17同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练（附答案）——2024届艺术班高考数学一轮复习

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A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
答案：C
2．若角α的终边落在直线x－y＝0上，则eq \f(sin α,\r(1－sin2α))＋eq \f(\r(1－cs2α),cs α)的值等于( )
A．－2B．2
C．2或－2 D．不确定
解析：选C ∵角α的终边落在直线x－y＝0上，∴α为第一象限角或第三象限角，且(1)当α为第一象限角时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(\r(2),2)，,cs α＝\f(\r(2),2)，))则eq \f(\r(1－cs2α),cs α)＋eq \f(sin α,\r(1－sin α))＝1＋1＝2；
(2)当α为第三象限角时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(\r(2),2)，,cs α＝－\f(\r(2),2)，))则eq \f(sin α,\r(1－sin2α))＋eq \f(\r(1－cs2α),cs α)＝－1＋(－1)＝－2．
综上可得所求值为2或－2．故选C．
3．(2023·西安二模)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))＝eq \f(5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,10)))＝( )
A．－eq \f(5,13) B．eq \f(5,13)
C．－eq \f(12,13)D．eq \f(12,13)
解析：选A sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,10)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)－\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))＝－eq \f(5,13)．故选：A．
4．(2023·江西联考)若sin α＋cs α＝－eq \f(\r(5),5)，α为第二象限角，则tan α＝( )
A．－2B．－eq \f(1,2)
C．－eq \r(5) D．－eq \f(\r(5),5)
解析：选B 由sin α＋cs α＝－eq \f(\r(5),5)，
得cs α＝－eq \f(\r(5),5)－sin α，
代入sin2 α＋cs2 α＝1，得sin α＝eq \f(\r(5),5)或－eq \f(2\r(5),5)，
因为α为第二象限角，
所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)．
5．(2023·贵阳模拟)已知sin θ－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝eq \r(2)，则tan θ＝( )
A．－eq \r(2)B．－1
C．1D．eq \r(2)
解析：选B 因为sin θ－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝sin θ－cs θ＝eq \r(2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ－cs θ＝\r(2)，,sin2θ＋cs2θ＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(2),2)，,cs θ＝－\f(\r(2),2)，))
因此，tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－1．故选：B．
6．(多选)(2023·青岛模拟)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin x
B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝cs x
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x
D．cs(x－π)＝－cs x
解析：选CD sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝－cs x，故B不成立；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x，故C成立；
cs(x－π)＝－cs x，故D成立．
7．(2023·江苏联考)已知cs α＝eq \f(1,5)，－eq \f(π,2)＜α＜0，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),tan（α＋π）cs（－α）tan α)的值为( )
A．2eq \r(6)B．－2eq \r(6)
C．－eq \f(\r(6),12)D．eq \f(\r(6),12)
解析：选D 已知cs α＝eq \f(1,5)，－eq \f(π,2)＜α＜0，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)) ,tan（α＋π）cs（－α）tan α)
＝eq \f(－sin α,tan α·cs α·tan α)
＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(\r(6),12)．故选D．
8．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，则eq \f(sin2α＋sin 2α,1＋cs2α)＝________．
解析：由题意可知，sin(3π＋α)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，可化为－sin α＝－2cs α，即tan α＝2，所以eq \f(sin2α＋sin 2α,1＋cs2α)＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋2cs2α)＝eq \f(tan2α＋2tan α,tan2α＋2)＝eq \f(22＋2×2,22＋2)＝eq \f(4,3)．
答案：eq \f(4,3)
9．(2023·山西阳泉三模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝_______．
解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，所以eq \f(π,6)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))>0，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),3)．
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(6),3)．
答案：eq \f(\r(,6),3)
10．已知f(α)＝eq \f(sin（π－α）cs（2π－α）,cs（－π－α）tan α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,3)π))的值为________．
解析：∵f(α)＝eq \f(sin αcs α,－cs αtan α)＝－cs α，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,3)π))＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,3)π))
＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10π＋\f(π,3)))
＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)．
答案：－eq \f(1,2)
11．(2023·沈阳三模)当x＝x0时，函数f(x)＝cs 2x＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))有最小值，则sin x0的值为________．
解析：函数f(x)＝cs 2x＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs 2x＋2cs x＝2cs2x＋2cs x－1，根据二次函数的性质可知，当cs x0＝－eq \f(1,2)时，函数取得最小值，则sin x0＝±eq \f(\r(3),2)．
答案：±eq \f(\r(3),2)
12．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs x－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．
解析：化简三角函数的解析式，
可得f(x)＝1－cs2x＋eq \r(3)cs x－eq \f(3,4)＝－cs2x＋eq \r(3)cs x＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋1，
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，可得cs x∈[0，1]，
当cs x＝eq \f(\r(3),2)时，函数f(x)取得最大值1．
答案：1