2023届江苏省扬州市高邮市高三上学期期初学情调研数学试题含答案

2023届江苏省扬州市高邮市高三上学期期初学情调研数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据并集的概念运算可得结果.

【详解】因为集合，

所以.

故选：A

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解不等式，比较其和的关系即可

【详解】依题意，可得，即，显然是的充分不必要条件.

故选：A

3．若复数z满足，则z的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可得结果.

【详解】,

.

故选：D

4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可得结果.

【详解】是奇函数，但整个定义域内不是增函数，故A错误；

，因为，所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；

在定义域上是奇函数不是单调函数，故C错误；

在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误.

故选：B.

5．已知，则（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求得，从而可求得结果.

【详解】因为

则，则，所以

则

故选:B.

6．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

【答案】B

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案

【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；

对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；

对于C，如果，，那么，故C错误；

对于D，因为满足，那么，故D错误；

故选：B

7．已知函数，则（    ）

A．的最小值为2 B．的图像关于y轴对称

C．的图像关于直线对称 D．的最小正周期为

【答案】C

【分析】根据同角三角函数的基本关系将函数化简，求出函数的定义域，再一一判断即可.

【详解】解：因为，

函数的定义域，

，故A错误；

又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；

因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；

因为，所以的最小正周期不是，故D错误；

故选：C

8．已知，其中e为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案.

【详解】令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，即，

所以，

所以﹔

因为，所以，

令（），则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，所以，

所以，所以：

设

设

在上，，递减，所以

所以，递增，

所以，即

所以

综上：

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题.

二、多选题

9．设函数的图象为曲线E，则（   ）

A．将曲线向左平移个单位长度后与曲线E重合

B．将曲线上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则与曲线E重合

C．将曲线向左平移后所得图象对应的函数为奇函数

D．若，且，则的最小值为

【答案】AD

【分析】选项A：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项B：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项C：根据正弦型函数图象变换的规律结合奇偶性的判断方法即可判断；选项D：根据正弦型函数的零点进行判断即可；

【详解】选项A：将曲线向左平移个单位长度后可得.所以平移后图象与曲线重合，故选项A正确.

选项B：将曲线上各点的横坐标扩大到原来的倍，

纵坐标不变可得，故B不正确.

选项C：将曲线向左平移后可得

，为偶函数，故C不正确.

选项D：由，可得，

解得，由，

所以，，

所以，由，可得的最小值为，故D正确.

故选：AD

10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）

A．若，则

B．点，与向量同方向的单位向量为

C．若，则与的夹角为60°

D．若向量，则向量在向量上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】对于A，算出即可判断；对于B，与向量同方向的单位向量为，通过向量坐标运算即可判断；对于C，通过能得到，通过能得到，再利用计算即可判断；对于D，向量在向量上的投影向量为，通过向量坐标运算即可判断

【详解】解：对于A，因为，所以，故正确；

对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确；

对于C，因为，所以即化简得，

因为，所以即化简得，

所以，

因为，所以，故错误；

对于D，因为，，所以向量在向量上的投影向量为，故正确，

故答案为：ABD

11．已知a，b为正实数，且，则（   ）

A．ab的最大值为8 B．的最小值为8

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C正确；

，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．

故选：ABC．

12．已知函数及其导数的定义域均为R，记．若为偶函数，为奇函数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】分析得到关于直线对称，函数关于点对称，结合已知分析即得解.

【详解】解：为偶函数，可得，所以

关于直线对称，

设，，所以选项A错误；

为奇函数，，所以函数关于点对称.

令得.故选项B正确；

关于直线对称，所以

所以，即

所以，所以，故选项C正确；

所以，所以，故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．在中，，M在边BC上，且，则_____．

【答案】

【分析】在中，由余弦定理求得，可得，在中由余弦定理即可求得答案.

【详解】在中，,，

则 ,即,

解得 , (舍去)，由可得 ,

故 ,

故 ,

故答案为：

14．P是梯形ABCD外一点，，则_____．

【答案】/0.5

【分析】利用向量的加减运算，结合图形的几何性质，即可表示出，继而求得答案.

【详解】法一：设

因为，所以 ,

则，

同理，则有，

故，由于，

则,

故答案为：

法二 : 由题意可知，所以，

则，

则，

故答案为：

15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据的范围去绝对值，再根据二次函数的单调性，即可求解.

【详解】，

时，，

时，=.

①当即时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意;

②当，即时，函数在单调递增，

③当即时，此时函数在单调递减，在单调递增，不符合题意;

④当即时，此时函数在单调递增，

⑤当时，函数在单调递减，不符合题意，

函数在处，函数连续，综合②④可知，函数在区间单调递增，则.

故答案为：

16．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，恒成立，则m的取值范围是__________．

【答案】

【分析】先由是奇函数求出a，b，得到.利用分离参数法把题意转化为恒成立. 令.记，利用基本不等式求出，即可求出m的取值范围.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，

所以，即，解得：.

又，所以，解得：.

所以.

.

因为在上单增，所以在上单增，所以在上单减，所以在上单增，所以.

所以要使恒成立，只需恒成立.

因为在上单增，所以，所以.

令.

记（当且仅当，即时2等号成立），

所以.

所以.

即m的取值范围为.

四、解答题

17．已知集合．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解；

（2）由“”是“”的必要不充分条件，可得B是A的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

【详解】（1）解：若，则，

所以；

（2）解：，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是．

18．设向量

(1)若，求的值；

(2)设函数，求的零点．

【答案】(1)1或

(2)

【分析】（1）由向量共线的坐标公式求得或，由平方关系结合余弦倍角公式求解即可；

（2）先由数量积的运算律及坐标运算结合三角恒等变换得，再结合正弦函数求解零点即可.

【详解】（1）由，得，所以或，若，则；

若，又，则；综上，的值为1或；

（2）．

令，得，又，知，

则，所以．

19．在四棱锥中，．

(1)证明：平面平面﹔

(2)若，直线与平面所成的角为，求的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；

（2）根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量及平面的法向量，利用向量的夹角公式及两点间的距离公式即可求解.

【详解】（1）在平面四边形ABCD中，，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点作于,因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以,,

，

所以，所以，

又，BC，平面，所以平面，        

又平面，所以，平面平面.

（2）因为,, BC，平面，

所以平面，由（1）知，，以C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则，

因为平面，，可设(),所以，则

，

设平面PAC的法向量为，则

,即，令，则，所以，           

因为直线与平面所成的角为，

所以，解得或（舍），

所以，又，

所以.

20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求B﹔

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；

（2）由切化弦结合三角恒等变换及正弦定理得，再由（1）中结论得到关于的齐次方程，即可求出，进而求得.

【详解】（1）由，可得，由正弦定理得，

即，由余弦定理得，因为，可得；

（2），则，

又，可得﹐又由（1），得，所以，所以，所以．

21．今年月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多. 我国目前为止尚无猴痘病例报告. 我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署. 同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（年版）》. 此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力. 据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察天. 在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大. 对该国家个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

(1)是否有％的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率. 现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率；

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查. 在排查期间，发现一户口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测. 每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”. 假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立. 记：该家庭至少检测了名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为.求当为何值时，最大？

附：

【答案】(1)没有

(2)

(3)

【分析】（1）提出假设，由参考公式求的值，比较其与临界值的大小，由此判断结论；

（2）求该地区每名密切接触者感染病毒的概率值，再利用独立重复实验求解；

（3）先求的解析式，再利用导数求其最大值.

【详解】（1）假设：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关

依题意有，

故假设不成立

没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

（2）由题意得：该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，

设随机抽取的人中至多有人感染病毒为事件，则；

（3）

则，

令，则（舍去），

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以，当时，该家庭至少检测了名成员才能确定为“感染高危家庭”的可能性最大.

22．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线与x轴平行．

①求实数a的值：

②证明：函数在内只有唯一极值点；

(2)当时，证明：对于区间内的一切实数，都有．

【答案】(1)①，②证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）①由题意可得，从而可求出的值，②通过对函数二次求导，结合零点存在性定理可得存在唯一的，使得，而在上递减，在上递增，从而可得结论，

（2）将问题转化为，由（1）可知在上单调递增，当时，，然后对的正负进行分类讨论即可.

【详解】（1）①由题意得，

∵，

∴，即       

②证明：由①可知，，则，

此时，

由零点定理结合单调性可知，存在唯一的，使得

∴函数在内只有唯一极值点，且取得极小值，故原命题得证

（2）证明：要证对于区间内的一切实数，都有，即证

由（1）可知，在上单调递增，且

∴

∵，∴

以下，对的正负进行分类讨论：

①当，即时，

由在上单调递增，则．

∴在上单调递减，∴，命题得证；

②当，即时，

由（1）②可知：

∵

∴命题得证

综上，当时，对于区间内的一切实数，都有．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数极值问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）解题的关键是将问题转化为，然后结合（1）中函数的单调性得到即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.