2023-2024学年山东省青岛市市南区青岛二中分校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛市市南区青岛二中分校高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据并集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2．已知复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算即可得解.
【详解】.
故选：B.
3．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定方法求解作答.
【详解】命题：“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：“，”的否定是“，”.
故选：D
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号.
【详解】由题设.
故选：A
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为“”不可以推出“”，则充分性不成立，
但“”可以推出“”，则必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（ ）
A．7B．6C．3D．2
【答案】C
【分析】利用抽样比计算抽取人数．
【详解】由条件可知，选出“史政生”组合中选出的同学人数为人．
故选：C.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解.
【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，
所以由正弦定理得，
解得，
故选：A.
【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》
8．设函数，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值.
【详解】已知函数，则，
所以.
故选：B.
9．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用平移变换求出函数解析式作答.
【详解】函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为：
.
故选：D
10．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.
【详解】因为，所以，解得，
即原函数的定义域为.
故选：A.
11．某校为调查学生跑步锻炼的情况，从该校3000名学生中随机抽取300名学生，并统计这300名学生平均每周的跑步量（简称“周跑量”，单位：周），得到如图所示的频率分布直方图.称周跑量不少于周的学生为“跑步达人”，用频率分布直方图估计这3000名学生中“跑步达人”的人数为（ ）

A．66B．132C．660D．720
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图计算频率，即可求解人数.
【详解】由频率分布直方图可知：周跑量在的频率为，所以3000名学生中“跑步达人”的人数为，
故选：C
12．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：A.
13．从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰有1名男生”与“全是男生”
B．“至少有1名男生”与“全是女生”
C．“至少有1名男生”与“全是男生”
D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.
【详解】对于A，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；
对于B，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；
对于C，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；
对于D，“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 能同时发生，所以不是互斥事件；
故选：A.
14．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数和指数函数的性质比较大小.
【详解】，，，
所以.
故选：D.
15．某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】编号之和恰为,则需要3个球中个编号为,个编号为，
设个编号为的小球为ABC，个编号为的小球为ab，
则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有：共6种，
则编号之和恰为的概率为.
故选:D.
16．设，是两条不同的直线，是两个不同的平而，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】解：对于A，若，则相交或平行，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：C.
17．已知，，向量与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量共线的坐标形式可求实数的值.
【详解】，即，
∴.
故选：C.
【点睛】如果，那么：
（1）若，则；
（2）若，则；
18．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理求解即可.
【详解】易得为增函数，且，，故函数的零点所在的区间是.
故选：B．
19．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积．
【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为．
故选A．
【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
20．已知函数，，且，则（ ）
A．，，B．，，
C．D．
【答案】D
【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案.
【详解】令，解得，
画出的图象如下图所示，
由于，且，
由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误.
当时，，
满足，，所以C选项错误.
，
，所以，D选项正确.
故选：D

二、填空题
21．已知幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【分析】根据幂函数定义，设幂函数，带入点求出参数a，求出函数解析式，再带入计算即可.
【详解】设幂函数，所以，解得，所以，所以．
故答案为：
22．已知，求函数的最小值是 ．
【答案】2
【分析】由，得，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号.
故答案为：2.
23．已知，则 .
【答案】
【分析】利用弦化切求解即可.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：
24．一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 .
【答案】
【分析】利用中位数和百分位数的定义得到，，求出答案.
【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即，
，故选取第7个数为分位数，故，
所以.
故答案为：
25．已知在以为直径的圆周上．若，则 ．
【答案】6
【分析】连接, 利用数量积公式表示, 再结合其几何意义计算即可.
【详解】连接，
因为是直径，所以，
又因为,，
所以，
所以
.
故答案为: 6 .
三、解答题
26．已知向量，，函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及倍角正余弦公式、辅助角公式得，根据正弦型函数的性质求递增区间；
（2）由正弦型函数的性质求值域即可.
【详解】（1）由题设，
令，则，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，则，故，可得，
所以的值域为.
27．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据线面垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，然后根据线面垂直的判定定理和定义证明即可；
（2）将点到平面的距离转化为点到平面的距离，然后求体积即可.
【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，
由平面，则，
因为，则，又为的中点，则，
又，平面，则平面，
由平面，因此，.
（2）设点到平面的距离为，则等于点到平面的距离，
.
28．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；
（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
29．已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用已知的圆心特征和半径，即可求得圆的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.
【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，
解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）点，直线过点，
设直线的斜率为存在）则方程为，
又圆的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距，
故，解得，
所以直线方程为，
即，
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，
故的方程为或.
30．已知函数的图象关于原点对称．
(1)求实数m的值；
(2)用定义证明函数在定义域上的单调性；
(3)设函数（且）在上的最小值为1，求a的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由奇函数的定义结合指数函数的性质得出实数m的值；
（2）由单调性的定义分析证明；
（3）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解.
【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，则，
即，整理得，
又因为，则，
所以，解得.
（2）由（1）可知，.
可知函数在定义域内单调递增，证明如下：
任取，且，
因为在定义域内单调递增，则，
可得，即，
则，即，
所以函数在定义域内单调递增.
（3）令，由（1）可知在内单调递增，且，
即，则，
可得，
由题意可知：当时恒成立，
当时，则，符合题意，所以；
当时，则当时恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以且；
综上所述：且.
当，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最大值，
且在定义域内单调递减，
则，可得，解得（舍去）；
当时，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最小值，
且在定义域内单调递增，
则，可得，解得或（舍去）；
综上所述：的值为.
【点睛】关键点睛：1.对于对数函数问题，要首先保证对数的真数大于0，从而可以得出参数的范围，进而分析求解；
2.当对数的底数不确定时，应分和两种情况讨论.