2024届陕西省渭南市尚德中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省渭南市尚德中学高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别化简两集合，利用两集合交集的运算规则进行运算即可.
【详解】，
，
故选：C.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.
【详解】由可得其解集为：，由可得其解集为：.
而，即由“”可以推出“”，反过来“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出最大边所对角的余弦，再判断作答.
【详解】在△ABC中，因，则最大边为b，其所对角B是最大角，
由余弦定理得：，因此角B是钝角，
所以△ABC是钝角三角形.
故选：A
4．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
5．已知，则的值是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简所求的表达式为正切函数的表达式，代入求解即可.
【详解】
，
故选：B.
6．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先平移得出函数解析式，再根据奇偶性结合范围求参即可.
【详解】的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数，
因为的图象关于坐标原点对称，
所以，即，
因为，故当时，m取得最小值．
故选：B.
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.
【详解】由题意可得：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除B，D.
当时，则，可得，
所以，排除A.
故选：C.
8．函数的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的倍角公式与配方法，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】因为，
又，
利用二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以原式的值域为.
故选：B.
9．已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
10．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（ ）
A．5周B．6周C．7周D．8周
【答案】A
【分析】先代入t=0计算出值写出函数关系，再根据规范写出函数表达式解出时间t.
【详解】依题意可知当t=0时，y=6.05，即0.05+=6.05，=6，所以，
由，得，解得t≥ln120=3ln2+ln3+ln5≈4.8，至少需要放置的时间为5周.
故选:A
11．设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)B．
C．(1，＋∞)∪{0}D．(0，1]
【答案】D
【分析】函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根,分x≤0时和x>0时对函数f(x)判断单调性画出图象,平移直线y=b与函数f(x)有三个交点,可求出实数b的取值范围.
【详解】令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2要使f(x)＝b有三个根，则0故选:D.
【点睛】本题考查函数的零点问题,考查分段函数的图象,考查函数零点问题与方程根的相互转化,考查利用导数研究函数的单调性与极值,考查分类讨论思想和函数与方程思想,属于中档题.
12．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造，利用导数讨论单调性即可判断C和D.
【详解】令，则，
令恒成立，
即在定义域单调递增，
且
因此在区间上必然存在唯一使得，
所以当时单调递减，当时单调递增，
故A，B均错误；
令，，
当时，，
∴在区间上为减函数，
∵，∴，即，
∴选项C正确，D不正确.
故选:C.
二、填空题
13．已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
14．已知、都是锐角，且，，则 ．
【答案】
【分析】利用平方关系分别求出，，再根据结合两角差的余弦公式即可得解.
【详解】解：由、都是锐角，，，
则，，
则．
故答案为：.
15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
16．已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由条件，构造函数，由得在上单调递增，再利用单调性解不等式即可.
【详解】由题意，对任意，都有成立，
即．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增．
不等式即，即．
因为，所以．
故由，得.
所以不等式的解集为，
故答案为：.
三、解答题
17．世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废．零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加．现根据相关统计，得到一组数据如下表．
(1)求r关于t的线性回归方程；
(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过10%，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理．根据（1）中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？
参考数据：，．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)8年
【分析】（1）根据题中所给的公式和数据进行求解即可；
（2）运用代入法进行求解判断即可.
【详解】（1）因为，所以．
又，，
所以，
所以．
故r关于t的线性回归方程为．
（2）由（1）可知，当时，，
当时，．
故估计该零件使用8年后需要进行报废处理．
18．中，角，，的对边分别为，，，且满足 .
(1)求角的大小;
(2)若，的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再进行化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据的面积，得到，根据余弦定理得到关系，从而得到的值.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理，
得，
所以，
即，
因为为的内角，所以，
所以，
因为因为为的内角，所以.
（2），即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以得到.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角恒等变形，属于简单题.
19．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；单调递增区间是，；
(2)
【分析】（1）首先化简函数，再根据三角函数的性质判断周期和单调递增区间；
（2）将方程转化为，再结合函数的图象，转化为两个函数图象的交点问题，即可求解.
【详解】（1）
，
最小正周期；
令，，得，
所以函数的单调递增区间是，；
（2），，
令，得，
令，如图，画出函数的图象，

若在区间上有两个不同的零点，则与的图象，有2个不同的交点，即可，
得
所以实数的取值范围是.
20．设等差数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列求和公式以及通项公式得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）结合项可化为相邻两项的差，从而利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
又因为，所以，
联立，解得，
所以，
（2）结合（1）可知，
，
.
四、证明题
21．已知函数，且．
(1)若当时，恒成立，求m的取值范围；
(2)若，且，使得，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解；
（2）条件转化为，原不等式可转化为，利用函数单调性转化为，构造函数，利用导数判断单调性即可得解.
【详解】（1）当时，，
所以由，可得．
令，则，
令，则，而，得．
故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以m的取值范围为．
（2）易知，所以，等价于，等价于．
不妨设，由（1）可知．
要证，即证，
又因为在上单调递减，
所以需证，
即．
令，
则
，
当时，，，
所以，
则在上单调递增，
所以，即，
因此，．
【点睛】关键点点睛：对条件进行转化为是解题的第一个关键点，再对要证式子变形，转化为证明不等式为第二个关键点，构造函数，利用导数证明在上单调递增是解题的第三个关键点.
五、解答题
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，与轴交于点，求的值.
【答案】(1)，
(2)36
【分析】（1）根据消参即可，根据极坐标和直角坐标互化公式即可；
（2）先求出直线的参数方程，联立曲线的普通方程，由的几何意义即可求解.
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得普通方程为.
因为，所以，将代入得.
（2）由于直线与轴的交点坐标为，倾斜角为，
所以直线的参数方程为（为参数），
代入，得，
设对应的参数分别为，则，
所以.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分段讨论解绝对值不等式；
（2）恒成立问题，先求得的最小值为，再解不等式即可.
【详解】（1）由，可得，
当时，原不等式可化为，化简得，不成立；
当时，原不等式可化为，解得，故；
当时，原不等式可化为，化简得，恒成立，故.
综上可知的取值范围为.
（2）因为，
当，即时，取最小值，且最小值为，
由题可知关于的不等式的解集为，即不等式恒成立，
所以，
解得.
故实数的取值范围是
使用时间t/年
1
2
3
4
5
磨损指数r/%
4.5
5.6
6.4
6.8
7.2