　磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压：U＝eq \f(1,4)E＝eq \f(Blv,4)，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压：U′＝eq \f(3,4)E＝eq \f(3Blv,4)，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项．【规律方法】1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极．知识点二　电磁感应中的电荷量问题【重难诠释】闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt)·eq \f(1,R总)·Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．【典例精析】例3．如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外．若此过程中流过两线框的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为(　　)A．1∶4 B．1∶2C．1∶1 D．不能确定【答案】　B【解析】　设闭合线框的边长为L，则流过线框的电荷量为Q＝IΔt＝eq \f(E,R)Δt＝eq \f(ΔΦ,RΔt)Δt＝eq \f(B·ΔS,R)＝eq \f(BL2,R)，R＝ρeq \f(4L,S横)，则Q＝eq \f(BS横L,4ρ)，则eq \f(Qa,Qb)＝eq \f(La,Lb)＝eq \f(d,2d)＝eq \f(1,2)，故选B.例4．物理实验中，常用一种叫作“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可得出被测磁场的磁感应强度为(　　)A.eq \f(qR,S) B.eq \f(qR,nS) C.eq \f(qR,2nS) D.eq \f(qR,2S)【答案】C【解析】　由题意知q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R)·Δt＝eq \f(n\f(ΔΦ,Δt),R)Δt＝neq \f(ΔΦ,R)＝neq \f(2BS,R)，则B＝eq \f(qR,2nS)，故C正确．针对训练一、单选题1．两根足够长的光滑导轨竖直放置，底端接电阻。将金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与匀强磁场垂直，如图所示。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则（　　）A．释放瞬间金属棒的加速度小于重力加速度B．金属棒向下运动时，流过电阻的电流方向为C．电路产生的总热量等于金属棒重力势能的减少D．金属棒不会回到初始位置【答案】D【解析】A．金属棒释放瞬间，速度为零，感应电流为零，由于弹簧处于原长状态，因此金属棒只受重力作用，故其加速度的大小为g，故A错误；B．根据右手定则可知，金属棒向下运动时，流过电阻R电流方向为，故B错误；C．当金属棒下落到最底端时，重力势能转化为弹性势能和焦耳热，所以电路总热量小于金属棒重力势能的减少，故C错误；D．由于运动过程中，金属棒向下运动和向上运动的过程中，安培力做负功，根据能量守恒定律，最终金属棒静止时，弹簧的拉力等于金属棒的重力，则金属棒不会回到原来的位置，停在初位置的下方，故D正确。故选D。2．如图所示，螺线管匝数匝，横截面积，螺线管导线电阻，电阻，磁感应强度B的图像如图所示（以向右为正方向），下列说法正确的是（　　）A．通过电阻R的电流方向是从A到C B．感应电流的大小保持不变为1.2AC．电阻R的电压为4.8V D．C点的电势为3.2V【答案】D【解析】A．根据楞次定律，结合原磁场的方向向右，且大小增加，可知电阻的电流方向是从C到A，A错误；B．根据法拉第电磁感应定律感应电流大小为即感应电流大小保持不变为0.8A，B错误；C．根据欧姆定律，电阻两端的电压为C错误；D．由上分析知螺线管左端是正极，电阻两端的电压为C点的电势为，D正确。故选D。3．如图所示，闭合矩形导体线圈从静止开始竖直下落，穿过一个匀强磁场区域，此磁场区域竖直方向的长度远大于矩形线圈边的长度，不计空气阻力，则（　　）A．边刚进入磁场时与边刚穿出磁场时线框中的感应电流的方向相同B．线框从上端进入磁场的过程和从下端离开磁场的过程中，通过导体横截面的电量数值相等C．从线圈边进入磁场到边穿出磁场的整个过程中，加速度一直等于重力加速度D．边刚进入磁场时线圈内感应电流的大小，与边刚穿出磁场时感应电流的大小一定相等【答案】B【解析】A．根据右手定则，dc刚进入磁场时线圈内感应电流的方向从d到c，dc边刚穿出磁场时感应电流的方向从c到d，即电流方向相反，故A错误；B．根据线框从上端进入磁场的过程和从下端离开磁场的过程中，磁通量变化大小相等，则通过导体横截面的电量数值相等，故B正确；C．没有感应电流的时候，磁场对线圈没有阻碍作用，此时的加速度等于重力加速度，进入磁场和穿出磁场的过程中，根据楞次定律可知，线圈均受到阻碍下落的安培力，故进入磁场和穿出磁场的过程中加速度小于g，故C错误；D．根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得边刚进入磁场时与边刚穿出磁场时，若线圈的速度大小不相等，则边刚进入磁场时与边刚穿出磁场时，感应电流的大小不相等，故D错误。故选B。4．如图所示，等边三角形金属框的一个边与有界磁场边界平行，金属框在外力作用下以垂直于边界的速度匀速进入磁场，则线框进入磁场的过程中，线框中的感应电流i、外力大小、线框中电功率的瞬时值、通过导体某横截面的电荷量与时间的关系可能正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】A．设为线框原长为L0，则切割磁感线的有效长度为感应电流为可知，感应电流随时间均匀减小，A错误；B．金属框匀速运动，外力与安培力平衡，外力大小为可知，外力随时间的图像为曲线，B错误；C．电功率为可知，电功率随时间减小，且斜率逐渐变小，C正确；D．根据，，得磁场通过线框的有效面积随时间变化关系为得可知，通过导体某横截面的电荷量随时间增大，且斜率逐渐减小，D错误。故选C。5．如图所示，平面的第一象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界与轴成角，边长为的正方形金属框MNPQ中心位于磁场边界上，电阻为R。现使金属框匀速向右运动至完全进入磁场过程中，下列说法正确的是（　　）A．金属框中感应电流的大小和方向都不变B．金属框中磁通量的变化率变大C．金属框中感应电动势的变化率不变D．通过金属框的电荷量为【答案】C【解析】ABC．金属框运动过程中，根据楞次定律可知金属框磁通量增加，产生的感应电流方向一直为逆时针。只有边和边切割磁感线，若金属框速度为，运动时间为。根据右手定则和电磁感应定律可判断产生的电动势为根据几何关系可知整理可得故感应电动势的变化率为不变。根据可知随时间变小，故感应电流大小也随时间变小。根据可知磁通量的变化率也随时间减小，故AB错误、C正确；D．通过金属框的电荷量为故D错误。故选C。6．abcd是一个用粗细均匀的电阻丝围成的正方形单匝线框，边长为L，每边电阻为R，匀强磁场与线框所在平面垂直，如图所示，磁感应强度大小为B，线框在外力作用下以速度v向右匀速进入磁场，在进入过程中，正确的是（　　）A．d端电势低于c端电势B．ad边不受安培力C．dc两端电压的大小为D．线框受到的安培力方向向右，且大小为【答案】C【解析】A．根据右手定则可知cd中的电流流向是c到d，即d端为正极，则d端电势高于c端电势，故A错误；B．ad边在磁场中的部分受磁场力，在磁场外的部分不受安培力，故B错误；C．cd边产生的感应电动势的大小为E=BLv则dc两端电压为等效电源的路端电压，大小为故C正确；D．根据左手定则可知线框中受到的磁场力向左，感应电流大小安培力大小为故D错误。故选C。7．如图是某电磁弹射技术的简化模型的等效电路，直流电源电动势，超级电容器的电容。两根固定于同一水平面内的光滑平行金属导轨MN、PQ电阻不计，它们的间距。磁感应强度大小的匀强磁场垂直于导轨平面向上。质量、阻值的金属棒ab，垂直搁放在两导轨上处于静止状态，并与两导轨始终保持良好接触。开关S先接1，使电容器完全充电后再将S接至2，金属棒ab开始向右加速运动。当S金属棒ab切割磁感线产生的感应电动势等于此时电容器两端电压时，金属棒ab达到最大速度，之后便离开导轨。下列说法正确的是（　　）A．开关S先接1，使电容器完全充电后，其电荷量为B．开关S接2后，金属棒ab加速运动过程中，加速度保持不变C．金属棒ab的加速度最大值为14m/s2D．金属棒ab的最大速度为14m/s【答案】D【解析】A．开关S先接1，使电容器完全充电后，其电压等于电源电动势，其电荷量为故A错误；B．开关S接2后，金属棒ab加速运动过程中，电容器因放电其电压逐渐减小，金属棒的动生电动势逐渐增大，则两者的电压之差逐渐减小，则流过金属棒的电流逐渐减小，所受的安培力逐渐减小，由牛顿第二定律可知则加速度逐渐减小，故B错误；C．当金属棒刚开始运动时，电容器与金属棒的电压之差最大，则电流最大，安培力最大，加速度最大为故C错误；D．金属棒ab达到最大速度时，加速度为零，有对金属棒运动的全过程，由动量定理有而电容器放电的电量为联立解得故D正确。故选D。8．如图所示，匀强磁场中有a、b两个闭合线圈，它们用同样的导线制成，匝数均为10匝，半径ra = 2rb。磁场方向与线圈所在平面垂直，磁感应强度B随时间均匀增大。两线圈中产生的感应电动势分别为Ea和Eb，感应电流分别为Ia和Ib，功率分别为Pa和Pb，相同时间通过线圈的电荷量分别为qa和qb，不考虑两线圈间的相互影响。下列说法正确的是（   ）A．Ea：Eb = 2：1，感应电流均沿顺时针方向 B．Ia：Ib = 4：1，感应电流均沿逆时针方向C．Pa：Pb = 8：1，感应电流均沿顺时针方向 D．qa：qb = 2：1，感应电流均沿逆时针方向【答案】D【解析】AB．设磁感应强度随时间的变化为k，线圈半径用r表示，由法拉第电磁感应定律有可得Ea = Nkπra2Eb = Nkπrb2则Ea：Eb = ra2：rb2 = 4：1两线圈的电阻用R表示，则两线圈的电阻之比为Ra：Rb = 2πra：2πrb = 2：1由欧姆定律可知根据楞次定律可知，因磁感应强度B随时间均匀增大，则感应电流均沿逆时针方向，AB错误；C．由功率公式P = UI，可知Pa：Pb = EaIa：EbIb = 8：1由于感应电流沿逆时针方向，C错误；D．根据公式q = It，可知qa：qb = Ia：Ib = 2：1由于感应电流沿逆时针方向，D正确。故选D。二、多选题9．如图所示，在光滑水平面上，有竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L的区域内，两个边长均为a（a < L）的单匝闭合正方形线圈甲和乙，分别用相同材料不同粗细的导线绕制而成，且导线的横截面积S甲：S乙 = 1：3。将线圈置于光滑水平面上且位于磁场的左边界，并使两线圈获得大小相等、方向水平向右的初速度，若甲线圈刚好能滑离磁场，则（   ）A．乙线圈也刚好能滑离磁场B．两线圈进入磁场过程中通过导线横截面积电量相同C．两线圈完全进入磁场后速度相同D．甲线圈进入磁场过程中产生热量Q1与乙线圈进入磁场过程中产生热量Q2之比为【答案】ACD【解析】A．设线圈的密度为ρ1，线圈的质量m = 4aSρ1设两线圈的初速度为v0，刚进入磁场时所受的安培力为根据牛顿定律可知此时的加速度可知，线圈进入磁场的加速度与线圈的截面积无关，故乙线圈也刚好能滑离磁场，A正确；B．两线圈进入磁场过程中通过导线横截面积电量故由于两线圈的横截面积不同，故两线圈进入磁场过程中通过导线横截面积电量不相同，B错误；C．根据选项A可知a与S无关，则两个线圈进入磁场的过程，任意时刻加速度相同，同理离开磁场的过程任意时刻的加速度也相同，运动情况完全相同，且两个线圈进入磁场过程的初速度相同，则末速度应该分别相等，C正确；D．由m = 4aSρ1S甲：S乙 = 1：3可知甲乙线圈的质量之比为m甲：m乙 = 1：3设甲、乙线圈的初速度为v0，完全进入磁场时的速度为v，根据能量守恒定律，甲线圈进入磁场过程中产生热量乙线圈进入磁场过程中产生热量可得D正确。故选ACD。10．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，与水平面夹角α=30°，导轨宽度L=1m，导体棒ab垂直于导轨放置，且接触良好，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度B=2.0T。已知导体棒ab质量m=0.02kg，电容器电容为C=0.02F，耐压值足够大，定值电阻R=200Ω，重力加速度g=10m/s²，导体棒和导轨电阻不计。t=0时开关接1，导体棒ab由静止释放，t=2s时开关接2，下列说法正确的是（　　）A．t=2s时，导体棒ab的速度为2.5m/sB．t=2s时，电容器储存的电场能为0.16JC．开关接2瞬间，导体棒ab的加速度为3m/s²D．开关接2至导体棒ab达到最大速度的过程中，通过电阻R的电荷量为0.02C【答案】BC【解析】A．设在△t时间内，金属棒速度变化为△v，金属棒产生的感应电动势变化△E=BL△v电容器两极板电压变化△U=BL△v电容器所带电荷量变化△q=C△U=CBL△v金属棒中的电流对金属棒，由牛顿第二定律有解得t=2s时，导体棒ab的速度为故A错误；B．t=2s时，电容器储存的电场能故B正确；C．开关接2瞬间，对导体棒ab有 ， ，解得故C正确；D．ab达到最大速度 ， ，解得根据能量守恒，如果没有克服安培力做功解得通过电阻R的电荷量为实际上，克服安培力做功，下滑位移更大，则通过的电量更大，故D错误。故选BC。11．2022年6月17日，我国第三艘航母福建舰正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上最先进的电磁弹射系统。电磁弹射系统的具体实现方案有多种，并且十分复杂。一种简化的物理模型如图乙所示，电源和一对足够长平行金属导轨M、N分别通过单刀双掷开关K与电容器相连。电源的电动势E＝6V，内阻不计。两条足够长的导轨相距L＝0.2m且水平放置处于磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面且竖直向下，电容器的电容C＝10F。现将一质量为m＝0.1kg，电阻R＝1Ω的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内，分别与两导轨良好接触。将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下运动。不计导轨和电路其他部分的电阻，不计电容器充、放电过程中电磁辐射和导轨产生的磁场对滑块的作用，忽略金属滑块运动过程中的一切摩擦阻力。下列说法正确的是（　　）A．开关K置于b后，金属块先做加速运动、后做减速运动B．开关K置于b的瞬间，金属滑块的加速度大小为6m/s2C．开关K置于b后，金属滑块获得的最大速度大小为30m/sD．开关K置于b后，电容器最终带电量为零【答案】BC【解析】B．开关K置于b的瞬间，流过金属滑块的电流为以金属滑块为研究对象，根据牛顿第二定律解得故B正确；AC．金属滑块运动后，切割磁感线产生电动势，当电容器电压与滑块切割磁感线产生电动势相等时，滑块速度不再变化，做匀速直线运动，此时速度达到最大。设金属滑块加速运动到最大速度时两端电压为U，电容器放电过程中的电荷量变化为，放电时间为，流过金属滑块的平均电流为I，在金属块滑动过程中，由动量定理得由电流的定义由电容的定义电容器放电过程的电荷量变化为且故金属滑块运动后速度最大时，根据法拉第电磁感应定律可得联合解得故A错误，C正确；D．由C选项分析可知，当金属滑块运动后速度最大时起飞，其两端电压为即此时电容器两端电压为，电容极板上依然有电荷，未完全放电，故D错误。故选BC。12．如图所示，一根阻值为R的金属导体棒从图示位置ab分别以的速度沿光滑导轨（电阻不计）匀速滑到位置，若，则在这两次过程中说法正确的是（　　）A．回路电流 B．产生的热量C．通过任一截面的电荷量 D．外力的功率【答案】AC【解析】A．回路中感应电流为I∝v则得I1：I2=v1：v2=1：2故A正确；B．产生的热量为Q=I2Rt=Q∝v则得Q1：Q2=v1：v2=1：2故B错误；C．通过任一截面的电荷量为q＝It＝q与v无关，则得q1：q2=1：1故C正确；D．由于棒匀速运动，外力的功率等于回路中的热功率，即得P=I2R═（）2RP∝v2则得P1：P2=1：4故D错误。故选AC。三、解答题13．如图所示，MN、PQ为相距为L的平行导轨（导轨电阻不计）。N、Q间连接一个定值电阻，阻值为R。长直金属杆可以按任意角架在平行导轨上，并以速度v匀速滑动（平移），v的方向与MN平行，金属杆ab单位长度的阻值为。整个空间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。求：（1）求闭合回路中的感应电流（用角表示）；（2）当金属杆ab水平移动距离为L时，通过电阻R的电荷量（用角表示）；（3）求为多大时，金属杆ab上的热功率最大，并求出最大热功率。【答案】（1）；（2）；（3）90°，【解析】（1）导体棒切割磁感线产生的电动势总电阻为电流（2）由，，可得其中，解得（3）感应电动势电路电流杆ab消耗的电功率解得令化简得当且仅当时，最大，为此时14．如图甲所示，水平放置的线圈匝数n=200匝，半径，电阻，线圈与阻值的电阻相连。在线圈的中央有一个半径的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化。圆周率用π表示，求：（1）电压表的示数U；（2）若撤去原磁场，在图中虚线的右侧空间沿相同方向加磁感应强度B=0.8T的匀强磁场，现把整个装置向左完全移出匀强磁场区域，求这一过程中通过电阻R的电荷量q。【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律得由图乙可知感应电流为则电压表的示数为代入数据解得（2）根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为则平均感应电流为通过电阻R的电量为将线圈拉出磁场，磁通量的变化量为定量，则通过电阻R的电荷量为定值。代入数据得15．如图所示，MN、PQ为间距L＝0.5m足够长的平行导轨，导轨平面与水平面间的夹角，N、Q间连接有一个阻值R＝0.6Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为，将一根质量为m＝0.5kg、电阻r＝0.4Ω的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计导轨的电阻，取，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．（1）求金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；（2）求金属棒到达cd处的速度大小；（3）已知金属棒从ab运动到cd过程中，通过电阻的电荷量为2.5C，求此过程中整个回路产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）金属棒开始下滑的初速为零，摩擦力重力沿轨道向下的分力根据牛顿第二定律可得即代入数据解得（2）对金属棒ab受力分析，达到稳定速度时，根据平衡条件有即又因为代入数据解得金属棒达到的稳定速度（3）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，可得金属棒从进入磁场通过电阻的电荷量为则金属棒在磁场下滑的位移由动能定理有此过程中整个回路产生的焦耳热等于克服安培力做的功物理观念电磁感应现象 楞次定律 法拉第电磁感应定律 闭合电路欧姆定律科学思维掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路.科学探究掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的基本思路和方法．科学态度与责任通过电磁感应和电路部分知识的综合应用的实例，感受物理中科学技术与社会的紧密联系，体会科学知识的应用价值，进一步增强学生的学习动力和科学意识。