2023-2024学年山东省日照市实验高级中学高二上学期期中模拟数学试题一含答案

这是一份2023-2024学年山东省日照市实验高级中学高二上学期期中模拟数学试题一含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，，与垂直，则等于（ ）
A．6B．14C．D．
【答案】C
【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求.
【详解】由题设，，
∴，
∴.
故选：C
2．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】B
【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.
【详解】由题设，：，：，
∴，半径；，半径；
∴，即两圆相交.
故选：B
3．若复数，则下列结论中不正确的是（ ）
A．z的虚部为-1B．
C．为纯虚数D．z的共轭复数为
【答案】D
【分析】根据复数的相关概念和性质，逐项分析计算即可得解.
【详解】由，
对A，虚部为，正确；
对B，，正确；
对C，为纯虚数，正确；
对D，z的共轭复数为，故D错误.
故选：D
4．在四面体中，，，，，，用向量，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题设易知为中点，连接，根据空间向量加法、数乘的几何意义可得、，再由即可确定答案.
【详解】∵，
∴为中点，连接，如下图，
∴，而，
∴.
故选：B
5．直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得，根据点斜式写出直线方程.
【详解】由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即，
∴直线l的方程为，即.
故选：D
6．直线与圆交于A，B两点，若（O是原点），则m等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设易知圆心到直线的距离为，应用点线距离公式求m即可.
【详解】∵，且的圆心，半径为2，
∴圆心到直线的距离为，
∴，可得.
故选：D
7．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【详解】入射光线所在的直线方程为，即，
联立方程组解得即入射点的坐标为．
设P关于直线对称的点为，
则解得即．
因为反射光线所在直线经过入射点和点，
所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
即．
故选：D
8．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】设直线：，半圆：，则问题转化为原点到直线的距离大于或等于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.
【详解】解：设直线：，半圆：，
则表示半圆弧上任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于．
由，解得，即实数的最大值是．
故选：A
二、多选题
9．已知双曲线C：，则下列选项中正确的是（ ）
A．C的焦点坐标为B．C的顶点坐标为
C．C的离心率为D．C的虚轴长为
【答案】BCD
【分析】由题意可得，，，根据焦点在y轴上，逐一判断即可.
【详解】解：因为，，
所以，，．
因为焦点在y轴上，
所以C的焦点坐标为，故A错误；
顶点为，故B正确；
离心率为，故C正确，
虚轴长为，故D正确．
故选：BCD.
10．已知，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．与夹角的余弦为B．的面积为
C．平面的一个法向量D．四面体的体积为
【答案】ACD
【分析】A由空间向量夹角坐标表示求夹角余弦值；B由即可求三角形面积；C利用求一个法向量，即可判断是否为面的一个法向量；D向量法求到面的距离，再由棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】A：，，则，正确；
B：由A知：，错误；
C：若是面的一个法向量，则，令，有，正确；
D：，则到面的距离，所以四面体的体积为，正确.
故选：ACD
11．已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．对任意λ，直线l与圆C相交
C．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为
D．对任意λ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1
【答案】AB
【分析】对A：根据直线过定点运算求解；对B：先判断定点与圆C的位置关系，进而确定直线l与圆C的位置关系；对C：先求圆心到直线l的距离，再根据垂径定理结合基本不等式求弦长的取值范围；对D：根据圆心到直线l的距离的取值范围，分析判断.
【详解】对A：整理直线l的方程，得，令，解得，
可知l过定点，故A正确；
对B：将代入圆C的方程，得到，可知点在圆C内，
所以对任意λ，直线l与圆C相交，故B正确；
对C：圆C：的圆心，半径，
因为圆心到直线l的距离，
所以，
∵，则，当且仅当，即时等号成立，
∴，则，
所以的最大值为4，故C不正确；
对D：因为圆心与点之间的距离为，则圆心到直线l的距离，
当时，即，则圆C上有2个点到直线的距离为1；
当时，即，则圆C上有3个点到直线的距离为1；
当时，即，则圆C上有4个点到直线的距离为1；
故D不正确.
故选：AB.
12．已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为4a
B．若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则
C．若，则e的最小值为
D．若，则e的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设，，利用点差法和中点坐标公式可得，进而判断B；根据平面向量的坐标表示可得，结合选项计算即可判断CD.
【详解】A:根据椭圆的定义，的周长为，故A正确；
B:设，，则，
所以，，由得，
所以，即，故B不正确；
C:，
因为，
所以，
由，得，故C正确；
D:由，得，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题
13．已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为 .
【答案】
【分析】用“点差法”求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，从而可得结论.
【详解】设这条弦与椭圆交于点，
由中点坐标公式知,
把代入,
作差整理得，
这条弦所在的直线方程为，
即，故答案为.
【点睛】本题主要考查直线方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
14．正方体的棱长为1，P点满足，则P到的距离为
【答案】
【分析】根据题设向量的线性关系，结合正方体的性质易知为底面中心，进而求P到的距离即可.
【详解】若分别是上下底面中心，如下图示，
∴，即与为同一点，
∴P到的距离.
故答案为：
15．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为
【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1
【详解】当直线l为x=﹣1时，满足条件，因此直线l方程可以为x=﹣1．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣2=k（x+1），化为：kx﹣y+k+2=0，
则，化为：3k﹣1=±（3k+3），解得k=﹣．
∴直线l的方程为：y﹣2=﹣(x+1），化为：x+3y﹣5=0．
综上可得：直线l的方程为：x+3y﹣5=0或x=﹣1．
故答案为x+3y﹣5=0或x=﹣1．
四、双空题
16．在长方体中，，，，则 ；点C到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解出答案.
【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，
所以，，，，．
因为，，
所以．
设平面的法向量为，因为，，
所以,令，得．
因为，所以点C到平面的距离．
故答案为：，.
五、解答题
17．已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限.
（1）求复数z；
（2）设a∈R，且，求实数a的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设z＝c＋di(c<0，d<0)，由z2＝3＋4i，利用复数的乘方运算和复数相等求解.
（2）根据＝－2＋i，得到＝i，然后再利用乘方结合复数模的运算求解.
【详解】（1）设z＝c＋di(c<0，d<0)，
则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，
∴解得或 (舍去).
∴z＝－2－i.
（2）∵＝－2＋i，
∴＝＝＝＝i，
∴2 021＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i，
∴|a＋i|＝＝2，
∴a＝±.
【点睛】本题主要考查复数的几何意义,复数相等和复数的代数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
18．已知正三棱柱的底面边长为2，D是的中点，
(1)求三棱柱的体积
(2)求直线与平面所成角的正弦值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量互相垂直的性质，结合空间向量数量积的运算性质、三棱柱的性质和体积公式进行求解即可；
（2）利用三棱锥的等积性，结合线面角的定义进行求解即可.
【详解】（1）因为，所以，因此
，
因为是正三棱柱，所以，平面，
而平面，因此，所以有，
设，D是的中点，所以，于是有：
，舍去，
三棱柱的体积为：，
（2）设平面，设，
取的中点，所以，所以，
因为平面平面，而平面平面，
因此平面，
由，
由勾股定理可知中：，
，因为，所以四边形是正方形，
故，所以有，
在正方形中，设，D是的中点，
，
因为平面，所以是直线与平面所成角，
所以.
19．已知直线l：．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）由题意可得，从而可求得结论，
（2）先求出两点的坐标，再表示出的面积，然后利用基本不等式可求出S的最小值，从而可求出直线l的方程．
【详解】（1）直线l的方程可化为，
令，解得，
所以无论k取何值，直线总经过定点．
（2）由题意可知，再由l的方程，得，．
依题意得，解得．
因为，
“=”成立的条件是且，即，
所以，此时直线的方程为．
20．已知圆C：．
(1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
(2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；
（2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要 求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值．
【详解】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
21．四棱锥的底面是梯形，，，平面，，，M为线段的中点
(1)求二面角的余弦值
(2)线段上是否存在一点N，使平面？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）由题设易证，，构建空间直角坐标系，进而求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
（2）假设使平面，结合（1）有求参数，即可判断点N的存在性.
【详解】（1）∵面，面，
∴，，又，
∴可构建如下图示的空间直角坐标系，则，
∴，若是面的一个法向量，
∴，令，则，
显然是面的一个法向量，
∴，故锐二面角的余弦值为.
（2）假设存在N使平面，，则，，
∴，由（1）是面的一个法向量，
∴，即，
∴当时平面.
22．已知椭圆W：的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为．
(1)求椭圆W的方程；
(2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接交椭圆W于点C，若，求直线AC的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；
（2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.
【详解】（1）由题意知，设过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，则，
解得，所以，所以．
因为椭圆W的离心率，所以．
因为，所以，，故椭圆W的方程为．
（2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为，，，
联立方程组消去x并整理得，
所以，，
所以．
因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，
所以点B到直线AC的距离为2d，
所以．
由，解得，所以，故直线AC的方程为，
即或．