江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2022～2023学年第一学期高二10月阶段测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接计算抛物线焦点得到答案.

【详解】抛物线，则，，故焦点坐标为.

故选：D.

【点睛】本题考查了求抛物线的焦点，属于简单题.

2. 过两点的直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出直线斜率即可得出倾斜角.

【详解】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB的倾斜角为.

故选：C.

3. 已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线垂直的关系即得.

【详解】由两直线垂直可得，

解得或.

故选：C.

4. 若直线与椭圆交于点，，线段中点为，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据点差法，可得答案.

【详解】设，则，两式相减可得，

整理可得，由线段中点为，则，

故直线的斜率.

故选：B.

5. 已知两点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”下列直线中，不是“点定差直线”的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，根据双曲线的定义，求得点的轨迹方程，联立直线与双曲线，求交点，可得答案.

【详解】由题意，点的轨迹是以两点为焦点的双曲线的右支，则，即方程为，

对于A，联立方程，消去可得，则，则方程无实数解，故直线与双曲线无交点，故A符合题意；

对于B，联立方程，消去可得，解得，故直线与双曲线的右支有一个交点，则B不符合题意；

对于C，联立方程，消去可得，则，解得，

由，则直线与双曲线的右支存在一个交点，故C不符合题意；

对于D，联立方程，消去可得，则，解得，

由，则直线与双曲线的右支存在一个交点，故D不符合题意.

故选：A.

6. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为10，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆的几何性质求解.

【详解】，

根据椭圆的几何性质可知，当轴时，有最小值，

此时的最大值为10，

此时在中，令则，

所以，

所以的值是.

故选:D.

7. 若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长是（    ）

A.  B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．

【详解】由题意作出图形分析得：

由圆几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心、，

则在中，，，所以，

斜边上的高为半弦，且，

则，即，所以.

故选：C.

8. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论不正确的是（    ）

A. 与（，）共轭的双曲线是（，）

B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同

C. 互为共轭的双曲线的离心率、，则

D. 互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

【答案】B

【解析】

【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A正确；

对于B选项，双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，B错；

对于C选项，设，双曲线的离心率为，

双曲线的离心率为，

所以，，当且仅当时，等号成立，C正确；

对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，

双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法中，正确的有（    ）

A. 过点并且倾斜角为90°的直线方程为

B. 直线的纵截距是

C. 直线的倾斜角为60°

D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A，由倾斜角与斜率之间关系，可得答案；

对于B，由斜截式方程的定义，可得答案；

对于C，由一般式方程转化成斜截式方程，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案；

对于D，由直线方程，求得所过的顶点，由此作图，可得答案.

【详解】对于A，由倾斜角为，则直线斜率不存在，即垂直于轴，故方程为，则A正确；

对于B，由斜截式方程，易知直线纵截距为，故B正确；

对于C，由一般式方程，可得斜截式方程，设该直线的倾斜角为，则，故，故C错误；

对于D，由一般式方程，则斜截式方程，易知直线过顶点，可作下图：

则直线的斜率，直线的斜率，

故，则D错误.

故选：AB.

10. 关于，的方程表示的曲线可以是（    ）

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义及方程判断.

【详解】根据椭圆的定义，若即，

方程表示焦点在 轴上椭圆，所以A正确；

若，即，则方程表示焦点在 轴上的双曲线，

所以B选项正确；

因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线，

所以C错误；

当即时方程为表示圆，

所以D正确.

故选:ABD.

11. 以下四个命题表述正确的（    ）

A. 圆上有4个点到直线：的距离都等于1

B. 已知，，三点，动点不在轴上，且满足，则直线的斜率取值范围是

C. 圆：与圆：恰有一条公切线，则

D. 圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，为切点，则直线经过定点

【答案】BD

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系转化为代数式求解.

【详解】(1)圆心到直线：的距离，

而圆的半径等于2，所以圆上只有3个点到直线距离等于1，所以A错误;

(2)设点，由得，

化简得（），

设过点且与（）相切直线方程为

即，则有，解得，

因为点在圆（）上，

所以的斜率取值范围是，所以B正确；

(3)由题可知

解得，所以C错误；

(4)因为点为直线上，所以设，

圆：的圆心为，

所以中点坐标为，，

所以以为直径的圆方程为，

即，

圆与圆的公共弦直线方程为，

即

令，则，解得，

所以直线过定点,

所以D正确.

故选:BD.

12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一.关于曲线给出下列四个结论，其中正确结论是（    ）

A. 图形关于轴对称

B. 图形关于轴对称

C. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过

D. 曲线所围成的“心形”区域的面积大于3

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用图象对称就是点对称，距离公式，以及结合图形可解决.

【详解】若点在曲线上，则有，

则点也满足曲线的方程，即图形关于轴对称，所以A正确；

点不满足曲线的方程，即图形不关于轴对称，所以B错误；

当时，方程可写，

由重要不等式得，

所以所以，

曲线上的点到原点的距离等于，

所以C正确；

作出心形图如图，可知心形图上半部分面积大于长为2，宽为1的矩形面积，

下半部分大于腰长为的等腰直角三角形的面积，

所以心形面积大于3，所以D正确.

故选:ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．

【答案】或

【解析】

【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.

【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．

当时，直线l过点，

又直线l过点，故直线l的斜率，

故直线l的方程为，即；

当时，直线l的方程为，即，

∴直线l过点，

∴，

∴，

∴直线l的方程为．

综上可知，直线l的方程为或．

故答案为：或.

14. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A是椭圆的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率.

【详解】由题意知，直线的方程为：，

由等腰三角形，，得，

过作垂直于轴，如图，则中，，

故，，

所以，即，

代入直线，得，即，

所以所求的椭圆离心率为.

故答案为：.

.

15. 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切,过圆心C的轨迹E上的一点作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N，则的周长__________．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据双曲线的定义求出动圆的轨迹方程，再表示出直线的方程，即可判断在直线上，再根据双曲线的定义计算可得；

【详解】解：设动圆的半径为，若动圆与圆相内切，与圆相外切，则，，动圆与圆相外切，与圆相内切，则，，

动圆与两圆中的一个内切，另一个外切

，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线．

即，，

所求圆心C的轨迹的方程为；

依题意直线的方程为，恰好经过，所以在线段上，所以，，所以，，所以，即，所以

故答案为：

16. 已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】过点作垂直于准线，根据抛物线的定义结合条件可得，进而可得当和抛物线相切时，的值最小，然后利用直线的斜率公式及导数的几何意义即得.

【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，

过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，

则，为锐角，

故当最小时，的值最小，即当和抛物线相切时，的值最小，

设切点，则，

由的导数为，

则的斜率为，

所以，，

，，

.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点和直线：.

（1）求过且与直线的平行的直线方程；

（2）求点关于直线：的对称点的坐标.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由直线平行时，其一般式仅常数项不同，可设所求直线为，再代入即可得解；

（2）不妨设所求点为，由对称性可知及线段的中点落在直线上，得到方程组，解之即可.

【小问1详解】

因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为，

代入得，解得，

故所求直线方程为.

【小问2详解】

设关于的对称点为，

又直线：可化为，

故由及线段的中点落在直线上可得：

，解得，

所以对称点坐标为.

18. 求满足下列条件的曲线标准方程：

（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；

（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.

【小问1详解】

设所求椭圆的标准方程为

两焦点分别为，，

又椭圆过点，，又

，，所以椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

方法一：

(i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，

因为与双曲线有相同渐近线，

所以 ，设该双曲线的焦距为，

又因为焦距 所以，所以，

联立 解得则双曲线方程为，

(ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，

因为与双曲线有相同渐近线，

所以 ，设该双曲线的焦距为，

又因为焦距 所以，所以，

联立 解得则双曲线方程为，

双曲线的标准方程为：或

方法二：

设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）

焦距为，

，

双曲线的标准方程为：或

19. 已知点，，若以为圆心的圆，被直线截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）若点在圆上，当最小时，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据直线被圆截得的弦长公式求解即可;(2) 当与圆相切且切于点下方时，最小.

【小问1详解】

设圆的标准方程为：

圆被直线截得的弦长为

，

圆的标准方程为：.

【小问2详解】

当与圆相切且切于点下方时，最小，

此时.

20. 已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；

（2）已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标.

【答案】（1）：（），是除去左右两个端点的双曲线   

（2）时，，当时，.

【解析】

【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可；

（2）将直线与曲线联立消去，设，利用韦达定理得和，再设 ，由列方程解出的值即可.

【小问1详解】

动点满足直线与的斜率积为

即：（），是除去左右两个端点的双曲线

【小问2详解】

将直线与曲线联立得，

设，则，

设，由得，

即，又因为，解得，

所以当时，，当时，.

21. 已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，点在椭圆上，轴，点时椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值是，求的最大值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆方程结合条件可得，进而可得，根据椭圆的定义可得，即得；

（2）由题可设：，利用韦达定理法可得的垂直平分线，进而可得点的纵坐标，然后利用两点间的距离公式即得.

【小问1详解】

由题可知，，

轴，

由代入，

可得，又，

，，

，即，

又，

，又，

，，

椭圆的标准方程为：；

【小问2详解】

设：，

联立得：，

设，，

则，，

，

中点坐标为，

中垂线方程为，

令时，

点的纵坐标的最大值为，

，则，

，

当时，的最大值为.

22. 已知抛物线：，为其焦点，为原点，是上位于轴两侧的不同两点，且.

（1）求证：直线恒过一定点；

（2）若点为轴上一定点，使到直线和的距离相等，当为的内心时，求的重心.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意设直线为，联立抛物线方程得，再由整理得，代入即可求得，进而可知直线过定点；

（2）由到直线和的距离相等，可得，进而利用韦达定理求得，结合图像易知平分，故由角平分线定理得，进而得到，同理，由此可得，再求得，从而求得的重心.

【小问1详解】

根据题意，直线的斜率不等于零，

故设直线的方程为，

联立方程，消去，得，

设，，

则，即，，，

因为，，，

所以，即

解得或，

当时，由，得或，即必有一点落在轴上，这与是上位于轴两侧的不同两点矛盾，故舍去，

所以，即直线的方程为，

所以直线过定点.

【小问2详解】

设，因为到直线和的距离相等，即为的角平分线，所以直线和的斜率满足，

由（1）得，，，，

所以，

所以，即，

即，所以，

所以，即，

所以当时，到直线和的距离相等，

设直线交轴于点，如图，则由（1）得，，，

连结，因为为的内心，所以平分，

所以在中，由角平分线定理得，，即，

整理得，化简得，

同理，

所以为方程的两个根，所以，

又因为，

所以，

所以的重心的横坐标为，

纵坐标为，

故的重心为.

【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．