2024届陕西省西安市西安中学高三上学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省西安市西安中学高三上学期期中数学（理）试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，证明题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则的真子集共有（ ）
A．15个B．16个C．31个D．32个
【答案】A
【分析】解一元二次不等式，求出，从而求出，得到的真子集个数.
【详解】由题意得，，
解得：或，所以或，
所以，所以的子集共有个，真子集有15个．
故选：A．
2．若复数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由复数的除法运算求出复数，然后根据复数模长公式即可求解.
【详解】解：因为复数，
所以，
所以，
故选：B.
3．已知非零向量满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】将两边平方并化简，进而结合即可求得答案.
【详解】设的夹角为，因为，所以，
所以．
故选：B.
4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系．假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【详解】由，,时，；，
.又,
故选：C.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】通过函数的奇偶性、区间上的函数值的符号确定正确选项.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，排除B.
由，可知当时，；
当时，.所以D选项符合.
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，函数图象的识别的方法主要根据函数的单调性、特殊点来求解.
6．已知，则（ ）
A．-3B．3C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式、商数关系求得，然后由两角差的正切公式计算．
【详解】因为，所以，即，
．
故选：C．
7．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质并结合“媒介”数比较大小作答.
【详解】依题意，，，
而，即，
所以，，的大小关系为.
故选：B
8．已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上有一个零点B．关于对称
C．在区间上单调递增D．在区间上的最大值为2
【答案】A
【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值，从而可求出函数解析式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.
【详解】函数，图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为：；
而图象关于直线对称，且，于是，；
；
，所以不关于对称，故B错误；
当时，则，令，则，此时函数图象如图:
结合图象可知，当时，即，与坐标轴只有一个交点，即只有一个零点，故A正确；
当时，则，结合图象可知，此时有增有减，故C错误；
当时，则，结合图象可知，此时单调递增，所以，当时，即，函数取最大值，，故D错误；
故选：A.
9．在△ABC中，，，D是AC边的中点，点E满足，则与的夹角为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．120°
【答案】C
【分析】根据给定条件，用向量分别表示，再利用向量数量积的运算律求解作答.
【详解】在中，，，，如图，
则，又，
则，
所以，
即，所以与的夹角为.
故选：C.
10．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
11．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角差的正弦公式可得，由诱导公式及的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】解：∵，∴.
由，可得，
即.
∴，∴.
∵，∴，且.
由于函数在上单调递增，∴，即.
故选:C.
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
①函数有两个极值点；
②若关于的方程恰有1个解，则；
③函数的图象与直线（）有且仅有一个交点；
④若，且，则无最值.
A．①②B．①③④C．②③D．①③
【答案】D
【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得，有恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出与有3个交点时，的范围.然后用表示出，即可得出，构造函数，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.
【详解】对于①，当时，，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，，恒成立，
所以，在上单调递减；
当时，，恒成立，
所以，在上单调递减.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故①正确；
对于②，作出的图象如下图1
由图1可知，若关于的方程恰有1个解，则或，故②错误；
对于③，由①知，当时，，
因为，所以，所以，当且仅当；
当时，；
当时，，
因为，所以，所以，当且仅当.
综上所述，，有恒成立.
又直线可化为，斜率为，
所以函数的图象与直线（）有且仅有一个交点，故③正确；
对于④，
由图2可知，当时，函数的图象与有3个不同的交点.
则有，所以，
所以，.
令，，
则.
令，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，
根据零点存在定理可知，，使得，
且当时，，
所以，所以在上单调递减；
当时，，
所以，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.
综上所述，①③正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：遇到条件时，常设，然后根据图象得出的范围.根据解析式，用表示出，将所求表达式表示为的函数，根据导函数研究函数的单调性、极值、最值等.
二、填空题
13．若变量，满足约束条件，则的最大值是 .
【答案】9
【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.
【详解】做出可行域如下图所示：
当目标函数过点时，
取最大值为.
故答案为:9
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.
14．已知向量，，其中，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
15．已知函数的定义域为,其导函数为,若函数为偶函数,函数为偶函数,则下列说法正确的序号有 .
①函数关于轴对称;
②函数关于中心对称;
③若,则;
④若当时,,则当时,.
【答案】①③④
【分析】根据偶函数的定义以及原函数与导函数的对称关系得出轴对称和中心对称，再得出周期，再综合利用得出的性质求解.
【详解】由于函数为偶函数,则②,则函数关于轴对称,①正确;
进而函数关于点中心对称,
由于函数为偶函数,则,则函数关于轴对称,
进而函数关于中心对称, ②错误;
由题可得函数的周期为，
的周期为，
故，
由中心对称性，
所以，
所以,故,③正确;
当时,，
,④正确.
故答案为：①③④
【点睛】结论点睛：若是可导的奇函数,则是偶函数；若是可导的偶函数,则是奇函数.
16．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，由的取值范围求出的取值范围，令，将问题转化为函数在区间上的极值点个数问题，数形结合来求解.
【详解】解：
，
当时，，
令，则，
作出函数的图象如图所示：
由于函数在上有且仅有个极值点，
则，解得.
故答案为：
三、问答题
17．已知函数.
(1)求的最大值和最小值;
(2)设,求的对称中心及单调递增区间.
【答案】(1);
(2)对称中心是.单调递增区间是.
【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为，令,配方即可求解.
（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.
【详解】解:(1)由题意得,
令,则,则.
所以当时,有;当时,.
(2)由题得,
从而.
由,得.故对称中心是.
再由,
得.
所以单调递增区间是.
【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.
18．已知函数
1)若a=1,求曲线在点处的切线方程
(2)若在R上单调递增,求实数a的取值范围
【答案】（1）（2）
【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，若是单调递增函数，则恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围．
详解：
(1)
（2）
所以在上单调递增，在上单调递减
所以.
点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．
四、证明题
19．记的内角､､的对边分别为､､，已知.
(1)证明：；
(2)若，，角的内角平分线与边交于点，求的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即，
所以；
（2）由余弦定理得：，，
又，
所以，，
由角平分线定理可得，，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
五、应用题
20．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛
【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；
（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为，
于是一班总分不少于100分的概率为；
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
，，
，．
所以X的分布列为：
，
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
，，
，，
的分布列：
，
因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
六、证明题
21．已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个零点，，，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）先判断出，将转化为，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）由，可知定义域，
，令，则，
①当时，，则成立，即成立，
所以在上单调递增；
②当时，令，得，记，
，当变化时，，的变化情况如下表
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
（2）因为函数有三个零点，，，
不妨设，所以，
即在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
由，知，故，
因为，
所以，即，
因此，
令，
所以，令，
则在上单调递减，且，
，成立，
所以在上单调递减，且，因此，
则，
所以.
【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.
七、问答题
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
【答案】（1）曲线，曲线.（2）.
【解析】（1）用和消去参数即得的极坐标方程；将两边同时乘以，然后由解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为，代入到和：中，表示出即可求解.
【详解】解：由和，得
，化简得
故：
将两边同时乘以，得
因为，所以
得的直角坐标方程.
（2）设直线的极坐标方程
由，得，
由，得
故
当时，取得最大值
此时直线的极坐标方程为：，
其直角坐标方程为：.
【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
八、解答题
23．已知函数，且.
(1)若函数的最小值为，试证明点在定直线上；
(2)若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求出函数的最小值，结合取得最小值的条件即可得出结论；
（2）由题意，则不等式恒成立，即，进而可得出答案.
【详解】（1），
当且仅当时取等号，
，即点在定直线上；
（2）当，时，，
由得：，
，则，
，解得：，
即实数的取值范围为.
X
60
80
100
120
P
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗