2024届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研测试数学试题含答案

这是一份2024届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研测试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，求得或，结合集合并集概念及运算，即可求解.
【详解】由不等式，可得或，
即或，
又由，
所以或.
故选：B.
2．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数概念求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得，列出方程求出m的值，从而，利用模长的坐标公式即可求出．
【详解】已知向量，，若，
则
解得：，所以，
故，
故选：A．
4．已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围.
【详解】，则，，
当时，令得或，令得，
此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
符合是函数的极大值点；
当时，恒成立，函数不存在极值点，不符合题意；
当时，令得或，令得，
此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
符合是函数的极小值点，不符合题意；
综上，要使函数在处取到极大值，则实数的取值范围是.
故选：C.
5．设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A选项，举出反例；B选项，作差法比较出大小关系；CD选项，利用不等式的性质得到答案.
【详解】A选项，当时，，A错误；
B选项，，
因为，所以，则，
故，，B错误；
C选项，两边同乘以得，
两边同乘以得，
故，C正确；
D选项，因为，所以，
两边同除以得，D错误.
故选：C
6．若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由利用倍角公式得，再由同角平方关系得，
又，利用两角和的正弦公式可得.
【详解】，
因为，，又，所以，
故，故，
，
故选：D
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知结合双曲线的定义可得，，，进而根据同角三角函数的基本关系式得出.在中，由余弦定理可得出方程，整理化简即可得出的关系式.
【详解】
如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.
由已知结合双曲线的定义可得，
所以，，，，且为锐角.
又，，
所以，.
又，
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
所以，.
故选：B.
8．若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.
【详解】函数与的图象有且仅有一个交点，
即只有一个零点，即只有一个零点.
令，则，.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，并且.
所以，，.
函数的大致图象如图
因为，所以.
原不等式，即.
令，
显然时，该函数为增函数，且，
所以，的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．若“”是“”的必要不充分条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先求得根据不等式的解集，结合题意，列出不等式，即可求解.
【详解】由不等式，可得或，
因为是的必要不充分条件，可得或，
解得或，即实数的取值范围为，
结合选项，可得A、D符合题意.
故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过点作圆：的切线，则切线的方程为
D．圆与圆的公共弦长为
【答案】BD
【分析】根据两直线垂直列方程求，确定A的真假；先求斜率，根据斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，可判断B的真假；先判断点与圆的位置关系，确定切线的条数，可判断C的真假；先求公共弦所在的直线方程，再用几何法求弦长，可判断D的真假.
【详解】对A：因为两直线垂直，所以：，可得或，故A错误；
对B：由直线方程可得，直线斜率，故倾斜角的取值范围为：.故B正确；
对C：因为，所以点在圆：外，故过的切线有两条，故C错误；
对D：两个圆的方程相减，得两圆公共弦所在直线方程为：，
又圆可化为：，得圆心，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
所以半弦长为，故弦长为 .故D正确.
故选：BD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．为函数图象的一条对称轴
C．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
D．在上有3个零点，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据三角恒等变化化简，即可根据整体法求解A，根据平移求解C，代入验证求解C,根据零点求解D.
【详解】由可得，
对于A，当，则，故在上单调递减，故A错误，
对于B，当时，，故B正确，
对于C，，当，则，
由于在上的最大值为，所以，故，故的最大值为，C正确，
对于D，令,则，可得，
故的正零点有，要使在上有3个零点，
则，故D正确，
故选：BCD
12．定义域为的函数满足以下条件：①，；②；③，使得．则（ ）
A．B．为奇函数
C．函数图象的一个对称中心为D．
【答案】ACD
【分析】赋值，令可求的值；令，可判断函数的奇偶性；令，可判断函数的周期性；综合周期性和对称性可判断对称中心.
【详解】A项，令代入得，，
因为，所以，所以A项正确；
B项，令，代入得，
，即，所以，
所以为偶函数，所以B项错误；
D项，令，代入得，
，因为，使得，
所以，即，
所以，所以D项正确；
C项，由D项可知，，，
两式相加得，，因为为偶函数，
所以，所以得到对称中心为，所以C项正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】首先分析题意，利用圆的基本性质即可得出答案.
【详解】设圆心为，设圆的标准方程为，将代入圆的方程中，，解得
故圆的标准方程为：.
故答案为：.
14．已知，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，可得，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，，得到，求出取值范围.
【详解】设，，则，
故
，
因为，所以，
故，.
故答案为：
16．已知定义在上的函数满足：为偶函数，且，函数，则当时，函数的所有零点之和为 .
【答案】
【分析】由题意画出的图象，由图知，均关于对称，有10个交点，根据对称性求出函数的所有零点之和.
【详解】因为为偶函数，所以关于对称，
当时，，
可知当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
函数为的图象向右平移个单位，
的图象如下图所示，
均关于对称，有10个交点，
所以函数的所有零点之和为：.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
四、解答题
17．已知函数是定义在R上的奇函数，且时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数，求出时的解析式；
（2）先得到函数在R上单调递减，结合函数的奇偶性，得到对任意恒成立，只需，求出，得到答案.
【详解】（1）设，则，
时，．
，
是定义在R上的奇函数，
，
故，；
（2）等价于，
时，单调递减，
又为定义在R上的奇函数，故在R上为减函数，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需，
，，
，
，即实数的取值范围是．
18．已知椭圆的左焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）解法1：根据题意，得到的方程为，联立方程组得到，利用弦长公式求得弦长，及点到直线的距离，利用三角形的面积公式，即可求解；
法二：根据题意，得到的方程为，联立方程组，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆的左焦点为，且经过点，
可得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）解法1：由过点作倾斜角为的直线，可得直线的方程为，
联立方程组，整理得
设，可得且，
所以
=，
又由点到直线的距离为，
所以.
法二：由题意，可得直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得且，
所以.
19．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)已知，为边上的一点，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）在中 ，利用余弦定理，求得，得到，进而求得，进而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
即，所以，
又因为，可得，所以，可得.
（2）解：在中 ，由余弦定理得
，所以，
因为且，所以，
所以，
又因为，所以，
所以 ，
在中，由正弦定理得， 即，解得.
20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面，来证得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
【详解】（1），，，
，，
平面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
直线与底面所成的角为，
，，，
底面为平行四边形，，，
，
即，解得，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
.
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
二面角的余弦值为．
21．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
【答案】(1)
(2)（i）5028万元（ii）
【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程；
（2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可；
（ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围.
【详解】（1）由题意得，，
又，

，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
（2）（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
22．已知函数.
(1)若在上为单调减函数，求实数的取值范围；
(2)若，记的两个极值点为，记的最大值与最小值分别为，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，根据题意转化为在恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（2）由（1）知是的两个根，得到，求得，化简得到，令，结合在上为减函数，求解在上为减函数，求得最大值与最小值，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，
且，
因为为单调减函数，所以对在恒成立，
即在恒成立，
当时，可得，当且仅当时取等号，所以，
即实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知是的两个根，可得，，不妨设，
则，
因为，所以t为关于的减函数，所以，
由
，
令，则，
因为当时，，可得，
所以在上为减函数，
所以当时，，
从而，所以在上为减函数，
所以，
所以当时，.
【点睛】方法策略：利用导数研究函数的极值（最值）及不等式的恒成立问题的求解策略：
1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；
2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；
3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.
A大学
B大学
C大学
D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）