甘肃省武威市凉州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威市凉州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，第四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列四个有关环保的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
4．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
5．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．一个不透明的盒子中装有5个红球，3个黄球和4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正三角形内接于圆O，于点D交圆于点E，动点P在优弧上，且不与点B，点C重合，则等于（ ）

A．B．C．D．
8．如图，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，若且是以线段为底边的等腰三角形，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，P为外一点，、分别切于A、B， 切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b = ．
12．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组 有名成员；
13．已知扇形的弧长为4，所在圆的半径为2，则它的面积为 ．
14．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则 ．
15．如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为 ．
16．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”号连接）
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝6，则OC的长为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线l分别与反比例函数y=（x>0）和y=（x>0）的图象交于P、Q两点，若，则k的值为 ．
三、解答题(共66分)
19．解下列方程
(1)；
(2)．
20．如图，已知，点、坐标分别为、．
（1）把绕原点顺时针旋转得，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求点旋转到点经过的路径的长．
21．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
22．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
23．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
24．如图，双曲线上点A的坐标为（1，2），过点A的直线y=x+b交x轴于点M，交y轴于点N，过A作AP⊥x轴于点P．
（1）分别求k、b的值；
（2）求△AMP的周长．
25．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
26．如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点是抛物线上不与，重合的一个动点.
（1）请求出，，的值；
（2）当点在直线上方时，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，的长度为，求出关于的解析式；
（3）在（2）的基础上，设面积为，求出关于的解析式，并求出当取何值时，取最大值，最大值是多少？
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点和代数式求值，熟练掌握抛物线与x轴的交点的性质是解题的关键．
把点代入可得，然后再代入即可求解．
【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为，
，
，
．
故选A．
5．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
6．B
【分析】利用简单事件的概率公式直接计算即可．
【详解】从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率P=．
故选B．
7．A
【分析】本题考查圆周角定理，在解此类动点问题时，一般将位置不固定的角转化为固定角来解，运用转化思想是解答此题的关键．由于点P始终在优弧上移动，故度数不易直接求，可转化为求同弧所对的其它圆周角的度数．
【详解】解：∵为正三角形，，
∴为的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
8．B
【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，求出，根据即可得出答案．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，且，
，，
又是以线段为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键．
根据圆外一点引出圆的两条切线相等,即可求得的周长是的两倍．
【详解】解：、分别切于A、B，，
；
同理可得：，；
的周长．
故选B．
10．B
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣=﹣2，
∴b=4a，ab＞0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③错误，
故正确的有②④⑤．
故选B．
11．5
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
【详解】∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴，，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．
12．9
【分析】设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，
根据题意得：x（x−1）＝72，
解得：x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．4
【分析】根据扇形的面积公式计算即可
【详解】根据扇形的面积公式，得
S扇形＝lR＝=4
故答案是：4
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积的两个公式是解题的关键
14．6
【分析】令y=0，可得，解出即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是，
令y=0，则，
解得：，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15．4
【分析】连接OA，OB，证出△BOA是等边三角形，
【详解】解：如图所示，连接OA、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4
故答案为4
【点睛】本题考查正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握正六边形的性质．
16．
【分析】本题考查了反比例函数函数值的大小比较，根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点A、B、C的坐标分别代入解析式计算出的值，然后比较大小即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
，
∵，
．
故答案为：．
17．5
【分析】利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．
【详解】解：设OC＝OA＝r．
∵AB⊥CD，
∴EC＝DE＝3，
在Rt△EOC中，∵OC2＝EC2+OE2，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
解得r＝5，
故答案为5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
18．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，则和的面积都可求得（或用k表示），根据的面积，即可得到一个关于k的方程，进而求解．
【详解】解：由反比例函数的性质可知，
，
∵，
∴，
解得，
故答案是：.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用公式法求解．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
解得，．
20．（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）求出OA的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【详解】（1）如图所示，
（2）由（1）图可得，，
∴
【点睛】本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
21．(1)200；
(2)见解析；
(3)估计参加B项活动的学生数有512名；
(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
（3）（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6．
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
23．(1)平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元
(2)每件衬衫应降价10元
【分析】（1）根据所给数量关系求出平均每天的销量，再乘以每件的利润即可得出每天的利润；
（2）根据“销量单件利润总利润”列出一元二次方程，再根据每件盈利不少于25元对求出的根进行取舍即可．
【详解】（1）解：根据题意，每件衬衫降价4元时，
平均每天的销售量为：（件），
每天销售获利为：（元），
即平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
（2）解：设每件衬衫应降价x元．由题意知：
，
整理得：，
解得，，
当时，每件盈利为（元），，符合题意；
当时，每件盈利为（元），，不符合题意，舍去；
即每件衬衫应降价10元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据“销量单件利润总利润”列出一元二次方程．
24．（1）k=2，b=1
（2）△AMP的周长为4+．
【分析】（1）把A代入即可求出，k,b的值；（2）令y=x+1=0求出M的坐标，即可求出△AMP的周长.
【详解】（1）把点A（1，2）的坐标分别代入和y=x+b得k=2，b=1
（2）令y=x+1=0得x=-1，∴M（-1,0），
∴MP=2
在Rt△AMP中，MP=AP=2
，∴AM=
∴△AMP的周长为4+．
25．(1) B（，2）．(2)证明见解析.
【分析】（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；
（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可
【详解】（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC

∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．
26．（1），，；（2）；（3）当时，取最大值，最大值为
【分析】（1）把A、B坐标分别代入抛物线和一次函数解析式即可求出a、b、k的值；（2）根据a、b、k的值可得抛物线和直线AB的解析式，根据P点横坐标为m可用m表示P、C两点坐标，根据两点间距离公式即可得L与m的关系式；（3）如图，作AD⊥PC于D，BE⊥PC于E，根据，可用m表示出S，配方求出二次函数的最值即可得答案.
【详解】（1）∵点A（-1，-1）在抛物线图象上，
∴，
解得：，
∵点A（-1，-1）、B（2，-4）在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴，，
（2）∵，，a=-1，
∴直线的解析式为，抛物线的解析式为，
∵点P在抛物线上，点C在直线AB上，点P横坐标为m，PC//y轴，
∴，，
∴关于的解析式：，
（3）如图，作AD⊥PC于D，BE⊥PC于E，
∴AD=m+1，BE=2-m，
∵，
∴PC·AD+PC·BE
配方得：，
∴当时，取最大值，最大值为
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟练运用配方法求二次函数的最值是解题关键.