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2024届广东省珠海市斗门区第一中学高三上学期11月阶段性考试数学试题含答案
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这是一份2024届广东省珠海市斗门区第一中学高三上学期11月阶段性考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得集合后，根据补集定义可得结果.
【详解】，，
.
故选：B.
2．已知复数满足（为虚数单位），则=（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用复数的除法计算可得，再利用复数的模的计算公式可得.
【详解】因为，故，
故，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的乘法和除法以及复数的模，注意复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.
3．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.
【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足；
的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；
的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；
故选：C
4．的内角的对边分别为.已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】正弦定理边化角后，结合余弦定理可得关于的方程，解方程可求得.
【详解】由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理知，，解得：.
故选：A.
5．在等差数列中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题设可得关于的不等式，从而可求的取值范围.
【详解】设公差为，因为，，所以，即，
从而.
故选：A.
6．平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解.
【详解】，
其中，所以，解得，
则在上投影向量为.
故选：C
7．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ）
A．5周B．6周
C．7周D．8周
【答案】B
【分析】由相除可得，然后解不等式，由指数函数性质估计出，从而可得的范围，由此可得结论.
【详解】由题意可知，，，
，解得.
设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则，
整理得，设，因为，
所以，即，则，即.
故至少需要放置的时间为6周.
故选：B.
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过，，可构造，通过单调得到的单调性即可得到答案
【详解】因为，，，
故设，
所以，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
因为，所以，
所以即，
故选：A
二、多选题
9．设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于C，，，C错误；
对于BD，，，
，，BD正确.
故选：ABD.
10．下列函数中，定义域与值域相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出每个函数的定义域和值域即可得到答案.
【详解】对A，的定义域为，值域为，错误；
对B，的定义域和值域均为，正确；
对C，，则，所以y<2，即的定义域和值域均为，正确；
对D，的定义域为，因为，且，所以的值域为，则的值域为，正确.
故选：BCD.
11．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可求得，结合诱导公式可判断出AC正误；利用可得正余弦的齐次式，根据同角三角函数商数关系可求得BD正误.
【详解】对于AC，，；
，
，A错误；
，C正确；
对于BD，，，
即，
，
，
，B正确，D错误.
故选：BC.
12．已知函数的定义域为，，，当时，，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数有个零点
【答案】ACD
【分析】根据抽象函数关系式可推导得到，由周期性知A正确；
根据得到为的对称点，知B错误；
利用可推导得到在时的解析式；结合可知C正确；
将问题转化为，图象交点个数问题，利用数形结合的方式可知D正确.
【详解】对于A，，，
，即，
，即是以为周期的周期函数，
，A正确；
对于B，，图象关于点对称，B错误；
对于C，当时，，.
的图象关于点对称，的定义域为，.
，满足，
当时，，C正确；
对于D，由得：，
的值域为，则由得：，
作出，的部分图象，如图所示，
由图可知，它们有个交点，故函数有个零点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．设向量，均为单位向量，且，则 .
【答案】-7
【分析】根据平面向量的数量积运算将式子化简，进而得到答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：-7.
14．若，则 .
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式可求得，从而得到，代入即可得到结果.
【详解】，，则.
故答案为：.
15．若，则 ．
【答案】
【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】∵，
故答案为：
16．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列3，4进行构造，第一次得到数列3，7，4；第二次得到数列3，10，7，11，4；依次构造，第次得到数列3，，，…，，4.记，则 ，设数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】根据构造方法，结合累和法和分组求和法进行求解即可.
【详解】因为第一次操作得到数列3，7，4；
第二次得到数列3，10，7，11，4；
第三次得到数列3，13，10，17，7，18，11，15，4，
因此有，，
因此可得：，，，
当时，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：运用累和法、明确构造新数列的方法是解题的关键.
四、解答题
17．如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
【答案】（1），，；（2）.
【分析】（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）根据，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，由此求得.
【详解】（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
18．已知函数在点处的切线斜率为．
(1)求；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
【分析】(1)由导数的几何意义有，可解得.
（2）通过导数研究函数的单调性，找出极值点计算极值.
【详解】（1）函数的定义域为，，
依题意有，解得．
（2）因为，函数定义域为，
由，列表如下，
故的极小值为，无极大值．
19．已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，，成等差数列，可得，利用等比数列通项公式和求和公式，求解可得，结合，即得解
（2）代入可得，分组求和即得解
【详解】（1）由，，成等差数列，且公比，
所以，
即，
整理得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）.
所以为等比数列，令，故为等差数列
因此分组求和可得：
20．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，得到函数的图象，若在上有最大值，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用图象可确定最小正周期，从而求得；代入即可求得，由此可得解析式；
（2）由三角函数伸缩变换可得，结合可得的范围，根据函数有最大值可知，结合可求得结果.
【详解】（1）由图象可知：，则，解得：.
将点代入，得，
又，，
的解析式为.
（2）由题意可得：.
在上有最大值，且当时，，，又，解得：，
的取值范围是.
21．如图，点在点的正东方向，现有一个圆形音乐喷泉，点为喷泉中心，用无人机于点正上空的点处，测得点的俯角为，点的俯角为，四点共线，均在圆上，且.已知圆的面积为平方米，且米.
（1）求无人机的飞行高度；
（2）如图，现以三点为顶点在音乐喷泉内建造三条排水暗渠，已知暗渠造价为元/米，且建造暗渠的预算资金为元.若要求，，成等差数列，试问完成三条排水暗渠的建造是否有可能会超预算？说明你的理由.
【答案】（1）米；（2）有可能会超预算，理由见解析.
【分析】（1）首先求得圆半径，根据可构造方程求得无人机的飞行高度；
（2）设，利用正弦定理可求得，从而将排水暗渠长度表示为关于的函数，由正弦型函数最值的求法可确定最大值，根据最大值可得结论.
【详解】（1）设无人机的飞行高度为米，圆形音乐喷泉的半径为米，
由题意可知：，解得.
，，
则，，
则，故无人机的飞行高度为米；
（2），，成等差数列，
，解得：.
设，则，.
由正弦定理可得：（米），（米），（米），
（米），
，，，
则.
，完成三条排水暗渠的建造有可能会超预算.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；
（2）要证，只需证，即证即可，设，.利用导数说明其单调性、最值即可得证，
【详解】解：（1）因为，所以，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：要证，只需证，即证即可，
设，.
则，
，所以函数在上单调递增.又，，
故在上存在唯一的零点，即.
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以只需证即可.由，得，
所以.
又，所以只要即可.当时，，
所以与矛盾.
故，故，即得证.
【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及利用导函数证明不等式，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得集合后，根据补集定义可得结果.
【详解】，，
.
故选：B.
2．已知复数满足（为虚数单位），则=（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用复数的除法计算可得，再利用复数的模的计算公式可得.
【详解】因为，故，
故，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的乘法和除法以及复数的模，注意复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.
3．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.
【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足；
的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；
的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；
故选：C
4．的内角的对边分别为.已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】正弦定理边化角后，结合余弦定理可得关于的方程，解方程可求得.
【详解】由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理知，，解得：.
故选：A.
5．在等差数列中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题设可得关于的不等式，从而可求的取值范围.
【详解】设公差为，因为，，所以，即，
从而.
故选：A.
6．平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解.
【详解】，
其中，所以，解得，
则在上投影向量为.
故选：C
7．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ）
A．5周B．6周
C．7周D．8周
【答案】B
【分析】由相除可得，然后解不等式，由指数函数性质估计出，从而可得的范围，由此可得结论.
【详解】由题意可知，，，
，解得.
设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则，
整理得，设，因为，
所以，即，则，即.
故至少需要放置的时间为6周.
故选：B.
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过，，可构造，通过单调得到的单调性即可得到答案
【详解】因为，，，
故设，
所以，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
因为，所以，
所以即，
故选：A
二、多选题
9．设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于C，，，C错误；
对于BD，，，
，，BD正确.
故选：ABD.
10．下列函数中，定义域与值域相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出每个函数的定义域和值域即可得到答案.
【详解】对A，的定义域为，值域为，错误；
对B，的定义域和值域均为，正确；
对C，，则，所以y<2，即的定义域和值域均为，正确；
对D，的定义域为，因为，且，所以的值域为，则的值域为，正确.
故选：BCD.
11．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可求得，结合诱导公式可判断出AC正误；利用可得正余弦的齐次式，根据同角三角函数商数关系可求得BD正误.
【详解】对于AC，，；
，
，A错误；
，C正确；
对于BD，，，
即，
，
，
，B正确，D错误.
故选：BC.
12．已知函数的定义域为，，，当时，，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数有个零点
【答案】ACD
【分析】根据抽象函数关系式可推导得到，由周期性知A正确；
根据得到为的对称点，知B错误；
利用可推导得到在时的解析式；结合可知C正确；
将问题转化为，图象交点个数问题，利用数形结合的方式可知D正确.
【详解】对于A，，，
，即，
，即是以为周期的周期函数，
，A正确；
对于B，，图象关于点对称，B错误；
对于C，当时，，.
的图象关于点对称，的定义域为，.
，满足，
当时，，C正确；
对于D，由得：，
的值域为，则由得：，
作出，的部分图象，如图所示，
由图可知，它们有个交点，故函数有个零点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．设向量，均为单位向量，且，则 .
【答案】-7
【分析】根据平面向量的数量积运算将式子化简，进而得到答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：-7.
14．若，则 .
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式可求得，从而得到，代入即可得到结果.
【详解】，，则.
故答案为：.
15．若，则 ．
【答案】
【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】∵，
故答案为：
16．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列3，4进行构造，第一次得到数列3，7，4；第二次得到数列3，10，7，11，4；依次构造，第次得到数列3，，，…，，4.记，则 ，设数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】根据构造方法，结合累和法和分组求和法进行求解即可.
【详解】因为第一次操作得到数列3，7，4；
第二次得到数列3，10，7，11，4；
第三次得到数列3，13，10，17，7，18，11，15，4，
因此有，，
因此可得：，，，
当时，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：运用累和法、明确构造新数列的方法是解题的关键.
四、解答题
17．如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
【答案】（1），，；（2）.
【分析】（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）根据，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，由此求得.
【详解】（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
18．已知函数在点处的切线斜率为．
(1)求；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
【分析】(1)由导数的几何意义有，可解得.
（2）通过导数研究函数的单调性，找出极值点计算极值.
【详解】（1）函数的定义域为，，
依题意有，解得．
（2）因为，函数定义域为，
由，列表如下，
故的极小值为，无极大值．
19．已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，，成等差数列，可得，利用等比数列通项公式和求和公式，求解可得，结合，即得解
（2）代入可得，分组求和即得解
【详解】（1）由，，成等差数列，且公比，
所以，
即，
整理得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）.
所以为等比数列，令，故为等差数列
因此分组求和可得：
20．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，得到函数的图象，若在上有最大值，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用图象可确定最小正周期，从而求得；代入即可求得，由此可得解析式；
（2）由三角函数伸缩变换可得，结合可得的范围，根据函数有最大值可知，结合可求得结果.
【详解】（1）由图象可知：，则，解得：.
将点代入，得，
又，，
的解析式为.
（2）由题意可得：.
在上有最大值，且当时，，，又，解得：，
的取值范围是.
21．如图，点在点的正东方向，现有一个圆形音乐喷泉，点为喷泉中心，用无人机于点正上空的点处，测得点的俯角为，点的俯角为，四点共线，均在圆上，且.已知圆的面积为平方米，且米.
（1）求无人机的飞行高度；
（2）如图，现以三点为顶点在音乐喷泉内建造三条排水暗渠，已知暗渠造价为元/米，且建造暗渠的预算资金为元.若要求，，成等差数列，试问完成三条排水暗渠的建造是否有可能会超预算？说明你的理由.
【答案】（1）米；（2）有可能会超预算，理由见解析.
【分析】（1）首先求得圆半径，根据可构造方程求得无人机的飞行高度；
（2）设，利用正弦定理可求得，从而将排水暗渠长度表示为关于的函数，由正弦型函数最值的求法可确定最大值，根据最大值可得结论.
【详解】（1）设无人机的飞行高度为米，圆形音乐喷泉的半径为米，
由题意可知：，解得.
，，
则，，
则，故无人机的飞行高度为米；
（2），，成等差数列，
，解得：.
设，则，.
由正弦定理可得：（米），（米），（米），
（米），
，，，
则.
，完成三条排水暗渠的建造有可能会超预算.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；
（2）要证，只需证，即证即可，设，.利用导数说明其单调性、最值即可得证，
【详解】解：（1）因为，所以，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：要证，只需证，即证即可，
设，.
则，
，所以函数在上单调递增.又，，
故在上存在唯一的零点，即.
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以只需证即可.由，得，
所以.
又，所以只要即可.当时，，
所以与矛盾.
故，故，即得证.
【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及利用导函数证明不等式，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
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极小值
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