2023-2024学年江苏省扬州市高邮市一中高一上学期12月月考数学含答案

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（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则的子集个数为（）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由交集的运算及子集的概念计算即可.
【详解】由题意可知，有三个元素，
故其子集的个数为个.
故选：D
2. 函数为定义在上的偶函数，则实数等于（）
A. B. 1C. 0D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称即可得解.
【详解】因为函数为定义在上的偶函数，
所以，解得.
故选：C.
3. 设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定出与的大小关系，由此可得结果.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，，，
所以，
故选：A.
4. 设，，则=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
故选：B
5. 函数的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析的奇偶性，然后根据时的正负判断出正确图象.
【详解】因为，所以，所以定义域为且关于原点对称，
又因为，所以为奇函数，故排除CD，
又因为时，，，所以时，故排除A，
故选：B.
6. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定，，根据值域得到参数范围.
【详解】，，，
函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为.
故选：A.
7. 已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（）
A. 16B. 10C. 8D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先由对数函数过定点，得出，再结合基本不等式得出结果.
【详解】因为曲线（且）过定点，
所以，，
则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：C
8. 已知函数，且满足：对任意都有，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式判断函数的单调性，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】不妨设
由，
设，，
因为当时，有，即，
所以函数在时单调递增，的对称轴为，
所以有，
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的有（）
A. “，”的否定为“，”.
B. “且”是“”的充分不必要条件.
C. “”是“”的必要不充分条件.
D. “”的充要条件是“”.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特称命题的否定形式可判定A，利用充分、必要条件的定义可判定B、C、D.
【详解】对于A项，“，”的否定为“，”，故A错误；
对于B项，由“且”可推出“”成立，满足充分性，
而“”不能推出“且”不满足必要性，故B正确；
对于C项，由“”不能得到“”，因为是否为零不确定，即不满足充分性，
而由“”可得“”且“”，满足必要性，故C正确；
对于D项，由“”可得，但不能推出“”，因为是否为零不确定，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（）
A. 在上为增函数
B. 为偶函数
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据先求解出的值，由此可判断A；根据定义域可判断奇偶性即可判断B；根据单调性分析的大小关系可判断C；根据对数运算结合对数函数单调性可判断D.
【详解】因为，所以，所以，
对于A：因为，所以在上为增函数，故正确；
对于B：定义域为且不关于原点对称，所以不为偶函数，故错误；
对于C：因为在上为增函数，所以时，故正确；
对于D：因为，
又时，，所以，
所以，故正确；
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（）
A. 的最小值是2B. 的最大值是
C. 的最小值是2D. 的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】A：考虑的情况；B：利用换元法求解出最大值；C：考虑取等条件是否成立；D：利用基本不等式求解出的最小值，则原式最大值可求.
【详解】对于A：当时，，当且仅当时取等号，故错误；
对于B：，令，原式等价于，
又因为，当且仅当时取等号，所以，所以最大值为，故正确；
对于C：因为，
当且仅当时取等号，此时无解，所以等号不成立，故C错误；
对于D：当时，，
当且仅当即时取等号，所以最大值为，故正确；
故选：BD.
12. 函数，则（）
A. 对任意实数，都有的图象关于原点对称.
B. 存在实数，使得的图象关于轴对称.
C. 对任意实数，关于的方程有3个实数根.
D. 若任意实数，当，总有，则.
【答案】ACD
【解析】
【分析】确定得到A正确，B错误，画出函数图像，根据图像确定C正确，考虑，，三种情况，结合图像得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，是奇函数，正确；
对选项B：函数为奇函数且不恒为零，
故不存在实数，使得的图象关于轴对称，错误；
对选项C：，，即，，
画出函数图像，如图所示：
，
根据图像知有3个交点，正确；
对选项D：当，总有，故函数为单调函数，
，
当时，根据图像1知不满足条件；
当时，，满足条件；
当时，根据图像2知满足条件；
综上所述：，正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知不等式解集确定参数，再求出不等式的解集即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个根，由韦达定理可知，
所以代入不等式可得，
解得的取值范围为，
故答案为：
14. 已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的性质与图象计算即可.
【详解】由已知可知：在R上单调递增，
故若要符合题意需：.
故答案为：
15. 已知函数，则_______.
【答案】6
【解析】
【分析】先根据题意求出的值，然后再求的值即可.
【详解】由，
得，
所以.
故答案为：.
16. 关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分类讨论，分离参数计算即可.
【详解】由题意可知，
显然当时，原不等式恒成立，此时，
当，原式等价于，
易得，令
对于函数，易知，
故.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指数函数的运算得出结果；
（2）由对数函数的运算得出结果.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 已知幂函数的图象不过原点.
（1）求函数解析式；
（2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得出，求解得出的值.结合图象不过原点，即可得出答案；
（2）代入得出时，的解析式.然后根据偶函数的性质，得出的解析式.
【小问1详解】
由题意，解得：或，
故或.
又幂函数的图象不过原点，
故.
【小问2详解】
当时，.
，则，.
又因为是偶函数，所以.
综上，.
19. 已知函数是奇函数.
（1）求的定义域及实数的值；
（2）用单调性定义判定的单调性.
【答案】（1）定义域为，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据分母不等于零即可求出函数的定义域，根据函数为奇函数可得，进而可求出；
（2）利用作差法判断即可.
小问1详解】
由，得，
所以的定义域为，
因为是奇函数，则，
即，即，
所以，则，
所以；
【小问2详解】
，，
，
由，得，，，
则，即，
所以在上单调递减，
同理在上单调递减.
20. 某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该加工厂安装这种太阳能供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.
（1）求出、的解析式；
（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】（1），
（2）当为150平方米时，取得最小值，最小值是30万元.
【解析】
【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后可知，再根据表示出；
（2）分类讨论的最小值：当时，根据一次函数的单调性求解出最小值，当时，利用基本不等式求解出最小值，最后的最小值以及的值可确定.
【小问1详解】
根据时，，
当，，所以，解得.
所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
当，单调递减，所以，
当，.
当且仅当即时等号成立，故，
综上所述，，此时，
故当为平方米时，取得最小值，最小值万元.
21. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为0，求实数的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）将问题转化为关于的不等式，然后通过换元法令以及一元二次不等式的解法求解出解集；
（2）先化简函数，然后通过换元法令将函数转变为关于的二次函数，通过对称轴结合单调性求解出的值.
【小问1详解】
，
令，则，得，
即，所以，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
，
设，，且均上单调递增，
所以是的增函数，所以，
则，
所以，，对称轴，
若，即，函数在上单调递增，此时当时，；
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时当时，，则.
综上所述，.
22. 我们知道，函数图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数.该命题可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数.已知函数（为自然对数的底数，约为2.718）
（1）求函数的函数值为0的的值；
（2）探求函数图象的对称中心；
（3）写出的单调区间（无需过程），求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）根据题中性质，结合对数的运算性质进行求解即可；
（3）根据函数单调性的性质，结合对数的单调性、指数函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
令，得，所以；
【小问2详解】
设的对称中心为，则是奇函数，
即，
即，①
由上式恒成立可知是常数，所以，则
代入①中，得，
所以，的对称中心为；
【小问3详解】
，该函数的定义域为，
反比例函数的单调递增区间为，，
所以的增区间为，.
由（2）可知，即，
因为，，在递增，
即，解得，
原不等式的解集
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中函数性质、明确复合型函数的单调性的性质.