吉林省长春市榆树市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市榆树市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若sinα＝，则锐角α＝（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
4．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60mB．40mC．30mD．20m
5．若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（ ）
A．B．C．D．无法确定
6．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．9
7．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算 ．
10．抛物线的对称轴是直线 ．
11．如图，一片树叶放置在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、均在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
12．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是 .
13．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 ．
14．如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为 ．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：x2﹣5x+2＝0（配方法）
17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上
18．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
19．如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为．求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：】
20．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
21．为了激发同学们对理化的科学研究兴趣，并在实践中更好地理解和消化理论知识，提高动手能力，某校在初三年级开展了理化试验操作竞赛，物理、化学图有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
(1)小李同学抽到物理实验题目①这是一个 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
(2)小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树状图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
22．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cs∠AED的值为 ．
23．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
猜想：
如图1．在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：
，且．
对此，我们可以用演绎推理给证明．
【结论应用】如图2，是等边三角形，点在边上（点与点、不重合），过点作交于点，连结，、、分别为、、的中点，顺次连结、、．
①求证：；
②的大小是 ．
24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．设点的运动时间为秒（）．
(1)线段的长为________（用含的代数式表示）．
(2)当点与点重合时，求的值．
(3)当、、三点共线时，求的值．
(4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】先将各数化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的被开方数相同可解答．
【详解】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查同类二次根式，关键是熟练掌握同类二次根式的判断方法，属于基础题，注意判断时先要化为最简二次根式．
2．A
【分析】根据30°角的正弦值等于解答．
【详解】解：∵sinα＝，
∵锐角α＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记特殊角的三角函数值是解答此类试题的关键．
3．B
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值进行判断．
【详解】解： ，
所以方程没有实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4．B
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥DC．
∴△EAB∽△EDC．
∴．
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，
∴，
解得：AB＝40（m）．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意得：当 时， ，当 时， ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．D
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=米，
∴米．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键．
8．B
【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案
【详解】A.
，故此选项不符合题意；
B.
，故此选项符合题意；
C.
，故此选项不符合题意；
D.
，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键．
9．6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
10．
【分析】根据顶点式直接可得对称轴为直线．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标．根据、的坐标正确的建立平面直角坐标系是解题的关键．
根据、的坐标建立平面直角坐标系，然后求点的坐标即可．
【详解】解：由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，如图，
∴点的坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，
故答案为．
【点睛】本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
13．（35-2x）（20-x）=660
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解
【详解】解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．
故答案为：（35-2x）（20-x）=660．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．4
【分析】根据等边三角形的性质和三角形内角和定理证明，得到，从而建立关于额一元二次方程，再利用，求出的值即可．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
满足条件的点有且只有一个，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根和系数的关系等知识，利用方程的思想解决问题是关键．
15．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题关键．先计算二次根式乘除法，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可．
【详解】解：
．
16．x1＝，x2＝．
【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣5的一半的平方．
【详解】把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得
x2﹣5x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：
x2﹣5x+（）2＝﹣2+（）2，
配方，得：
（x）2＝．
开方，得：
解得: x1，x2．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
17．见解析
【分析】根据两条直线平行对应线段成比例即可画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
【详解】如图所示：
如图1：∵AC∥DB， ∴EB：AE= DB：AC=2：3；
如图２：∵AC∥DB， ∴AE：EB=AC：DB=2：3；
如图3：∵AC∥DB， ∴EB：AE= DB：AC=2：3；
故图中各画出了一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记两条直线平行对应线段成比例的性质是解题的关键所在．
18．（1）
（2）A（3，0），B（-1，0）.
【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
19．15.4米
【分析】根据BE⊥CD于E，利用正切的概念求出ED的长，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意得，BE⊥CD于E，
BE=AC=22米，∠DBE=32°，
在Rt△DBE中，DE=BE•tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米），
CD=CE+DE=1.8+13.64≈15.4（米），
答：旗杆的高CD约为15.4米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．销售单价为元时，公司每天可获利元
【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案.
【详解】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.
21．(1)随机
(2)
【分析】（1）根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；
（2）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
【详解】（1）解：由题意可知，
小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件．
故答案为：随机；
（2）解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中同时抽到两科都准备得较好的实验题目的有2种，
则P（同时抽到两科都准备得较好）＝．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22．（1）见解析；（2）y＝x+4；（3）．
【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；
（2）运用相似三角形的性质解答即可；
（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）∵△DAE∽△DCF，
∴ ，
∴
∴y＝x+4；
（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝，
∴DE＝BE＝，
∴cs∠AED＝ ＝，
故答案为：．
【点睛】本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的性质等知识，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.
23．教材呈现：证明见解析；结论应用：①见解析；②
【分析】教材呈现：证明即可解决问题．
结论应用：①利用三角形的中位线定理即可证明．②利用三角形的中位线定理以及平行线的判定与性质解决问题即可．
【详解】教材呈现：证明：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
结论应用：
①证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理的证明以及运用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间即可求解；
（2）当点P与点C重合时，得出，即可求解；
（3）利用三角函数求出，，当C、R、Q三点共线时，可证出，进而得到即可求解；
（4）分两种情况进行讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：线段的长为；
故答案为：
（2）解：当点与点重合时，，
则，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
又由旋转的性质知，，
当、、三点共线时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（4）解：由旋转知，
∴，
∴不可能是钝角，
若点R在内部 ，也不可能是钝角，
如图，过C作于D，当点R在上时 ，，当点R在左边时，为钝角，
∵ ，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（0舍去），
∴当时，为钝角 ，
即当时，为钝角三角形；
如图，当点R在边上时，，若点R在外，则为钝角，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴ （0舍去），
又∵点P最多只能运动到点C上，
∴，
∴当时，为钝角，
即当时，为钝角三角形．
综上所述，当或时，为钝角三角形
【点睛】本题考查几何变换综合题、矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．