14导数及导数的运算专项训练（附答案）——2024届艺术班高考数学一轮复习

这是一份14导数及导数的运算专项训练（附答案）——2024届艺术班高考数学一轮复习，文件包含14导数及导数的运算专项训练答案2024届艺术班高考数学一轮复习doc、14导数及导数的运算专项训练附答案2024届艺术班高考数学一轮复习doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
1．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )
答案：A
2．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的导函数为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图所示，则( )
A．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))
B．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))
C．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))
D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))
解析：选B 依次作出函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x1，x2，x3处的切线，如图所示
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>0>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))．故选：B．
3．(2023·兰州阶段性测试)若直线y＝x是函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x＋ax的切线，则实数a的值为( )
A．1 B．e
C．1－eq \f(1,e) D．2－eq \f(1,e)
解析：选C 由题意可知，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(1,x)＋a．
因为直线y＝x是函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x＋ax的切线，设切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))))，
根据导数的几何意义可得，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝eq \f(1,m)＋a＝1，所以a＝1－eq \f(1,m)．
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))))在直线y＝x上，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝m，即ln m＋am＝m，
所以ln m＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,m)))m＝m，
整理可得ln m＝1，所以m＝e，
所以a＝1－eq \f(1,e)．故选：C．
4．若曲线f(x)＝acs x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )
A．－1B．0
C．1 D．2
解析：选C 依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1．
5．(2023·天津模拟)函数y＝x2ex的导数为( )
A．y′＝x2exB．y′＝2xex
C．y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2x))ex D．y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－x2))ex
解析：选C 由题意可得：y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))′ex＋x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex))′＝2xex＋x2ex＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2x))ex．
6．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3cs xB．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋eq \f(1,x) D．f(x)＝ex＋x
解析：选BC 对于A，f(x)＝3cs x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C，f(x)＝x＋eq \f(1,x)，其导数f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝3xf′(2)＋ln x＋eq \f(3,2)x，则f′(2)＝( )
A．－1B．1
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,2)
解析：选A 因为f(x)＝3xf′(2)＋ln x＋eq \f(3,2)x，
所以f′(x)＝3f′(2)＋eq \f(1,x)＋eq \f(3,2)，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝3f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)，解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－1．故选：A．
8．(2023·苏州八校联考)已知f(x)＝cs x＋2sin x，则下列函数中在R上单调递增的是( )
A．y＝f(x)＋xB．y＝f(x)＋x2
C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x)＋x4
解析：选C 由题意可知，对于选项A，y＝f(x)＋x＝x＋cs x＋2sin x，则y′＝1－sin x＋2cs x＝1－eq \r(5)sin (x＋φ)∈[－eq \r(5)＋1，eq \r(5)＋1]，不为恒大于或等于0的值，即函数y＝f(x)＝x在R上不为单调递增，故选项A错误；对于选项B，y＝f(x)＋x2＝x2＋cs x＋2sin x，则y′＝2x－sin x＋2cs x，当x＝－π时，y′＝－2π－2＜0，则y′不为恒大于或等于0的值，即函数y＝f(x)＋x2在R上不为单调递增，故选项B错误；对于选项D，y＝f(x)＋x4＝x4＋cs x＋2sin x，则y′＝4x3－sin x＋2cs x，当x＝－π时，y′＝－4π3－2＜0，则y′不为恒大于或等于0的值，即函数y＝f(x)＋x4在R上不为单调递增，故选项D错误．故答案选C．
9．已知函数f(x)＝x2＋aln x的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝____________．
解析：函数f(x)＝x2＋aln x，求导得：f′(x)＝2x＋eq \f(a,x)，f′(1)＝2＋a，而f(1)＝1，
因此函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为：y－1＝(a＋2)(x－1)，
令x＝0，得y＝－a－1，于是－a－1＝2，解得a＝－3．
答案：－3
10．已知曲线y＝x2在点(2，4)处的切线与曲线f(x)＝ex－x在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))))处的切线互相垂直，则x0＝________．
解析：由曲线y＝x2得y′＝2x，
∴y′|x＝2＝4，
∴曲线y＝x2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4))处的切线斜率为4，
曲线feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex－x得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex－1，
由已知可得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))＝－1＝－eq \f(1,4)，
解得x0＝lneq \f(3,4)．
答案：lneq \f(3,4)
11．已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)k＝f′(x)＝3x2＋1．
当x＝2时，k＝13，
故切线方程为y＋6＝13(x－2)，
即y＝13x－32．
(2)设切点为(a，a3＋a－16)，
则k＝3a2＋1．
所以直线l的方程为y－(a3＋a－16)＝(3a2＋1)(x－a)．
∵过原点，
∴a3＋a－16＝3a3＋a．
化简得2a3＝－16．∴a＝－2．
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)由题意知k＝4，∴3x2＋1＝4，解得x＝±1．
∴切点坐标及方程为(1，－14)，y＝4x－18和(－1，－18)，y＝4x－14．
12．(2023·武汉模拟)已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－1，函数geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aln x，其中a≤2．如果曲线y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与y＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝1处具有公共的切线，求a的值及切线方程．
解：因为函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－1，函数geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aln x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x，g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(a,x)．
因为曲线y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与y＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝1处具有公共的切线，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))，,g′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(aln 1＝12－1，,a＝2，))故a＝2，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝2，
故所求切线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，
即2x－y－2＝0．