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2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高二上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【详解】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan=
∴直线x+y﹣2 =0倾斜角为．
故选C．
【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题
2．空间中点到点的距离为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】先求出，然后根据向量的模解决.
【详解】依题意得，∴，
故选：B
3．两条平行直线：与：间的距离为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】C
【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可．
【详解】两条平行直线：与：
所以两条平行线间的距离为．
故选：C．
4．若直线与圆相切，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，
依题意，，解得，
所以.
故选：A
5．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
6．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A．B．24C．32D．
【答案】D
【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径.
【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以.
设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，
所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为.
故选：D
7．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减法进行求解.
【详解】解：在三棱锥中
，E为OA的中点
，，
所以
故选：A
8．已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10B．16C．11D．26
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可.
【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，
所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．
故选：C
二、多选题
9．已知直线，则下列表述正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；
B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；
C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；
D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.
则围成三角形面积为，后由基本不等式可判断选项.
【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为，故A正确；
B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；
C选项，因直线与直线平行，则，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为
，故C错误；
D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.
又交点在两坐标轴正半轴，则.故围成三角形面积为，当且仅当
，即时取等号.即面积最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
10．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】ABC
【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.
【详解】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
故A、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
故答案为：ABC
11．下列命题正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．是向量的必要不充分条件
C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
D．空间中任意两个向量，，则一定成立
【答案】AB
【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC选项，根据向量的定义可判断B选项，根据向量的数量积公式可判断D选项.
【详解】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；
B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，故B选项正确；
C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误；
D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误；
故选：AB.
12．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】BCD
【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D.
【详解】由题知，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，的最小值为2，故A错误；
当时，双曲线方程为，
此时渐近线方程为，即，B正确；
若直线的斜率不存在，由对称性可知；当斜率存在时，设直线方程为，，AB的中点为，CD的中点为
则，由点差法可得，所以，
所以，
又双曲线渐近线方程为，联立分别求解可得，
所以，
所以M，N重合，则，或，故C正确；
若，则双曲线方程为，渐近线方程为，
不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为，
，得切线斜率为，方程为，
设点E，F坐标分别为，分别作垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限，
则
又，所以，
联立渐近线方程和切线方程可解得，
整理得，
两式相乘得，所以，
所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解时，要结合式子的结构特征灵活处理.
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．
【详解】空间直角坐标系中，
点关于平面对称的点的坐标是
故答案为：．
14．在棱长为的正四面体中， ．
【答案】/
【分析】选择夹角与模长均已知的向量作为基向量表达所求向量，再利用数量积的定义式运算即可.
【详解】将作为空间的一个基底，由正四面体棱长为，
则，且两两夹角均为，
所以
，
故答案为：.
15．已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|= ．
【答案】2
【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．
【详解】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）
圆心到直线的距离，则直线经过圆的圆心，
所以弦长|AB|=2r=2．
故答案为：2．
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由为正三角形，可表示出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率.
【详解】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以①正确，
对于②，设，则，
因为轴，垂足为，所以，
所以，，所以②正确，
对于③，因为，所以，
所以为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，所以，
因为，所以，
所以，所以四边形的面积为，所以③错误，
对于④，因为为正三角形，，所以，
因为点在双曲线上，
所以，化简得，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的定义和几何性质的应用，解题的关键是结合题意和双曲线的几何性质找出等量关系，从而可进行判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题
17．根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点，且倾斜角为；
(2)经过点，在轴上有不为0且相等的截距.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用斜截式计算即可；
（2）利用截距式计算即可.
【详解】（1）由题意可知该直线的斜率为，在纵轴上的截距为，
所以该直线方程为；
（2）由题意可设该直线在两坐标轴的截距为，
由截距式可得其方程为，
代入点得.
18．若，且，求与的夹角.
【答案】0
【分析】根据向量垂直，点积为0列方程组即可求得.
【详解】由题意可得：，化简得
因此，所以与的夹角为0.
19．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18.
【分析】先设圆标准方程，再根据条件列三个方程，解方程组得结果.
【详解】设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
由题意得解得∴圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
【点睛】确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
20．已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m，暴雨后的水面宽为2m，暴雨来临之前的水面宽为4m，求暴雨后的水面离桥拱顶的距离．
【答案】
【分析】根据题意，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，进而且，再计算得，进而得答案.
【详解】解：如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由已知得且，
所以，解得，
所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为
21．已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "
【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可．
试题解析：
设直线l的方程为y＝x＋b①
圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②
联立①②消去y，得
2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有③
因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，
把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，
故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．
【解析】存在性问题．
【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解．
22．在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求证：为定值；
(3)若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)平行
【分析】（1）根据椭圆方程及离心率公式计算即可；
（2）利用两点斜率公式计算即可；
（3）设直线方程、方程与椭圆联立，结合（2）的结论及韦达定理表示出C、D坐标，计算其斜率即可判定两直线关系.
【详解】（1）设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为：，
则由；
（2）不妨设，
又，
则，即为定值；
（3）
设，
联立直线与椭圆C方程，
所以，
设，
同理联立直线与椭圆C方程，
所以
，
所以，
易知，所以.
一、单选题
1．直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【详解】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan=
∴直线x+y﹣2 =0倾斜角为．
故选C．
【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题
2．空间中点到点的距离为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】先求出，然后根据向量的模解决.
【详解】依题意得，∴，
故选：B
3．两条平行直线：与：间的距离为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】C
【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可．
【详解】两条平行直线：与：
所以两条平行线间的距离为．
故选：C．
4．若直线与圆相切，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，
依题意，，解得，
所以.
故选：A
5．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
6．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A．B．24C．32D．
【答案】D
【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径.
【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以.
设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，
所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为.
故选：D
7．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减法进行求解.
【详解】解：在三棱锥中
，E为OA的中点
，，
所以
故选：A
8．已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10B．16C．11D．26
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可.
【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，
所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．
故选：C
二、多选题
9．已知直线，则下列表述正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；
B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；
C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；
D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.
则围成三角形面积为，后由基本不等式可判断选项.
【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为，故A正确；
B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；
C选项，因直线与直线平行，则，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为
，故C错误；
D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.
又交点在两坐标轴正半轴，则.故围成三角形面积为，当且仅当
，即时取等号.即面积最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
10．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】ABC
【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.
【详解】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
故A、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
故答案为：ABC
11．下列命题正确的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．是向量的必要不充分条件
C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
D．空间中任意两个向量，，则一定成立
【答案】AB
【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC选项，根据向量的定义可判断B选项，根据向量的数量积公式可判断D选项.
【详解】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；
B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，故B选项正确；
C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误；
D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误；
故选：AB.
12．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】BCD
【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D.
【详解】由题知，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，的最小值为2，故A错误；
当时，双曲线方程为，
此时渐近线方程为，即，B正确；
若直线的斜率不存在，由对称性可知；当斜率存在时，设直线方程为，，AB的中点为，CD的中点为
则，由点差法可得，所以，
所以，
又双曲线渐近线方程为，联立分别求解可得，
所以，
所以M，N重合，则，或，故C正确；
若，则双曲线方程为，渐近线方程为，
不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为，
，得切线斜率为，方程为，
设点E，F坐标分别为，分别作垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限，
则
又，所以，
联立渐近线方程和切线方程可解得，
整理得，
两式相乘得，所以，
所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解时，要结合式子的结构特征灵活处理.
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．
【详解】空间直角坐标系中，
点关于平面对称的点的坐标是
故答案为：．
14．在棱长为的正四面体中， ．
【答案】/
【分析】选择夹角与模长均已知的向量作为基向量表达所求向量，再利用数量积的定义式运算即可.
【详解】将作为空间的一个基底，由正四面体棱长为，
则，且两两夹角均为，
所以
，
故答案为：.
15．已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|= ．
【答案】2
【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．
【详解】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）
圆心到直线的距离，则直线经过圆的圆心，
所以弦长|AB|=2r=2．
故答案为：2．
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由为正三角形，可表示出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率.
【详解】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以①正确，
对于②，设，则，
因为轴，垂足为，所以，
所以，，所以②正确，
对于③，因为，所以，
所以为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，所以，
因为，所以，
所以，所以四边形的面积为，所以③错误，
对于④，因为为正三角形，，所以，
因为点在双曲线上，
所以，化简得，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的定义和几何性质的应用，解题的关键是结合题意和双曲线的几何性质找出等量关系，从而可进行判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题
17．根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点，且倾斜角为；
(2)经过点，在轴上有不为0且相等的截距.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用斜截式计算即可；
（2）利用截距式计算即可.
【详解】（1）由题意可知该直线的斜率为，在纵轴上的截距为，
所以该直线方程为；
（2）由题意可设该直线在两坐标轴的截距为，
由截距式可得其方程为，
代入点得.
18．若，且，求与的夹角.
【答案】0
【分析】根据向量垂直，点积为0列方程组即可求得.
【详解】由题意可得：，化简得
因此，所以与的夹角为0.
19．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18.
【分析】先设圆标准方程，再根据条件列三个方程，解方程组得结果.
【详解】设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
由题意得解得∴圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
【点睛】确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
20．已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m，暴雨后的水面宽为2m，暴雨来临之前的水面宽为4m，求暴雨后的水面离桥拱顶的距离．
【答案】
【分析】根据题意，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，进而且，再计算得，进而得答案.
【详解】解：如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由已知得且，
所以，解得，
所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为
21．已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "
【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可．
试题解析：
设直线l的方程为y＝x＋b①
圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②
联立①②消去y，得
2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有③
因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，
把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，
故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．
【解析】存在性问题．
【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解．
22．在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求证：为定值；
(3)若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)平行
【分析】（1）根据椭圆方程及离心率公式计算即可；
（2）利用两点斜率公式计算即可；
（3）设直线方程、方程与椭圆联立，结合（2）的结论及韦达定理表示出C、D坐标，计算其斜率即可判定两直线关系.
【详解】（1）设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为：，
则由；
（2）不妨设，
又，
则，即为定值；
（3）
设，
联立直线与椭圆C方程，
所以，
设，
同理联立直线与椭圆C方程，
所以
，
所以，
易知，所以.
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