吉林省长春市朝阳区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市朝阳区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每题3分，共24分）
1．在以下表示“节水”“节能”“回收”“绿色食品”含义的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则下列式子中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正九边形
5．现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ）
A．10cmB．30cmC．50cmD．70cm
6．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．已知是方程的解，则的值为 ．
10．如图，木工师傅做门框时，在门上斜着钉两条木板，这样做的数学原理是 ．
11．某正六边形的雪花图案如图所示这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角的大小至少为 度

12．一个多边形的每个内角都是，这个多边形是 边形．
13．若关于x的方程mxm﹣1﹣m+2＝0是一元一次方程，则这个方程的解x＝ ．
14．如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解下列方程（或不等式）
(1)
(2)
16．解下列不等式组并在数轴上表示它的解集．
17．下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
(1)小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程；
(3)解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号）．
.数形结合．类比思想．转化思想．分类讨论
18．已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
19．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，若，求的度数．

20．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足+＝0，a为方程|a﹣3|＝2 的解，求△ABC的周长．
21．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
(1)求每副象棋和围棋的价格；
(2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
22．如图，在8×8的方格纸巾有一条直线m和△ABC，请按要求解答．
(1)将△ABC向右平移4个单位，在图①中画出平移后的△A1B1C1；
(2)在图②中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
(3)将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A3B3C3．
23．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．

（1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB= 度，∠DBC+∠DCB= 度，∠ABD+∠ACD= 度；
（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．
24．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．

(1)当点P在边上运动时， ；当点P在边上运动时， ．（用含t的代数式表示）
(2)当点P与点Q重合时，求t的值．
(3)当时，求的面积．
(4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出和面积相等时t的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：选项A、B、C中的标志都不是轴对称图形，都不符合题意；
选项D中的标志是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【分析】直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案．
【详解】解：、当时，，故此选项不合题意；
、当时，，故此选项不合题意；
、当时，，故此选项不合题意；
、当时，，故此选项符合题意．
故选：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程解的意义是解题关键，方程的解即为使方程两边相等的未知数的值．
3．A
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴，故选项A不正确；
∵ ，
∴，故选项B正确；
∵ ，
∴，故选项C正确；
∵ ，
∴，故选项D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以或 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向变．
4．B
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意；
C、正七边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正九边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
故选B.
5．B
【分析】根据构成三角形的条件，即可作答．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长度应大于30-20=10(cm)，而小于30+20=50(cm)．
故选：B．
【点睛】本题考查了构成三角形三边的条件的知识．在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
6．A
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7．A
【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项．
【详解】解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
8．C
【分析】先根据平移的性质可得，，再根据线段和差可得，然后根据阴影部分的面积为即可得．
【详解】由平移的性质得：，，
∵，
∴，
则阴影部分的面积为
，
故选：．
【点睛】此题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
9．7
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出m的值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：7．
10．三角形的稳定性
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，这样做根据的数学道理三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
11．60
【详解】解：，
旋转的角度是的整数倍，
旋转的角度至少是．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．十
【分析】根据题意可得该多边形为正多边形，先求出一个外角的度数，即可求出边数．
【详解】解：∵该多边形每个内角都是，
∴该多边形为正多边形，
∴该多边形一个外角，
∴该多边形的边数，
故答案为：十．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个外角相等．
13．0．
【分析】直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．一元一次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,由此列出式子即可.
【详解】∵关于x的方程mxm﹣1﹣m+2＝0是一元一次方程，
∴m﹣1＝1，
解得：m＝2，
故2x＝0，
解得：x＝0．
故答案为0．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
14．##140度
【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：




故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟知解一元一次方程和解一元一次不等式的方法是解题的关键．
（1）先移项，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，然后移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可得到答案．
【详解】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：；
（2）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
16．不等式组无解，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
数轴表示如下所示：
∴不等式组无解。
17．(1)二
(2)见解析
(3)
【分析】（1）依据题意，利用二元一次方程组的解法，观察即可判断得解；
（2）依据题意，根据二元一次方程组的解法求解即可；
（3）依据题意，将“二元”转化为“一元”，体现了转化的思想．
【详解】（1）解：由题意，根据二元一次方程组的解法，得，．
∴第二步开始出现错误．
故答案为：二．
（2）解：由题意，，得．
，得．
∴．
把代入，
∴．
∴原方程组的解为．
（3）解：第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故选：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．
18．每个内角的度数为，
【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，再根据该正多边形的内角和比外角和多建立方程，解方程求出n的值，再用该多边形的内角和度数除以边数即可求出对应的每个内角的度数．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴这个正多边形是八边形，
∴这个多边形的每个内角的度数为．
19．
【分析】先利用角平分线的定义说明与、与间关系，再利用外角与内角关系、三角形的内角和定理得结论．
【详解】解：，分别是、的角平分线，
，．
，
．
，，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键．
20．17
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长即可．
【详解】（b-5）2+=0，∴，解得，
∵a为方程|a-3|=2的解，∴a=5或1，
当a=1，b=5，c=7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a=1不合题意；
∴a=5，∴△ABC的周长=5+5+7=17，
【点睛】此题考查绝对值的性质以及偶次方的性质，解题关键在于掌握三角形三边关系定理.
21．(1)每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元
(2)最多能购买40副围棋
【分析】（1）设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
（2）设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元．
依题意得，
解得．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
（2）设购买副围棋，则购买副象棋．
依题意得：，
解得．
答：最多能购买40副围棋．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质即可画出图形；
（3）根据旋转的性质即可画出图形．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）如图，△A3B3C3即为所求．

【点睛】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称变换，熟练掌握图形变换的性质是解题的关键．
23．（1）140，90，50；（2）∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A，证明见解析；（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．
（3）设线段DC和线段AB交于点O，根据三角形外角的性质可得：∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．
【详解】（1）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°．
故答案为：140，90，50．
（2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°，∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．
（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．证明如下：
设线段DC和线段AB交于点O．
∵∠BOC=∠D+∠DBO=∠A+∠ACO，∴90°+∠ABD=∠A+∠ACD，∴∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
24．(1)3﹣2t（0≤t≤），2t﹣3（≤t≤）
(2)t＝
(3)5
(4)△PDP'和△QDC面积相等时t的值为或2
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）根据，构建方程求解；
（3）当时，可得，根据面积的和差即可求解；
（4）分两种情形，点P在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解；
【详解】（1）当点P在边上运动时，，
当点P在BC边上运动时，，
故答案为：，；
（2）当P，Q重合时，，
∴ ；
（3）当时，，，，，
∴
；
（4）当点P在上时，，解得，．
当点P在时，，解得，，
综上所述，和面积相等时t的值为或2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
解方程组：
解：①×3，得…第一步
②﹣③，得…第二步
…第三步
代入①，得…第四步
所以，原方程组的解为第五步