2023-2024学年陕西省渭南市高一上学期11月期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市高一上学期11月期中联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由自然数集的定义化简集合，解二次不等式化简集合，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，由此得解.
【详解】易知，
由得，故，则，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，而，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：B.
2．命题“”的否定是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.
【解析】全称命题与存在性命题.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【详解】解：因为，所以，
，，
或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4．已知集合，集合，则C的子集的个数为（ ）
A．3B．8C．7D．16
【答案】B
【分析】根据题意得到集合，然后求子集个数即可.
【详解】由题意得，所以集合的子集的个数为.
故选：B.
5．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，
即函数定义域为，故选B.
【解析】求函数定义域
6．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0，3)B．(0，3]C．(0，2)D．(0，2]
【答案】D
【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.
【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.
故选：D.
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，.若函数，则函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．单调递增函数D．值域为
【答案】D
【分析】根据高斯函数的定义得出函数的解析式，作出图形，由图象可得选项.
【详解】解：由于，所以，
由此作出函数的图象，由图示可以得出是非奇非偶函数，不是单调递增函数，
值域为.
故选：D.
8．已知是定义在R上的奇函数，且对任意，当时，都有，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由题设条件证得在R上单调递增，再将题干中不等式转化为，由的单调性得可，从而求得，即求得所求不等式的解集.
【详解】因为对任意，当时，都有，即，
令，则在R上单调递增，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
由得，即，
所以由的单调性得，即，即，
所以，即的解集为.
故选：B.
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合，由可得，
则或或或，
当时，满足即可；
当时，需满足，解得：；
当时，需满足，解得：；
因为时有且只有一个根，所以.
所以的值可以为.
故选：ABD.
10．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
11．已知则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为2
B．若，则的最小值为1
C．若，且，则最小值为2
D．若，且，则最小值为
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式及其推论求解即可.
【详解】对于A，由，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，故A错误；
对于B，由，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为1，故B正确；
对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立，
解得（舍去）或，
所以最小值为2，故C正确；
对于D，由，且，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以最小值为，故D正确.
故选：BCD.
12．函数对任意总有， 当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是上的减函数
B．在上的最小值为
C．是奇函数
D．若，则实数的取值范围为
【答案】BCD
【解析】本题首先可取、，求出，然后令，即可证得函数是奇函数，C正确，再然后通过定义法判断函数的单调性，即可得出函数是上的增函数，A错误，最后根据增函数得出函数在上的最小值为，根据求出，B正确，根据增函数性质将转化为，即可判断出D正确.
【详解】取，，则，解得，
令，则，
即，函数是奇函数，C正确，
令，且，则，
因为当时，，所以，
则，
即，函数是上的增函数，A错误，
因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，
，
故，在上的最小值为，B正确，
，即，
因为函数是上的增函数，
所以，，实数的取值范围为，D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性的判断、定义法证明函数单调性以及根据函数单调性求最值和不等式，若定义域关于轴对称的函数满足，则函数是奇函数，若满足，则函数是偶函数，考查计算能力，体现了基础性和综合性，是中档题.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】命题：“，”是假命题等价于命题：“，”是真命题，再解决含参的不等式恒成立问题即可.
【详解】命题：“，”是假命题，
即命题：“，”是真命题，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，,
则，解得；
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
15．为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为 千瓦时.
【答案】
【解析】根据题意，写出电费与用电量的函数关系式，根据函数值即可求解.
【详解】设用电量为千瓦时，电费元，
，
若时。
当时，则，解得，不满足题意；
当时，则，
解得，不满足题意；
当时，则，解得，满足题意.
故答案为：
16．若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得当时，，当时，，即可求解不等式.
【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或，
解得或.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】由，可得出，然后分和两种情况讨论，根据列出关于实数的不等式组，解出即可；
分和两种情况讨论，根据列出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】（1）由得，
当时，则有，
解得；
当时，则有，
解得；
综上所诉：实数m的取值范围为.
（2）若，则有
当时，则有，
解得；
当时或
得或，
综上所诉：实数m取值范围为.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求m的值，并出函数的解析式；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意首先可以求出，然后根据当时，，且，，从而即可得解，要注意检验.
（2）首先根据二次函数单调性、奇偶性得到的单调性，从而将不等式等价变形为，解不等式组即可得解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
，得，
因为时，，
当时，，且，
函数是定义在上的奇函数，
，
经检验当时，是奇函数，满足题意，
所以.
（2）因为时，，所以在上单调递增，
函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
由，
，
，解得，
即实数a的取值范围.
19．已知是幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）4
（2）当时， ；当时， ，当时， ．
【分析】（1）根据函数是幂函数知，求解后根据函数在上单调递增即可求m（2）化简，根据二次函数的对称轴与的关系分三类讨论，可求出函数的最小值.
【详解】（1）是幂函数，
∴，解得或；
又在上单调递增，
∴，
∴的值为4；
（2）函数，
当时，在区间上单调递增，最小值为；
当时，在区间上先减后增，最小值为，
当时，在区间上单调递减，最小值为．
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质，二次函数分类讨论求最小值，属于中档题.
20．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？
（2）若使每间虎笼面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
【答案】（1）当长为，宽为时，面积最大，最大面积为；（2）当长为，宽为时，钢筋网总长最小，最小值为.
【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.
（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.
【详解】（1）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，
则，
则，所以每间虎笼面积的最大值为，当且仅当即时等号成立.
（2）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，
则钢筋网总长为，所以钢筋网总长最小为，当且仅当等号成立.
21．已知是定义在上的奇函数，当，，且时，有.
（1）判断函数的单调性，并给以证明；
（2）若且对所有，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上为增函数；证明见解析；（2）或或.
【解析】（1）利用函数单调性的定义即可证明；
（2）根据单调性求出时，的最大值，即对任意的恒成立，只需，解不等式组即可求解.
【详解】（1）证明：设且，
，
因为，所以，
所以，，
所以，
即
即在上为增函数.
（2）且在上为增函数.对，有
由题意，对所有的恒成立，应有
记对所有成立.
所以 ，解得：或或，
所以实数的取值范围为或或.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
22．设函数.
（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；
（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.
（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.
【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立，
即恒成立，因此 ，
设，所以，
函数在区间上是单调递减的，
，
（2）由对于一切实数恒成立，可得，
由存在，使得成立可得，
，
，当且仅当时等号成立，
【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.