专题04 二次函数的恒成立问题压轴题专题—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类

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通用的解题思路：
第一步：先分析是求函数的最大值还是求函数的最小值：①如果恒成立，则求函数的最小值Min；②如果恒成立，则求函数的最大值Max。
第二步：再将所求的最大值或最小值代入不等式，得或者，再解不等式求出参数m的范围。
1.（2017•长沙中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点．
（1）若为等腰直角三角形，求的值；
（2）若对任意，、两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点，总有成立，求实数的最小值．
2．（开福区一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若△OAC∽△OCB，求m的值；
（3）若△ABD为正三角形，对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+﹣4成立，求实数n的最小值．
3．（中雅）点为反比例函数（k为常数，且）的图象上一点，若点P的横、纵坐标满足关系：，则称点P所在的反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，点P为该“Q函数”图象上的“Q点”．
（1）“Q函数”图象上的“Q点”坐标为__________；
（2）反比例函数是否为“Q函数”？若是，请求出该函数图象上的“Q点”；若不是，请说明理由．
（3）已知反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，令，若对于整数m，恒成立，求整数m的最小值．
4．（雅礼）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：w+＞﹣x02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．
5．（青竹湖）若y是x的函数，h为常数（h > 0），若对于该函数图象上的任意两点、
，当，（其中a、b为常数，a < b时，总有，就称此函数在时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高。
（1）函数：④，②，③在时为有界函数的是 ：（填序号）
（2）若一次函数（），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为，请求出此一次函效解析式；
（3）已知函数（），当时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实效a的取值范围.
6．（青竹湖）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线l：y＝﹣x+4与双曲线y＝的切点坐标；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）经过两点（﹣3，0）和（1，0），若直线l：y＝6x﹣7与抛物线相切，求a的值；
（3）已知直线l：y1＝kx+m（k、m为常数）与抛物线y2＝x2+相切于点（1，），设二次函数M：y3＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0，c为整数），对一切实数x恒有y1≤y3≤y2，求二次函数M的解析式．
7.已知抛物线C：y1=a(x−ℎ)²−1，直线l：y2=kx−kℎ−1．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a=−1，m≤x≤2时，y1≥x−3恒成立，求m的最小值；
（3）当00时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
8.已知抛物线C：y1=−x2+bx+4．
(1)如图，抛物线与x轴相交于两点(1−m,0)、(1+m,0)．
①求b的值；
②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．
(2)已知直线l：y2=2x−b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．
9．（雨花区）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：
①a＜0，ab≠0，c＝2；
②顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y0﹣．若t≤m+恒成立，求m的最小值．
10.（长郡）设函数.
(1)若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；