2022-2023学年山东省青岛市青岛二中分校高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年山东省青岛市青岛二中分校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.

【详解】因为，

所以其共轭复数为.

故选：D.

2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．10

【答案】B

【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解；

【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽.

故平面图形的面积为.

故选：B

3．已知角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据范围得到，再利用和差公式计算得到答案.

【详解】，则，

则.

故选：D.

4．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

5．已知向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B．  C． D．

【答案】C

【分析】把两边平方化简即得解.

【详解】因为，

所以，

即，

所以，

因为，所以.

故选：C

6．在中，若，则是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到或，进而判断出正确选项.

【详解】由正弦定理得，即，

所以或，

①若，又,所以,

②若，则，

故三角形为等腰或直角三角形，故选C.

7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.

【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，所以.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：A.

8．已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由两角和的正弦公式可得，再利用函数在上单调递减，列不等式组求解即可.

【详解】解：因为，所以，

因为，函数在上单调递减，所以，得.当时，，所以，解得，

故选:.

【点睛】本题考查了两角和的正弦公式及利用函数的增减性求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.

二、多选题

9．的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ）

A．

B．

C．外接圆的面积为

D．的面积为

【答案】ABD

【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.

【详解】解：设的外接圆的半径为,

因为，所以，

所以，则外接圆的面积为.

因为，所以

所以, 所以ABD正确，C错误.

故选：ABD

10．函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．

B．

C．函数图像的一个对称中心为

D．函数的图像可由图像向右平移个单位得到

【答案】AC

【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论．

【详解】由函数的图像可知，最小正周期，则，，A选项正确；

，函数的图像过点，则有，，，B选项错误；

，，函数图像的一个对称中心为，C选项正确；

函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，D选项错误.

故选：AC

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．两个非零向量和，若，则与垂直

C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或

D．已知，，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则

【答案】BC

【分析】取，可判断A选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；设与垂直的单位向量为，根据已知条件求出的坐标，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，取，则，，则、不一定共线，A错；

对于B选项，两个非零向量和，若，则，

整理可得，故与垂直，B对；

对于C选项，设与垂直的单位向量为，

由题意可得，解得或，

所以，与垂直的单位向量的坐标或，C对；

对于D选项，已知向量，，

则在上的投影向量为，

所以，，解得，D错.

故选：BC.

12．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ）

A．直三棱柱的体积是1

B．直三棱柱的外接球表面积是

C．三棱锥的体积与点的位置有关

D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】由柱体体积公式计算直三棱柱的体积验证选项A；由直三棱柱的结构特征求外接球半径和表面积验证选项B；判断三棱锥的底面积和高的特征验证选项C；把侧面和侧面展开在一个平面上求的最小值验证选项D.

【详解】直三棱柱中，，，，如图所示，

直三棱柱的体积为，故A选项正确；

直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确；

O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误；

把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若复数，则___________.

【答案】

【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得

【详解】，所以

故答案为：

14．函数的最大值为__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，可得最大值.

【详解】，

其中，所以的最大值为.

故答案为：

15．如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.

.

【答案】

【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出.

【详解】因为，所以，所以，

又因为，所以，

又因为，所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的.

四、双空题

16．已知中，，，点是的中点.若为的中点，则为__________，若为上的动点，则的最小值为__________.

【答案】     8     -1

【分析】建立适当的直角坐标系，把数量积转化为坐标运算，从而转化为函数的最值问题.

【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，

，，则，得，

为的中点时，有，，，；

为上的动点时，设，，，

，

由，∴当时，取得最小值-1.

故答案为：8；-1

五、解答题

17．若复数，为虚数单位，为实数.

(1)若为纯虚数，求的值；

(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；

（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为负数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由为纯虚数得，解得；

（2）复数，

因为复数位于第三象限，所以，

即，解得．

故的取值范围为.

18．已知向量，.

（1）若，求的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值，利用平面向量的模长公式可求得的值；

（2）求出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值.

【详解】（1），则，所以，，因此，；

（2），

因为，则，因此，.

19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.

(1)求这种“浮球”的体积；

(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？

【答案】(1)

(2)26400克

【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；

（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.

【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，

所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，

由球体的体积为：，

圆柱体积为：，

所以浮球的体积为：.

（2）上下半球的表面积：，

圆柱侧面积：，

所以，1个浮球的表面积为，

3000个浮球的表面积为：，

因此每平方厘米需要涂胶0.1克，

共需胶克.

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在中，，，分别为内角，，的对边，且__________.

(1)求；

(2)若，，求的面积.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理或余弦定理对已知条件进行转化，结合三角公式和特殊角三角函数值，求得角的大小；

（2）根据题中条件，结合余弦定理，列出等式，求得，，利用三角形的面积公式求得结果.

【详解】（1）选条件①，即

由余弦定理，，

，

∴.

选条件②，

由正弦定理及得，，

∵，∴，

∵，∴.

选条件③，

由结合正弦定理，

得，

∴，

又，∴.

∵，∴，

∵，

∴.

（2）由余弦定理，，，得，

解得，由得.

∴的面积.

∴的面积为.

21．已知函数，，，.

(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)，（开闭均可）

(2)

【分析】(1) 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式, 结合三角 函数的图象和性质, 求出周期及单调区间；

（2）利用，再由角的变换, 诱导公式及二倍角的余弦公式求值即可.

【详解】（1）

，

所以周期，

令，

解得，

所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）

（2），

，即，

.

22．在中，角、、所对的边分别是、、．且．

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围；

(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．

【答案】(1)

(2)

(3)，的面积为

【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；

（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；

（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可

【详解】（1）由正弦定理及，得，

即，化简得，故．

又，故．

（2）由（1）知，，

故

.

又，则，，

故．

（3）

∵，∴，∵，为中点，∴，

∵，∴，，∴，，

设，则，

∴，，

∴，

在直角中，，

∴当时，的面积为．