高中人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试优秀同步练习题

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1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
二、题型精讲
题型01 构造或(，且)型
1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由当时，，
得，
设，则，
所以在上单调递增，
又函数为偶函数，
所以为偶函数，
所以在在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，A选项错误；
，即，所以，B选项错误；
，即，所以，C选项错误；
，即，所以，D选项正确；
故选：D.
2．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】构造函数，则由题意可知当时，
所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，
所以在区间上单调递增，
又，，，
因为，，所以，
所以，即，正确.
故选：.
3．（多选）（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）定义在上的函数满足，则（ ）
A．
B．若，则为的极值点
C．若，则为的极值点
D．若，则在上单调递增
【答案】ABD
【详解】令且，则，
所以在上递增，则，A对；
由题设且，
令，则，
当时，即递减；当时，即递增；
所以，
若，则，
所以上，递减；上，递增；
故为的极值点，B对；
若，则，即，故在上递增，故不是的极值点，C错；
若，则，即，故在上单调递增，D对.
故选：ABD
4．（多选）（2023上·辽宁鞍山·高三校联考阶段练习）若函数在上可导，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】令，则，
因为，即，
所以，在上单调递减，
所以，，，即，，，故BD正确，AC错.
故选：BD.
5．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减，
由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案为：
6．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【详解】记，则，
故当，，所以，因此在上单调递增，
又当时，，
因此为奇函数，故在上单调递增，
又，因此当和时，，
当和时，，
因此，即可得和，
故成立的的取值范围是，
故答案为：
题型02构造或(，且)型
1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】记，则，
因为，即，
所以，所以在R上单调递增，
故，，
整理得，.
故选：B
2．（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，
则，即，
故函数是定义在上的奇函数，
当,时，，则，
故在,上单调递增，在,上单调递增，
所以在上单调递增，
又，则，
则不等式，即，
故，解得．
故选：C．
3．（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】设，则，由已知得，
所以是上的减函数，
∴，即，
即，，
故选：D．
4．（多选）（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，所以
令，则，
因为，，所以，所以在R上单调递减，
，即，即，故A正确，B错；
，即，即，故C错，D正确.
故选：AD.
5．（多选）（2023下·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数满足，且，则（ ）
A．不可能是偶函数B．若，则
C．D．若，则
【答案】BCD
【详解】令，则，故在上单增.
对于A，如为常函数，此时为偶函数，A错误;
对于B，若，则从而，B正确；
对于C，由可得，C正确；
对于D，若，同B选项可知，令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以（当且仅当时等号成立），
故，则，D正确.
故选：BCD.
6．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为 .
【答案】
【详解】设，则，
，
，
在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故答案为：.
题型03构造或型
1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
2．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
因为，所以
所以，
所以，
令，，则，
所以在上单调递增，
对于A，因为，所以，
所以，，
所以，所以A错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以， 所以C错误
对于BD，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误，
所以D错误，
故选：B
题型04构造或型
1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，
所以，
易知当时，，所以函数在上单调递减．
因为，则，
由，则，
且，
因为函数在上单调递减，且，
所以，即，
故选：C．
2．（2023下·陕西西安·高二统考期中）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【【详解】令，，则，
故在上单调递增，
而，故，故是偶函数，
故，
即，
故A正确，BCD错误，
故选：A．
3．（2022上·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，则，则在上单调递增，
对于A，，化简得，故A错误；
对于B，，化简得，故B错误；
对于C，，化简得，故C正确；
对于D，，化简得，故D错误.
故选：C.
4．（多选）（2021下·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】因为，所以，又，
所以，
构造函数，，则，
所以在上为增函数，
因为，所以，即，即，故A正确；
因为，所以，即，故，故B错误；
因为，所以，即，故，故C错误；
因为，所以，即，故，故D正确.
故选：AD
题型05构造函数比较大小
1．（2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，
所以，即.
故选：D.
2．（2023下·山东青岛·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意可得，，，
设，则，当时，，单调递减，
又，所以，即，即.
故选：D.
3．（2023下·四川乐山·高二期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即；
构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即；
综上所述：.
故选：C.
4．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，，
则，
设，，
设，
则，
当时，，所以在上单调递减，
，所以，即在上单调递增，
因为，所以，即，
又，即，
所以.
故选：C.
5．（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，则，且，
则，则；
构造函数，，则，
令，则，令，则，
所以当，单调递增，当，单调递减，
则时，有极大值，即最大值，
所以，即时，，
且，，则，所以；
即.
故选：B
6．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由，，要比较大小，只需比较大小，
故只需比较大小，令且，故，
所以在上递增，而，即，
所以，故，
又，则（等号不能成立），
所以.
故选：A
7．（多选）（2023下·河北张家口·高二统考期末）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（ ）
A．，B．，
C．D．
【答案】BD
【详解】首先证明切线不等式，
设，则，令，解得，
又因为为单调递增函数，所以有唯一零点，
且当，，此时单调递减，当，，此时单调递增，
故，则，即，
则，，而，所以B正确，A错误；
又因为当时，单调递增，，则，
因此，故D正确，C错误.
故选：BD.
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8