2024届安徽省马鞍山市第二中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案

这是一份2024届安徽省马鞍山市第二中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解分式不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【详解】，所以，
故选：C．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复数的除法运算即得.
【详解】.
故选：A.
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
4．已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】D
【分析】根据线面之间的位置关系判定即可.
【详解】
对于A项，可能相交，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误；
对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误；
对于C项，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故C错误；
对于D项，因为，又，所以，故D正确；
故选：D
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据作差法求出不等式成立的充要条件再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，因为，则，
当时，，所以是既不充分也不必要条件，
故选：D.
6．正项等差数列，，则的最小值为（ ）
A．B．3
C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列性质得,进而根据题意,结合基本不等式求解即可.
【详解】因为是正项等差数列，,
所以，且
所以
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
7．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据直线与圆位置关系，结合二倍角公式即可求解.
【详解】
由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接PA,则为两切线的夹角，
由于,所以,
由二倍角公式可得，，
所以正切值为
故选：A
8．如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】线段上取点E使得，结合已知可得，进而有，设，，再结合相关三角形面积、线段的数量关系得，进而得，即可求最大值.
【详解】线段上取点E使得，又，
则，故，
所以，则，
设，则.
由上易知，且，而，
所以，则，
结合及，且，
由三角形内角性质，所以，
综上，.
故选：C

【点睛】关键点点睛：线段上取点E使得，利用向量加减、数乘整理题设条件为，进而得到相关三角形面积、线段的数量关系，结合及三角形面积公式求最值.
二、多选题
9．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台的侧面积为
C．圆台母线与底面所成角为60°
D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4
【答案】AC
【分析】根据已知求体积;过作交底面于F，判断出即为母线与底面所成角；作出圆台的侧面展开图，直接求出面积；圆台的侧面上，判断出从到的最短路径的长度为CE,等逐个判断即可求解.
【详解】对于A：圆台的高为，则圆台的体积，A正确；
对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，
其面积为.故B错误；
对于C：过A作交底面于F，则底面，所以即为母线与底面所成角.
在等腰梯形ABCD中，,所以.
因为为锐角，所以.故C正确；
对于D：如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D错误.
故选：
10．已知是等差教列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由，，成等比数列，求得，再求得，从而判断与0的关系.
【详解】由，，成等比数列知，，
化简得，（），
则，故A错误，B正确；
，
故，故C错误，D正确；
故选：BD
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．
C．在上单调递增D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】首先根据函数的图象求A的值；然后根据求的值；根据图象过点和求出，从而可求出函数，然后再逐个判断选项即可.
【详解】由图知，由，得，又因为，所以，
由得，又，所以，所以，
所以.
故，选项A正确；
又，所以为函数的一条对称轴，故选项B正确；
由，得，
由，得，
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
为奇函数，故D正确.
故选：ABD.
12．已知点在抛物线上，其中点P不是抛物线的顶点，线段的中点分别为，线段MN的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则（ ）
A．点不在x轴上B．点E在x轴上
C．点D与点P的横坐标相等D．点D与点P的纵坐标互为相反数
【答案】ABD
【分析】令且，则，且，结合坐标的中点公式判断各项正误.
【详解】令且，则，
又，则，而，
所以，则，故，而，B对；
若点或在x轴上，则，即，故与题设矛盾，
所以点不在x轴上，A对；
由上，则点D与点P的纵坐标互为相反数，D对；
显然不可能在抛物线上，点D与点P的横坐标不相等，C错.
故选：ABD
三、填空题
13．已知，函数若，则 .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
14．若曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
【答案】/
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率，利用两直线垂直时，直线的斜率之积为可求得实数的值.
【详解】对函数求导得，则，
因为直线的斜率为，
且曲线在点处的切线与直线垂直，
则，可得，解得.
故答案为：.
15．已知双曲线的两个顶点分别为，点P在双曲线上且异于点，若直线的斜率之积为8，则双曲线的率心率为 .
【答案】3
【分析】设，，应用斜率两点式得，结合点P在双曲线上、即可求离心率.
【详解】设，，则，
又，则，故双曲线的率心率为.
故答案为：
16．桌面上放着三个半径为2024的球，且两两相切，在它们上方的空隙里放入一个半径为r的球，使其最高点恰好和这三个球的最高点在同一平面上，则 .
【答案】
【分析】根据题意四个球心构成正三棱锥，底面边长为，侧棱长，正三棱锥的高，利用它们的几何关系列方程求即可.
【详解】四个球心构成正三棱锥，底面边长，侧棱长，且.
设正三棱锥的高h，则，
由四个最高点共面知，故，解得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：确定四个球心构成正三棱锥且棱锥的高为关键.
四、解答题
17．已知数列的前n项和（其中q＞0为常数），且.
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和Tn.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出，得到公比，再作差得到；
（2）用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由，解得或（舍）.
时，.
（2）时，，
当时，，
，
，
所以.
当时代入也符合上式，
所以
18．的内角的对边分别为，若
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根据降幂公式、两角和余弦公式化简即得，再求得结果；
（2）对模平方，结合向量数量积定义得，再根据余弦定理得，最后联立方程组解出，即得结果.
【详解】由题
解得，
所以
由余弦定理，，
再由
解得：
所以
故的周长为
【点睛】本题考查降幂公式、两角和余弦公式、余弦定理、向量数量积，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）根据平面，利用线面垂直的定义可得，再由，根据线面垂直的判定定理即可证出.
（2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，利用空间向量法即可求解.
【详解】因为平面平面，
所以
由为等腰直角三角形，
所以
又，故平面.
取的中点，连接，
因为，
所以
因为平面，
所以平面
所以平面
如图，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系
则，
又，
所以且于是

设平面的法向量为，则
令得平面的一个法向量
设直线与平面所成的角为，
则
【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.
20．已知函数，为自然对数的底数.
(1)试判断函数的零点个数并说明理由；
(2)证明：.
【答案】(1)两个，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数导函数，讨论其单调性后结合零点存在性定理可判断函数零点个数；
（2）方法一，令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可；
方法二：令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，恒有，故在内没有零点.
当时，由得，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，
故存在，，使得，，
所以在两个零点.
综上，函数有两个零点.
（2）方法一：令，则时，，且.
于是等价于，
令，可得，令，可得，
当时，，函数是增函数，
当时，，函数是减函数，
所以时，函数取得最大值：，所以，即.
方法二：令，则，于是等价于，
即，令，则有.
令，即，解得；
令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，
所以，即.所以，即.
21．已知记离心率为的椭圆C的中心在顶点，焦点在x轴上，短轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，点Q在第一象限且QA2⊥A1A2，直线QA1与椭圆C的另一个交点为P.设椭圆C的右焦点为F2，线段QA2的中点M到直线PF2的距离为d，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解,
（2）根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）根据题意可设椭圆方程为，
由且，又，
解得
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）由题意，，设点，
则，令得，
故.
又，即，
故点M到直线的距离.
所以.
22．已知曲线：（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设曲线与曲线关于y轴对称，过曲线上任意一点作直线，与曲线分别相切于，两点，试求出直线与曲线所有公共点的坐标 .
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求解析式，求，分与两种情况讨论函数单调性；
（2）根据已知确定，求导，根据导数几何意义及，两点求出两条切线方程，将分别代入切线方程，对比两方程确定直线方程，与曲线联立求交点坐标.
【详解】（1），；
①时，，函数在上单调递增；
②时，若时，则，所以函数在上单调递减，
若时，则，所以函数在上单调递增.
（2）由题，曲线，设，，，
由知直线的方程为，即，
同理直线的方程为；
将代入上述两个万程，得
及，于是点，均满足
方程，故直线的方程为.
联立直线与曲线的方程，得，解得，
所以直线与曲线相切，切点为，所以直线与曲线所有公共点的坐标为
【点睛】本题关键根据方程确定，两点坐标，根据导数几何意义用点斜式方程确定，直线方程，再根据点在直线，上观察确定直线方程,求直线与曲线方程求交点坐标.