吉林省长春市农安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市农安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，属于二次函数的是（ ）．
A．B．C．D．
5．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4B．5.1C．6.8D．8.5
8．如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．或
C．D．或
10．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（ ）
A．米B．米C．50sin40°米D．50cs40°米
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．计算的结果是 ．
12．如图，中，，，，那么 ．
13．关于的一元二次方程的一个根是，那么的值是 ．
14．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
15．如果，那么 ．
16．已知在中，，那么的值是 ．
17．将二次函数化为的形式，结果为 ．
18．已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是 （填“”，“”或“”）
19．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为 ．
20．如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度为 ．
三、解答题（21-24题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）
21．计算：
(1)
(2)
22．将分别标有“成”“都”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，请用树状图或列表法表示出所有可能出现的情况：并求出两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率．
23．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
24．如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cs52°＝0.62，tan52°＝1.28】
25．如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1)将绕C点按顺时针方向旋转，得到，请在图中作出；
(2)在图中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得；
(3)在图中，以∠B为公共角，仅用无刻度直尺在线段，上分别找一点P，Q，使与相似但不全等．
26．在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
27．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容．
(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则______．
(3)【拓展提升】如图③，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则______．
28．如图，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点M是新抛物线的对称轴上的一点，N是新抛物线一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的加法法则进行判断即可．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．C
【详解】根据最简二次根式的定义判断即可．
【分析】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故本选项符合题意；
D．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．
3．D
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，则此项不符合题意；
B、中的不是整式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
C、含有2个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、是一元二次方程，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
4．D
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；
C．，x的最高次数是3，不是二次函数，故C不符合题意；
D．是二次函数，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
5．B
【分析】根据降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，列方程即可．
【详解】解：∵降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，
∴可列方程为：，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
6．D
【分析】根据相似多边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为，
∴两个相似多边形的相似比为，
∴它们的面积之比为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
7．B
【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解．
【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m．
故选：B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质．
8．B
【分析】根据题意，已知一个公共角相等，所以再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两三角形相似，据此即可求解．
【详解】解：已知，
A. ，两边成比例，夹角相等，可证明，不符合题意，
B. ，不能证明，符合题意，
C. 加上条件 ，可证明，不符合题意，
D. 加上条件，可证明，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．B
【分析】以原点为位似中心，把缩小为原来的，即位似比是，根据位似的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，位似比是，且位似比是的三角形有两个，，
∴①乘以得，；②乘以得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查位似的性质，理解和掌握位似的性质是解题的关键．
10．A
【分析】根据锐角三角函数解决问题．
【详解】解：在中，
∵，（米），
∴，
∴（米），
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键．
11．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
12．
【分析】由线段的和差关系可得的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：，,
．
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
13．
【分析】把代入一元二次方程，得，解出的值，再根据一元二次方程，即可．
【详解】∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴；
∵一元二次方程，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和解．
14．##0.25
【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
15．##0.5
【分析】根据可得，代入计算即可．
【详解】解：，
，
；
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解题的关键．
16．##0.75
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余弦函数的定义，正确记忆定义是解题的关键．
17．
【分析】利用配方法把二次函数的一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，熟练掌握用配方法将二次函数的一般式化成顶点式是解答此题的关键．
18．>
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵点和是二次函数图象上的两点，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
19．24
【分析】由菱形的性质可得出，，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
∵，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴．
∴菱形的周长为：．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出．
20．
【分析】建立平面直角坐标系，设解析式为，，，将点代入解析式，求出a和m的值，求出点B的坐标，点B的纵坐标的绝对值就是隧道的最大高度．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为：，
设，，
将点A和点B代入解析式，得，解得，
∴，，
则最大高度是．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意构造平面直角坐标系，利用二次函数的图象解决问题．
21．(1)2
(2)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，正确掌握计算法则是解题的关键：
（1）化简二次根式，计算乘除法，再计算加减法；
（2）代入特殊角的三角函数值计算即可
【详解】（1）
．
（2）
．
22．
【分析】用列表法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为．
【点晴】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．2m
【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32－x）m，宽为（20－x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
【详解】解：设道路的宽为xm，
（32－x）（20－x）=540，
整理，得x2－52x+100=0，
∴（x－50）（x－2）=0，
∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），
小道的宽应是2m．
故答案为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
24．14.3米
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案．
【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E，
在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8，
故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3，
答：旗杆的高度为14.3米．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用旋转的定义分别作出点A、B旋转后所得对应点，再与C点首尾顺次连接即可；
（2）利用相似三角形的判定，结合网格求解即可；
（3）根据题意作出平行四边形，然后利用相似三角形的判定，结合网格求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图3，设正方形网格的边长为1，延长到点Q，使，作，且使，连接交于点M
∴，
∴
∴
∴点M即为所求．
（3）如图所示，作平行四边形，连接，交于点P，
∵
∴
∴
∵
∴
∴与不全等
∴点P和点Q为所要求作的点．
【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定．
26．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定：
（1）根据四边形是矩形，得出，由翻折可得：，可以得出，即可证出结论；
（2）由翻折可得：，根据勾股定理得出，利用得出，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质得：，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由翻折的性质得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由（1），
∴，即，
∴．
27．(1)证明见解析；
(2)；
(3)2．
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可证明；
（2）连接，在中求出，再由中位线的性质求即可；
（3）在中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出，再由中位线性质求，即可求．
【详解】（1）证明∶∵点、分别是与的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如下图，连接，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵是的中点，，
∴，
，，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为∶；
（3）解∶∵，点，分别是，的中点，
∴，
∵，点是的中点，，
∴，
∴，
故答案为∶2．
【点睛】本题考查了三角形中位线的的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握中位线的定义及性质、三角形相似的判定及性质是解题的关键．
28．(1)；
(2)面积的最大值为，点；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作于F，交于E，求出直线的解析式，设点，则，可得，然后利用三角形的面积公式结合二次函数的最值求解即可；
（3）求出新抛物线的解析式和对称轴，设点，点，然后分三种情况：①为边，四边形是平行四边形；②为边，四边形是平行四边形；③为对角线，四边形是平行四边形；分别根据中点坐标公式列式求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入，
得，
解得，
；
（2）解：如图，过点P作于F，交于E，

∵抛物线的图象与y轴的交点为点C，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的面积的最大值为，
∴点；
（3）解：将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
设点，点，
∵，，
①当为边，若四边形是平行四边形时，
可得，，
解得：，，
∴点；
②当为边，若四边形是平行四边形时，
可得，，
解得：，，
∴点；
③若为对角线，则四边形是平行四边形时，
可得，，
解得：，，
∴点；
综上所述：点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数、一次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
猜想：如图，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
成
都
加
油
成
（都，成）
（加，成）
（油，成）
都
（成，都）
（加，都）
（油，都）
加
（成，加）
（都，加）
（油，加）
油
（成，油）
（都，有）
（加，油）