2022-2023学年安徽省马鞍山市第二中学高二下学期期中素质模拟测试数学试题含解析

安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高二下学期期中素质模拟测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　)

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】先分析等差数列的公差可能为，再列举出所有等差数列即可．

【详解】易知组成的等差数列的公差可能为，公差为的等差数列有、、；公差为的等差数列有、、；公差为的等差数列有；公差为的等差数列有；一共个．故选D．

【点睛】本题主要考查等差数列，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题．

2．若，则（    ）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

【答案】C

【分析】根据导数的定义，，代入即可求得

【详解】因为，则.

故选：C

3．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.

【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，

即，，，

又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，

故.

故选：A.

4．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，

事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”，

则，，所以，

故选：B．

5．的展开式中含的项的系数是（     ）

A．21 B．14 C．－14 D．－21

【答案】C

【分析】先求出展开式的通项，再利用多项式乘法得出含的两项的系数和.

【详解】因为展开式的通项为，

所以展开式中含的项有两项:，，

的系数为，

故选：C．

6．在如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和，在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为（      ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】利用组合数的性质及已知有，即可求n值.

【详解】由题意知，，，故，即，

∴，则，解得．

故选：B

7．已知数列的前项和为，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】采用并项求和的方式，结合等差数列求和公式可求得结果.

【详解】.

故选：A.

8．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（    ）

A．4 B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的不等式，变形并分离参数，构造函数，利用导数探讨单调性求出最大值作答.

【详解】，不等式，

令，求导得，

当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，

，，

即，依题意，，

所以实数的最大值为.

故选：D

二、多选题

9．已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（    ）

A．若相互独立， B．若事件，则

C．若是对立事件，则 D．若是互斥事件，则

【答案】ABD

【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答.

【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确；

对于B，事件，，，B正确；

对于C，因是对立事件，则，，C不正确；

对于D，因是互斥事件，则，，D正确.

故选：ABD

10．已知等比数列中，满足，公比，则（    ）

A．数列是等比数列

B．数列是等差数列

C．数列是等比数列

D．数列是等差数列

【答案】CD

【分析】先求得，然后结合等差、等比数列的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】等比数列中，满足，公比，.

对于A，，不是等比数列，故A错误；

对于B，，是等比数列，故B错误；

对于C，，是等比数列，故C正确；

对于D，，是等差数列，故D正确.

故选：CD.

11．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A．展开式中奇数项的二项式系数和为256

B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含项的系数为45

【答案】BCD

【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.

【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,

又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,

所以二项式为,

则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；

由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,

因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；

若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；

由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,

故选: BCD

【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.

12．已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由变形为，由此构造函数，，判断单调性，可判断A；结合指数函数单调性可判断D；结合角的范围以及同角的三角函数关系可判断C；令，判断其单调性，可判断B.

【详解】因为，所以，

令，，

则，由，得，

由，得，所以在单调递增，在上单调递减，

因为，由知，，所以 ，故A错误．

因为，所以，由，得，故D错误；

因为，所以，，

因为，所以，所以，故C正确；

令，则，

当时，恒成立，所以在单调递增，

由，得，所以，

即，又，所以，

因为，所以，

因为在内单调递减，所以，即，故B正确．

故选：BC．

【点睛】难点点睛：根据所给条件判断不等式是否成立，要根据不等式特征结合函数性质进行判断，难点在于能根据已知等式结合要判断的不等式构造恰当的函数，利用导数判断其单调性，进而利用函数单调性判断不等式是否成立.

三、填空题

13．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得次品．若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为_______．

【答案】0.5

【分析】利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.

【详解】该学生获得奖品的概率为．

故答案为：0.5.

14．已知为等比数列，是其前n项和，若，，则______________．

【答案】

【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求得以及，从而求得.

【详解】设等比数列的公比为，，

由得，由于，所以，

则，

所以.

故答案为：

15．2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》《潢江红》《熊出没伴我“熊芯”》等多部电影，某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有_____种不同的分法．

【答案】360

【分析】先将6张电影票按照要求分为3组，再进行全排列，求出答案.

【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法，从余下的5张中任选2张有种选法，最后余下3张选3张有种选法，

由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法．

故答案为：360

16．已知函数，，，则的最小值是___．

【答案】

【分析】由题干条件得到，，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案.

【详解】由函数，，，得，所以，，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，也时最小值，最小值为，

即的最小值为．

故答案为：

四、解答题

17．已知数列 中 ，，.

(1)求证：是等比数列；

(2)若数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；

（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为，

所以，

又，，

所以，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列

（2）由(1)知 ，因为，

所以，

所以 ，

 ，

两式相减，得 ，

所以

18．（1）3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排队方法？

（2）3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法？

（3）把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？

【答案】（1）288种；（2）1440种；（3）15种．

【分析】（1）男生和女生分别全排列，再把这两个整体元素进行排列；

（2）先排女生，让男生插入5个空位中得出结果；

（3）把6个人平均分成3个小组，则有种办法.

【详解】（1）男生全排列的排法有种，再把女生看成一个整体，女生全排列有种，再把这两个整体全排列，共有（种）排法；

（2）先排女生，有种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空位中，有种排法，故共有（种）排法；

（3）把6个人平均分成3个小组，有（种）不同的分法．

19．周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：

以上表中的频率作为概率，求解下列问题：

(1)若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；

(2)如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．

【答案】(1)分布列见解析，，

(2)期望为7.5，方差为14.25．

【分析】（1）分别计算李梦胜0场，1场，2场，3场的概率，写出分布列即可；

（2）根据期望和方差的性质求解.

【详解】（1）李梦与爸爸比赛获胜的概率为；与妈妈比赛获胜的概率为；与弟弟比赛获胜的概率为；

X的可能取值为0，1，2，3．

则；

；

；

.

故分布列为：

，

（2），．

20．已知函数，且满足的导数的最小值为.

(1)求值；

(2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，结合二次函数的最值分析运算；

（2）求导，利用导数求函数在区间上最值，分析运算.

【详解】（1）∵，则的最小值为，

由题意可得：.

（2）由（1）可得：，则，

令，解得或；令，解得；

则在单调递增，在上单调递增，

且，，

，，

且，

所以函数在区间上的最大值，最小值，

又∵函数在区间上的最大值与最小值的和为7，

则，解得.

21．已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)当时，证明：只有一个零点.

【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；极大值，无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数, 解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间, 求出函数的最小值, 结合函数的零点个数求出的范围即可.

【详解】（1）当时，，

由得，，由得，或

∴在上单调递增，上单调递减，

∴在处取得极大值，无极小值.

（2）∵，

∴

由，得，或

①当时，，在上单调递增

∵，

∴，故在上有唯一零点

②当时，得或

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

∵，

∴，故在上有唯一零点

综上：当时，只有一个零点.

22．证明：当时，．

【答案】证明见解析

【分析】分段讨论x的取值范围，当时，不等式变形为，结合构造函数，利用导数判断单调性可证明不等式，其他情况时结合三角函数性质可证明不等式,

【详解】证明：当时，，

不等式等价于，

令，，

则，

因为当时，，所以，

于是，

所以在上单调递增，所以．

当时，，，

所以，

当时，，

综上，当时， 成立．