34，甘肃省武威市凉州区凉州区清水镇九年制学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份34，甘肃省武威市凉州区凉州区清水镇九年制学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
2. 下列方程是一元二次方程一般形式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和一般形式求解即可．
【详解】解：A、 是一元一次方程，故不符合题意；
B、 ，（） 是一元二次方程，故不符合题意；
C、，不是一元二次方程一般形式，故不符合题意；
D、，是一元二次方程一般形式，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程定义，熟练掌握只有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载是一元二次方程，一元二次方程的一般形式为是解题的关键．
3. 若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. ±4
【答案】C
【解析】
【分析】根据∆=0列式求解即可.
【详解】由题意得
∆=16-4m=0，
∴m=4.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
4. 一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程x2－8x＋12＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 9或13
【答案】C
【解析】
【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【详解】解：∵x2-8x+12=0，
∴（x-2）（x-6）=0，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，
当x=2时，2+2＜5，不构成三角形
当x=6时，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
5. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可．
【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确；
②若方程两根为和2，则：，∴，②正确；
③若方程有两个不相等的实数根，则：，
当时，，满足题意，
但此时方程无实数解，故③错误；
④若，则，
即方程有两个不相等的实数根，④正确；
正确的为：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
7. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. y=3xB. y=x²+（3-x）x
C. y=（x-1）²D. y=ax²+bx+c
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】A．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
C．，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D．，当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
8. 已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据当时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
【详解】解：当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
9. 对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 与轴有两个交点
C. 抛物线的对称轴为直线D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质分别对抛物线开口方向、与x轴交点个数、对称轴、函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：
∵，
∴抛物线开口向上，
故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴抛物线与轴有两个交点，
故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
故选项C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10. 如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）

A. B. 当时，的值随值的增大而减小
C. D. 函数值有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
．故A错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
当时，的值随值的增大而减小，
故B正确；
的图象与轴有两个交点，
，故C不正确；
，对称轴，
时，函数值有最大值，
故D不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．
二、填空题（共8题；共24分）
11. 已知 是关于x的方程的两个实数根，，则＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，再代入代数式计算即可；
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
12. 方程的根是________．
【答案】或
【解析】
【分析】直接根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：，
∴或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
13. 方程的解是____________．
【答案】，
【解析】
【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：，
，
，
或，
，．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系．先求出方程的根，再分类讨论，确定是否符合题意．
【详解】解：解方程，得，，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为10．
15. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为______．
【答案】-2或2或3
【解析】
【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2-4ac=0，进而解方程得出答案．
【详解】解：∵函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a-2）（a+1）=0，
解得：a1=-2，a2=3，
当函数为一次函数时，a-2=0，解得：a=2．
故答案为：-2或2或3．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．
16. 将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，由抛物线配方为，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线，向上平移个单位，再向右平移个单位后，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，
故答案为：．
17. 抛物线的对称轴是直线，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．
【详解】解：∵的对称轴是直线，，
∴，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．
18. 如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为______m．
【答案】8
【解析】
【分析】由目前桥下水面宽4m，求得对应y的值，再由水位下降1.5m，得到此时y的值，代入解析式即可求得x的值，即可求出水面的宽．
【详解】解：目前桥下水面宽4m，
即x=2时，
当水位下降1.5m，即
此时水面的宽为8m
故答案为：8．
【点睛】本题考查二次函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
三、计算题（共1题；共16分）
19 计算
（1）
（2）（配方法）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3）
（4），
【解析】
【分析】（1）方程变形后直接利用开平方法求解；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用完全平方公式求解即可；
（4）移项后，利用提取公因式法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：
移项，得，
方程两边同加上，得，
即，
，
解得，；
【小问3详解】
解：，
即，
，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
，
∴，
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目中的要求和方程的特点选取适当的方法是解题的关键．
四、解答题（共7题；共50分）
20. 已知抛物线经过点和点，求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据待定系数法可进行求解．
【详解】解：把点和点代入抛物线解析式可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）．若是该方程的一个实数根，求m的值和另一个实数根．
【答案】m的值为；另一个根为
【解析】
【分析】将代入原方程可求出m的值和另一个根．
【详解】解：将代入原方程得，
解得，
∴原方程为，
解得，，
∴m值为；另一个根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，掌握利用因式分解法求出方程的解是关键．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）k=1，方程的另一根为0
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）将x=3代入，即可求出k的值，从而得到原方程为，再根据因式分解法解方程即可得出方程的另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式证明即可．
【小问1详解】
解：把x=3代入，得：，
解得：k=1．
∴原方程为，
∴，
解得，
∴方程的另一根为0；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
23. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③直接写出y＞0时x的范围
【答案】①对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2，﹣1)；②(0，3)，(1，0)，(3，0)；③x＜1或x＞3
【解析】
【分析】①将题目中函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到y＞0时x的范围．
【详解】①∵二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x=0时，y=3，
当y=0时，0=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣1），得x1=3，x2=1，
即该函数图象与坐标轴的交点为（0，3），（1，0），（3，0）；
③∵二次函数y=x2﹣4x+3的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＜1或x＞3．
【点睛】此题主要考查根据二次函数图象的性质和解析式求解坐标以及自变量的取值范围，熟练掌握，即可解题.
24. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？
【答案】9秒或12秒
【解析】
【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出BP，BQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有
x2+（21-x）2=152，
解得x1=9，x2=12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于x的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键．
25. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
【答案】 (1) y＝－x2＋2x＋3；(2)
【解析】
【详解】试题分析：
（1）把点A、B的坐标代入解析式列方程组可求得的值，可得解析式；
（2）把（1）中所求解析式配方，可得顶点D的坐标，在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD的长.
试题解析：
(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，
∴解得，
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D(1，4)．
∴DE＝4，OE＝1.
∵B(－1，0)，
∴BO＝1，
∴BE＝2，
∴ 在Rt△BDE中，BD＝.
26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕原点顺时针旋转，得到矩形，设直线与轴交于点、与轴交于点，抛物线的图象经过点、、．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的坐标特征得出结论；
（2）用待定系数法求出直线的解析式，再求出，坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；
（3）根据（1）、（2）中点，，坐标，由三角形面积公式求面积即可．
【小问1详解】
解：矩形的顶点，，
，，
点；
由旋转可得：，，
点．
故答案为：；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式为；
直线与轴交于点、与轴交于点，
∵当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为；
抛物线的图象经过点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问3详解】
解：，，，
，，
．
的面积为．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，矩形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．