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2024届北京市顺义区杨镇第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案
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这是一份2024届北京市顺义区杨镇第一中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简可得出复数.
【详解】由已知可得.
故选：C.
3．设平面向量，若，则等于（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：D
4．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为，
令，得，
所以二项式展开式中的常数项为．
故选：C.
5．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：A
6．埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（ ）．
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由侧面与底面所成角的余弦值可得，即可得到结果.
【详解】
如图所示，设正四棱锥的底面边长，则，点为底面的中心，取中点为，连接，则，则侧面与底面所成角的平面角即为，因为侧面与底面所成角的余弦值为，即，则，在中，.
故选：D
7．在中，若，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理得，代入，得
，联立化简得，
解得或（舍去），故，
，则,
故.
故选：D.
8．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
9．设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.
【详解】因为，均为锐角，所以，.
当时，，
由函数在上单调递增，所以，
故“”是“”的充分条件.
当时，由，，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
10．已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，
则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，
此时弦长取得最大值，且最大值为；
设线段的中点为，
在中，由，且，则，
则动直线在圆上做切线运动，
所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，
此时弦长取得最小值，且最小值为，
所以的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为；
②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式．
二、填空题
11．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5= ，Sn的最小值为 ．
【答案】 0. -10.
【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
13．设为抛物线的焦点，点A在上，点，则的坐标为 ；若，则 .
【答案】
【分析】由抛物线方程可得其焦点从标，再利用两点距离公式与焦半径公式求得，从而得解.
【详解】因为为抛物线的焦点，则，
又，则，设，
则，所以，则，即，
所以.
故答案为：；.
14．如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.
【答案】
【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可.
【详解】， ， ，，，
中，由正弦定理，有，则，
中，由余弦定理，
有，
得，即，两点间的距离为.
故答案为：.
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，不存在最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求值域判断；②由上值域为，讨论、确定在上值域，根据不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【详解】①当时，，在上的值域为，在上值域为.
所以的最小值为0，故①正确；
②在上的值域为，
当时，在上值域为；
当时，在上值域为；
要使不存在最小值，则或，
解得或，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
三、解答题
16．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：函数在区间上是增函数；
条件②：；
条件③：.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)选择见解析；答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意，
，
当选条件①时，由，可得
当，时，
即，时，单调递增，又因为在上单调递增，
所以得，解得，，
当时，，与已知条件矛盾，故条件①不能使得存在.
当选条件②时，，即，
因为，所以，所以，
所以，可得，即.
当选条件③时，，又，
所以当时，取最小值，即，又，
所以，得.
（2）当选条件②，③时，，则，
因为，所以，
当，即时，取最小值，最小值为，
当，即时，取最大值，最大值为1.
17．某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；
（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
【答案】（1）>，<；（2）分布列见解析，数学期望；（3）.
【分析】（1）直接判断>，<；
（2）经分析X服从二项分布，利用公式求出概率，写出分布列，计算数学期望即可；
（3）利用相互独立事件的概率计算公式进行计算.
【详解】（1）>，<，
，
.
（2）教师对菜品满意的概率,则随机变量X服从二项分布，即
X可取0,1,2,3，且，
所以，，
，，
所以分布列为：
所以数学期望,
即数学期望为.
（3）记事件C: 教师的满意度等级高于学生的满意度等级，
用A1、A2、A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
用B1、B2、B3分别表示学生对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
且A1、A2、A3 、B1、B2、B3相互独立，则
所以
.
即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为.
【点睛】(1) 求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；③）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
(2)求离散型随机变量的分布列时，要特别注意. 随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.
18．如图，在三棱锥中，平面．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；
（3）应用等体积法求点到面的距离即可.
【详解】（1）因为平面，平面，平面，
所以，又，所以，
又因为，，所以，
因为平面,平面，且，
所以平面；
（2）过作//，则平面，又由（1）知，
所以以为轴建立空间直角坐标系，如下图，
则，
设平面的法向量为，又，
所以令，则，则，
设平面的法向量为，又，
所以，令，则，则，
令二面角的平面角为，则，
由图知此二面角为锐二面角，
所以，故二面角为；
（3）设点到平面的距离为，
，所以，
又，所以，
解得，所以点到平面的距离为.
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.
【答案】（1）（2）点在以为直径的圆上
【解析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．
【详解】（1）由题意可知，，解得，
椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，则，，
直线的斜率为，
直线的方程为：，
令得，，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
，，
又点，在椭圆上，
，，
，
点在以为直径的圆上．
【点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
20．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线；
（2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间；
（3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围.
【详解】（1）时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
（2），函数定义域为R，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
（3）当时，由（2）可知为在上的极小值，也是最小值.
于是，所以
当且时，
由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，
因此，此时，符合题意.
所以的取值范围为.
21．数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等．
(1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
(2)记，若，证明：；
(3)若，求n的最小值．
【答案】(1)②③
(2)证明见解析
(3)2030
【分析】（1）根据题中数列满足的要求一一判断所给数列，可得结论；
（2）设数列中1，2，3出现的频数依次为，判断出的取值情况，即可证明结论；
（3）设出现的频数依次为，同（2）判断的取值情况，即可由取最小值时求得n的最小值，然后分类讨论，证明此时符合题目要求即可.
【详解】（1）对于①，由于，故或，不合题意；
对于②，当时，存在s，t两两不相等，使得；
当时，存在s，t两两不相等，使得；
当时，存在s，t两两不相等，使得；符合题意；
同理③也符合题意，
故所有符合题目条件的数列的序号为②③；
（2）证明：当时， 设数列中1，2，3出现的频数依次为，
由题意知，
假设，则有，（对任意），与已知矛盾，
故，同理可证；
假设，则存在唯一的使得，
那么对于，都有，（k，s，t两两不相等），
与已知矛盾，故；
综上可得，
所以，
即.
（3）设出现的频数依次为，
同（2）的证明，，，则；
取，，
得到的数列为：，
下面证明该数列满足题目要求：
对于，不妨令，
如果，或，由于，故符合条件；
②如果，或，由于，，
故也符合条件；
③如果，则可选取，，
同样的，如果，，则可选取，
使得，且两两不相等；
④如果，则可选取，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也符合条件，
综上，对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，
即数列符合题目要求，
故n的最小值为2030.
【点睛】难点点睛：本题是给出了数列需满足的要求。也可以认为是数列的一个新定义，因此解答的关键是要理解这些要求，按其要求去判断解答问题；难点在于第三问的解答，设出现的频数依次为，要判断出，，进而取，求得n的最小值，继而分类讨论，证明求得的值符合题目要求.
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2
3
P
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简可得出复数.
【详解】由已知可得.
故选：C.
3．设平面向量，若，则等于（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：D
4．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为，
令，得，
所以二项式展开式中的常数项为．
故选：C.
5．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：A
6．埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（ ）．
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由侧面与底面所成角的余弦值可得，即可得到结果.
【详解】
如图所示，设正四棱锥的底面边长，则，点为底面的中心，取中点为，连接，则，则侧面与底面所成角的平面角即为，因为侧面与底面所成角的余弦值为，即，则，在中，.
故选：D
7．在中，若，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理得，联立解出值，求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理得，代入，得
，联立化简得，
解得或（舍去），故，
，则,
故.
故选：D.
8．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
9．设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.
【详解】因为，均为锐角，所以，.
当时，，
由函数在上单调递增，所以，
故“”是“”的充分条件.
当时，由，，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
10．已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，
则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，
此时弦长取得最大值，且最大值为；
设线段的中点为，
在中，由，且，则，
则动直线在圆上做切线运动，
所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，
此时弦长取得最小值，且最小值为，
所以的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为；
②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式．
二、填空题
11．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5= ，Sn的最小值为 ．
【答案】 0. -10.
【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
13．设为抛物线的焦点，点A在上，点，则的坐标为 ；若，则 .
【答案】
【分析】由抛物线方程可得其焦点从标，再利用两点距离公式与焦半径公式求得，从而得解.
【详解】因为为抛物线的焦点，则，
又，则，设，
则，所以，则，即，
所以.
故答案为：；.
14．如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.
【答案】
【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可.
【详解】， ， ，，，
中，由正弦定理，有，则，
中，由余弦定理，
有，
得，即，两点间的距离为.
故答案为：.
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，不存在最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求值域判断；②由上值域为，讨论、确定在上值域，根据不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【详解】①当时，，在上的值域为，在上值域为.
所以的最小值为0，故①正确；
②在上的值域为，
当时，在上值域为；
当时，在上值域为；
要使不存在最小值，则或，
解得或，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
三、解答题
16．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：函数在区间上是增函数；
条件②：；
条件③：.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)选择见解析；答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意，
，
当选条件①时，由，可得
当，时，
即，时，单调递增，又因为在上单调递增，
所以得，解得，，
当时，，与已知条件矛盾，故条件①不能使得存在.
当选条件②时，，即，
因为，所以，所以，
所以，可得，即.
当选条件③时，，又，
所以当时，取最小值，即，又，
所以，得.
（2）当选条件②，③时，，则，
因为，所以，
当，即时，取最小值，最小值为，
当，即时，取最大值，最大值为1.
17．某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；
（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
【答案】（1）>，<；（2）分布列见解析，数学期望；（3）.
【分析】（1）直接判断>，<；
（2）经分析X服从二项分布，利用公式求出概率，写出分布列，计算数学期望即可；
（3）利用相互独立事件的概率计算公式进行计算.
【详解】（1）>，<，
，
.
（2）教师对菜品满意的概率,则随机变量X服从二项分布，即
X可取0,1,2,3，且，
所以，，
，，
所以分布列为：
所以数学期望,
即数学期望为.
（3）记事件C: 教师的满意度等级高于学生的满意度等级，
用A1、A2、A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
用B1、B2、B3分别表示学生对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
且A1、A2、A3 、B1、B2、B3相互独立，则
所以
.
即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为.
【点睛】(1) 求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；③）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
(2)求离散型随机变量的分布列时，要特别注意. 随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.
18．如图，在三棱锥中，平面．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；
（3）应用等体积法求点到面的距离即可.
【详解】（1）因为平面，平面，平面，
所以，又，所以，
又因为，，所以，
因为平面,平面，且，
所以平面；
（2）过作//，则平面，又由（1）知，
所以以为轴建立空间直角坐标系，如下图，
则，
设平面的法向量为，又，
所以令，则，则，
设平面的法向量为，又，
所以，令，则，则，
令二面角的平面角为，则，
由图知此二面角为锐二面角，
所以，故二面角为；
（3）设点到平面的距离为，
，所以，
又，所以，
解得，所以点到平面的距离为.
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.
【答案】（1）（2）点在以为直径的圆上
【解析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．
【详解】（1）由题意可知，，解得，
椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，则，，
直线的斜率为，
直线的方程为：，
令得，，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
，，
又点，在椭圆上，
，，
，
点在以为直径的圆上．
【点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
20．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线；
（2）利用导数，对分类讨论，求的单调区间；
（3）由恒成立，结合函数的极值，求的取值范围.
【详解】（1）时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
（2），函数定义域为R，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
（3）当时，由（2）可知为在上的极小值，也是最小值.
于是，所以
当且时，
由于函数的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，
因此，此时，符合题意.
所以的取值范围为.
21．数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等．
(1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
(2)记，若，证明：；
(3)若，求n的最小值．
【答案】(1)②③
(2)证明见解析
(3)2030
【分析】（1）根据题中数列满足的要求一一判断所给数列，可得结论；
（2）设数列中1，2，3出现的频数依次为，判断出的取值情况，即可证明结论；
（3）设出现的频数依次为，同（2）判断的取值情况，即可由取最小值时求得n的最小值，然后分类讨论，证明此时符合题目要求即可.
【详解】（1）对于①，由于，故或，不合题意；
对于②，当时，存在s，t两两不相等，使得；
当时，存在s，t两两不相等，使得；
当时，存在s，t两两不相等，使得；符合题意；
同理③也符合题意，
故所有符合题目条件的数列的序号为②③；
（2）证明：当时， 设数列中1，2，3出现的频数依次为，
由题意知，
假设，则有，（对任意），与已知矛盾，
故，同理可证；
假设，则存在唯一的使得，
那么对于，都有，（k，s，t两两不相等），
与已知矛盾，故；
综上可得，
所以，
即.
（3）设出现的频数依次为，
同（2）的证明，，，则；
取，，
得到的数列为：，
下面证明该数列满足题目要求：
对于，不妨令，
如果，或，由于，故符合条件；
②如果，或，由于，，
故也符合条件；
③如果，则可选取，，
同样的，如果，，则可选取，
使得，且两两不相等；
④如果，则可选取，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也符合条件，
综上，对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，
即数列符合题目要求，
故n的最小值为2030.
【点睛】难点点睛：本题是给出了数列需满足的要求。也可以认为是数列的一个新定义，因此解答的关键是要理解这些要求，按其要求去判断解答问题；难点在于第三问的解答，设出现的频数依次为，要判断出，，进而取，求得n的最小值，继而分类讨论，证明求得的值符合题目要求.
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