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2024届陕西省渭南市尚德中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案
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这是一份2024届陕西省渭南市尚德中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，单空题，问答题，作图题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求解集合，再求.
【详解】因为，所以.
故选：A
2．在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数对应的点的坐标得到，利用复数除法法则计算出答案.
【详解】由题意可知，所以.
故选：C.
3．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.
【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或.
所以，当时，一定成立，故充分性成立；
当即或时，不一定成立，故必要性不成立.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质求解即可
【详解】因为等差数列{an}，，,故，故，故.
故选：C
5．数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来计数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.如图是利用“结绳计数”设计的程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）
A．2394B．16806C．2400D．16800
【答案】D
【分析】根据程序框图列式求解即可.
【详解】根据程序框图运行过程可得：
，
故选：D.
6．已知点是所在平面内的一点，且，设，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】由，可得为的中点，由图形结合平面向量基本定理用将表示出来，再结合，可求出的值，从而可求得答案
【详解】由题意作图，因为，所以为的中点，
所以，
因为，
所以由平面向量基本定理可得，
所以，
故选：D
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式和平方关系求解．
【详解】∵，
∵，∴，且，
∴，
故选：C．
8．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象经过原点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得，，进而可得，然后解三角方程即得.
【详解】∵函数的最小正周期为，∴，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，
因为其图象经过原点，所以，所以，，解得，.
又，所以的最小值为.
故选：C
9．已知在处取得极值，则的最小值为（ ）
A．B．3+2C．3D．9
【答案】C
【解析】对求导，由在处取得极值，可得，再利用基本不等式可得的最小值.
【详解】解：，
，
因为在处取得极值，
所以即，
则，
当且仅当时取等号，此时取得最小值3.
故选: C.
【知识点】本题主要考查利用导数研究函数的极值、基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力及数学计算能力，属于中档题.
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且，则tanC＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由三角形面积公式得到，再由余弦定理，结合，得出，然后平方可得出结果．
【详解】中，∵，由余弦定理得：，
且，∴
整理得，∴．
∴4，化简可得
∵，∴，
故选：C．
11．已知函数是定义域为的奇函数， 满足， 若， 则（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据已知求出的周期，再求出可得答案.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，，
因为，所以，
所以，
可得，所以的周期为，
因为，又，，
所以，，
所以，
则.
故选：B.
12．设，对任意恒成立，则m最大值（ ）
A．B．eC．D．
【答案】B
【分析】先转化原不等式为，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】依题意，，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，
所以在上单调递增，最小值为.
设，则.
令，
则，所以在上单调递增，
所以，所以，当时等号成立.
所以恒成立，
两边取以为底的对数得，
设，令，在上单调递增，
，所以，所以的最大值为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑分离参数法来求解，也可以考虑直接构造函数法，还可以考虑转化为两个函数的方法来进行求解.本题不考虑分离参数法，主要原因是含参数的不等式不容易分离出来.
二、填空题
13．已知平面向量，，且，实数的值为 ．
【答案】
【分析】表示出，其与数量积为0，可算得出.
【详解】解：因为，，所以
又，则
故.
故答案为：.
14．已知实数，满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】先画出可行区域，再根据可行区域得到最小值.
【详解】如图所示，画出满足不等式的可行区域为黑色三角形，令，
则可由直线平移得到，要使得最小，则需向下平移到图中点时取到，
解方程，解得，此时，
故答案为：
15．设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据给定的条件，求出函数的周期，进而求出，再利用最值求出的表达式作答.
【详解】因为函数相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期，
，又，因此，即，
所以当时，.
故答案为：
三、单空题
16．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若对任意，恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】/
【分析】先由与关系得，结合累乘法求出，从而利用裂项相消法求得即可求解.
【详解】因为，所以当时，，
相减得，即，
所以，
当时，也适合，所以，
又，所以，
所以，
对任意，恒成立，所以，即实数的最小值为.
故答案为：
四、问答题
17．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用，列方程即可求得，，问题得解．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，求得， ，即可求得，再利用分组求和法即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）设的公比为.
因为，，所以,
所以，,
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.
设等差数列的公差为.
因为,
所以,
所以.
所以.
因此.
从而数列的前项和
=
=.
【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式及前项和公式，还考查了分组求和方法，属于基础题．
18．已知中内角A，，的对边分别为，，，向量，，为锐角且.
（1）求角的大小；
（2）如果，求的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）根据，可得，化简整理，可得，结合角B的范围，即可求得答案.
（2）由（1）可得，根据余弦定理，可得，根据基本不等式，可得，代入上式，可得ac的最大值，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，∴，
即.
又∵为锐角，∴，
∴，∴.
（2）∵，，由余弦定理，
得.
又，当且仅当时等号成立，
代入上式，得，
故，
即的最大值为
五、作图题
19．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：
（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.
附：临界值表
参考公式：，.
【答案】（1）有把握；（2）.
【分析】(1)由直方图得到列联表，利用公式求得的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，得到试验的全部结果所构成的区域及事件表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果.
【详解】(1)如下表：
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
(2)
设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，则)可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为，则SΩ＝1，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x，7≤x≤8,7.5≤y≤8.5}，
即图中的阴影部分面积为，所以，
李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，.
【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
六、问答题
20．如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．
(1)证明：平面．
(2)若，求点E到平面PBC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，得后可得线面平行；
（2）连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．然后利用体积法由求出到平面的距离即得．
【详解】（1）证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．
因为E是棱PD的中点，所以，且．
因为，，所以，，
所以四边形ABFE是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：如图，连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．
平面平面，，，易知平面PAD，平面PAD．
因此平面内的直线都与垂直，
因为，，所以，，
所以．
设D到平面PBC的距离为h，则．
又，三棱锥的高即为的高，长为，
所以．
由，得，所以点E到平面PBC的距离等于．
七、证明题
21．已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：.
【答案】（I）（II）见解析
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程；（Ⅱ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用函数的单调性转化为函数最值问题，即可证明（x﹣1）f（x）≥0．
【详解】（Ⅰ）定义域为，.
. .
所以曲线在处的切线方程为，
即
（Ⅱ）记.
.
由解得．
与在区间上的情况如下：
所以在时取得最小值．
所以.所以.
所以在上单调递增.
又由知，
当时，，，所以；
当时，，，所以.
所以.
【点睛】本题解出函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
八、问答题
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）消去参数可得的普通方程，由可得曲线的直角坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，设，，则，求解即可
【详解】（1）由，
消去参数可得普通方程为，
，
由，
得曲线的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线，由，
可得其极坐标方程为
由题意设，，
则.
，
，
，
.
九、证明题
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
（2）∵，当且仅当时等号成立，
∴函数的最小值为，则，
又∵，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
上式相加可得：，当且仅当时等号成立，
∴.
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
捐款低于500元
6
合计
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
9
39
捐款低于500元
5
6
11
合计
35
15
50
↘
极小
↗
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求解集合，再求.
【详解】因为，所以.
故选：A
2．在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数对应的点的坐标得到，利用复数除法法则计算出答案.
【详解】由题意可知，所以.
故选：C.
3．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.
【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或.
所以，当时，一定成立，故充分性成立；
当即或时，不一定成立，故必要性不成立.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a8＝0，S11＝33，则公差d的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质求解即可
【详解】因为等差数列{an}，，,故，故，故.
故选：C
5．数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来计数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.如图是利用“结绳计数”设计的程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）
A．2394B．16806C．2400D．16800
【答案】D
【分析】根据程序框图列式求解即可.
【详解】根据程序框图运行过程可得：
，
故选：D.
6．已知点是所在平面内的一点，且，设，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】由，可得为的中点，由图形结合平面向量基本定理用将表示出来，再结合，可求出的值，从而可求得答案
【详解】由题意作图，因为，所以为的中点，
所以，
因为，
所以由平面向量基本定理可得，
所以，
故选：D
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式和平方关系求解．
【详解】∵，
∵，∴，且，
∴，
故选：C．
8．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象经过原点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得，，进而可得，然后解三角方程即得.
【详解】∵函数的最小正周期为，∴，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，
因为其图象经过原点，所以，所以，，解得，.
又，所以的最小值为.
故选：C
9．已知在处取得极值，则的最小值为（ ）
A．B．3+2C．3D．9
【答案】C
【解析】对求导，由在处取得极值，可得，再利用基本不等式可得的最小值.
【详解】解：，
，
因为在处取得极值，
所以即，
则，
当且仅当时取等号，此时取得最小值3.
故选: C.
【知识点】本题主要考查利用导数研究函数的极值、基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力及数学计算能力，属于中档题.
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且，则tanC＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由三角形面积公式得到，再由余弦定理，结合，得出，然后平方可得出结果．
【详解】中，∵，由余弦定理得：，
且，∴
整理得，∴．
∴4，化简可得
∵，∴，
故选：C．
11．已知函数是定义域为的奇函数， 满足， 若， 则（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据已知求出的周期，再求出可得答案.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，，
因为，所以，
所以，
可得，所以的周期为，
因为，又，，
所以，，
所以，
则.
故选：B.
12．设，对任意恒成立，则m最大值（ ）
A．B．eC．D．
【答案】B
【分析】先转化原不等式为，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】依题意，，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，
所以在上单调递增，最小值为.
设，则.
令，
则，所以在上单调递增，
所以，所以，当时等号成立.
所以恒成立，
两边取以为底的对数得，
设，令，在上单调递增，
，所以，所以的最大值为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑分离参数法来求解，也可以考虑直接构造函数法，还可以考虑转化为两个函数的方法来进行求解.本题不考虑分离参数法，主要原因是含参数的不等式不容易分离出来.
二、填空题
13．已知平面向量，，且，实数的值为 ．
【答案】
【分析】表示出，其与数量积为0，可算得出.
【详解】解：因为，，所以
又，则
故.
故答案为：.
14．已知实数，满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】先画出可行区域，再根据可行区域得到最小值.
【详解】如图所示，画出满足不等式的可行区域为黑色三角形，令，
则可由直线平移得到，要使得最小，则需向下平移到图中点时取到，
解方程，解得，此时，
故答案为：
15．设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据给定的条件，求出函数的周期，进而求出，再利用最值求出的表达式作答.
【详解】因为函数相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期，
，又，因此，即，
所以当时，.
故答案为：
三、单空题
16．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若对任意，恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】/
【分析】先由与关系得，结合累乘法求出，从而利用裂项相消法求得即可求解.
【详解】因为，所以当时，，
相减得，即，
所以，
当时，也适合，所以，
又，所以，
所以，
对任意，恒成立，所以，即实数的最小值为.
故答案为：
四、问答题
17．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用，列方程即可求得，，问题得解．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，求得， ，即可求得，再利用分组求和法即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）设的公比为.
因为，，所以,
所以，,
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.
设等差数列的公差为.
因为,
所以,
所以.
所以.
因此.
从而数列的前项和
=
=.
【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式及前项和公式，还考查了分组求和方法，属于基础题．
18．已知中内角A，，的对边分别为，，，向量，，为锐角且.
（1）求角的大小；
（2）如果，求的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）根据，可得，化简整理，可得，结合角B的范围，即可求得答案.
（2）由（1）可得，根据余弦定理，可得，根据基本不等式，可得，代入上式，可得ac的最大值，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，∴，
即.
又∵为锐角，∴，
∴，∴.
（2）∵，，由余弦定理，
得.
又，当且仅当时等号成立，
代入上式，得，
故，
即的最大值为
五、作图题
19．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：
（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.
附：临界值表
参考公式：，.
【答案】（1）有把握；（2）.
【分析】(1)由直方图得到列联表，利用公式求得的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，得到试验的全部结果所构成的区域及事件表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果.
【详解】(1)如下表：
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
(2)
设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，则)可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为，则SΩ＝1，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x，7≤x≤8,7.5≤y≤8.5}，
即图中的阴影部分面积为，所以，
李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，.
【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
六、问答题
20．如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．
(1)证明：平面．
(2)若，求点E到平面PBC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，得后可得线面平行；
（2）连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．然后利用体积法由求出到平面的距离即得．
【详解】（1）证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．
因为E是棱PD的中点，所以，且．
因为，，所以，，
所以四边形ABFE是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：如图，连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．
平面平面，，，易知平面PAD，平面PAD．
因此平面内的直线都与垂直，
因为，，所以，，
所以．
设D到平面PBC的距离为h，则．
又，三棱锥的高即为的高，长为，
所以．
由，得，所以点E到平面PBC的距离等于．
七、证明题
21．已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：.
【答案】（I）（II）见解析
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程；（Ⅱ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用函数的单调性转化为函数最值问题，即可证明（x﹣1）f（x）≥0．
【详解】（Ⅰ）定义域为，.
. .
所以曲线在处的切线方程为，
即
（Ⅱ）记.
.
由解得．
与在区间上的情况如下：
所以在时取得最小值．
所以.所以.
所以在上单调递增.
又由知，
当时，，，所以；
当时，，，所以.
所以.
【点睛】本题解出函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
八、问答题
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）消去参数可得的普通方程，由可得曲线的直角坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，设，，则，求解即可
【详解】（1）由，
消去参数可得普通方程为，
，
由，
得曲线的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线，由，
可得其极坐标方程为
由题意设，，
则.
，
，
，
.
九、证明题
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
（2）∵，当且仅当时等号成立，
∴函数的最小值为，则，
又∵，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
上式相加可得：，当且仅当时等号成立，
∴.
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
捐款低于500元
6
合计
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
9
39
捐款低于500元
5
6
11
合计
35
15
50
↘
极小
↗
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