2024届江苏省扬州市高邮市一中高三上学期12月月考数学word版含答案

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（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
2. 复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 若，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）
AB. C. D.
【答案】B
8. 若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数可以是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
10. 下列说法正确的是（）
A. 若直线与直线互相垂直，则
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过点作圆：的切线，则切线的方程为
D. 圆与圆的公共弦长为
【答案】BD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 函数在上单调递增
B. 为函数图象的一条对称轴
C. 将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
D. 在上有3个零点，则实数的取值范围是
【答案】BCD
12. 定义域为的函数满足以下条件：①，；②；③，使得．则（）
A. B. 为奇函数
C. 函数图象的一个对称中心为D.
【答案】ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
13. 已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为___________________．
【答案】
14. 已知，且，则的最小值为________．
【答案】##
15. 已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是__________．
【答案】
16. 已知定义在上的函数满足：为偶函数，且，函数，则当时，函数的所有零点之和为________.
【答案】
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数是定义在R上的奇函数，且时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，求出时的解析式；
（2）先得到函数在R上单调递减，结合函数的奇偶性，得到对任意恒成立，只需，求出，得到答案.
【小问1详解】
设，则，
时，．
，
是定义在R上的奇函数，
，
故，；
【小问2详解】
等价于，
时，单调递减，
又为定义在R上的奇函数，故在R上为减函数，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需，
，，
，
，即实数的取值范围是．
18. 已知椭圆的左焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）解法1：根据题意，得到的方程为，联立方程组得到，利用弦长公式求得弦长，及点到直线的距离，利用三角形的面积公式，即可求解；
法二：根据题意，得到的方程为，联立方程组，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆的左焦点为，且经过点，
可得，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解法1：由过点作倾斜角为的直线，可得直线的方程为，
联立方程组，整理得
设，可得且，
所以
=，
又由点到直线的距离为，
所以.
法二：由题意，可得直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得且，
所以.
19. 如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）已知，为边上的一点，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）在中，利用余弦定理，求得，得到，进而求得，进而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
即，所以，
又因为，可得，所以，可得.
【小问2详解】
解：在中，由余弦定理得
，所以，
因为且，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，即，解得.
20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，来证得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
【小问1详解】
，，，
，，
平面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
直线与底面所成的角为，
，，，
底面为平行四边形，，，
，
即，解得，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
【小问2详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
.
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
二面角的余弦值为．
21. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
【答案】（1）
（2）（i）5028万元（ii）
【解析】
【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程；
（2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可；
（ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围.
【小问1详解】
由题意得，，
又，
，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
【小问2详解】
（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
22. 已知函数.
（1）若在上为单调减函数，求实数的取值范围；
（2）若，记的两个极值点为，记的最大值与最小值分别为，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，根据题意转化为在恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（2）由（1）知是的两个根，得到，求得，化简得到，令，结合在上为减函数，求解在上为减函数，求得最大值与最小值，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得其定义域为，
且，
因为单调减函数，所以对在恒成立，
即在恒成立，
当时，可得，当且仅当时取等号，所以，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：由（1）知是的两个根，可得，，不妨设，
则，
因为，所以t为关于的减函数，所以，
由
，
令，则，
因为当时，，可得，
所以在上为减函数，
所以当时，，
从而，所以在上为减函数，
所以，
所以当时，.
【点睛】方法策略：利用导数研究函数的极值（最值）及不等式的恒成立问题的求解策略：
1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；
2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；
3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.
A大学
B大学
C大学
D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）