2021-2022学年安徽省合肥市六校联考高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年安徽省合肥市六校联考高二（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知数列通项公式an＝n2﹣n+1，则a5＝（ ）
A．6B．13C．21D．31
2．（5分）空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，3），则点A关于平面xOz的对称点的坐标为（ ）
A．（1，1，﹣3）B．（﹣1，﹣1，﹣3）
C．（﹣1，1，﹣3）D．（﹣1，﹣1，3）
3．（5分）双曲线C：的实轴长为（ ）
A．B．C．4D．2
4．（5分）已知直线l过点G（1，﹣3），H（﹣2，1），则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7＝0B．2x﹣3y﹣11＝0
C．4x+3y+5＝0D．4x+3y﹣13＝0
5．（5分）已知直线l的方向向量＝（﹣2，3，1），平面α的一个法向量为＝（4，0，8），则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．在平面内D．平行或在平面内
6．（5分）下列说法正确的有（ ）个．
①向量，，，（•）＝（•）不一定成立；
②圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2+6x﹣4y＝0外切；
③若b2＝ac，则数b是数a，c的等比中项．
A．1B．2C．3D．0
7．（5分）我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，今有三日连差三百人，问已差人几天，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．已知最后三天一共派出了300人，派出了多少人？”（ ）
A．6天 495人B．7天 602人
C．8天 716人D．9天 795人
8．（5分）已知直线ax+2y﹣4＝0与直线x+（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
9．（5分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，且OM＝2MA，则等于（ ）
A．++B．+﹣
C．﹣++D．﹣+
10．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3＝1：2，则S9：S3＝（ ）
A．1：2B．2：3C．3：4D．1：3
11．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则入射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．D．
12．（5分）设F1、F2是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）
13．（5分）以点（1，﹣2）为圆心，为半径的圆的标准方程是 ．
14．（5分）已知直线l过点A（3，2，1），B（2，2，2），且＝（2，0，x）是直线l的一个方向向量，则x＝ ．
15．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，且，则Sn＝ ．
16．（5分）已知双曲线C：＝1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，交另一条渐近线于N，若7 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤。）
17．（12分）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项an；
（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．
18．（10分）已知圆心为C的圆经过A（﹣3，3），B（0，2）两点，且圆心C在直线l：x﹣2y﹣1＝0上
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1，
（1）求点C1到直线PQ的距离；
（2）求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
21．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点P（，）（﹣，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A是椭圆E的右顶点，过点F且斜率为的直线交椭圆E于M，求△AMN的面积．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值．
2021-2022学年安徽省合肥市六校联考高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。每小题只有1个选项符合要求。）
1．（5分）已知数列通项公式an＝n2﹣n+1，则a5＝（ ）
A．6B．13C．21D．31
【分析】根据题意，由数列的通项公式，将n＝5代入计算可得答案，
【解答】解：根据题意，数列通项公式an＝n2﹣n+1，
则a3＝25﹣5+1＝21；
故选：C．
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2．（5分）空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，3），则点A关于平面xOz的对称点的坐标为（ ）
A．（1，1，﹣3）B．（﹣1，﹣1，﹣3）
C．（﹣1，1，﹣3）D．（﹣1，﹣1，3）
【分析】直接根据对称点的求解规律，直接求解即可．
【解答】解：因为A（﹣1，1，2），
故点A关于平面xOz的对称点的坐标为（﹣1，﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查对称点的求解问题，属于基础题．
3．（5分）双曲线C：的实轴长为（ ）
A．B．C．4D．2
【分析】由双曲线的方程可知a的值，从而可得实轴长．
【解答】解：由双曲线的方程可知a2＝2，即a＝，
且焦点在x轴上，所以实轴长2a＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
4．（5分）已知直线l过点G（1，﹣3），H（﹣2，1），则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7＝0B．2x﹣3y﹣11＝0
C．4x+3y+5＝0D．4x+3y﹣13＝0
【分析】根据两点的坐标求得直线l的斜率，再由点斜式写出直线方程即可．
【解答】解：直线l的斜率为＝﹣，
所以直线l的方程为y﹣1＝﹣（x+2）．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）已知直线l的方向向量＝（﹣2，3，1），平面α的一个法向量为＝（4，0，8），则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．在平面内D．平行或在平面内
【分析】由＝0，即可判断直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内．
【解答】解：直线l的方向向量＝（﹣2，3，平面α的一个法向量为，8，8），
则＝﹣8+4+8＝0，
∴直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内．
故选：D．
【点评】本题考查线面位置关系的判断，考查直线与平面的位置关系的判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）下列说法正确的有（ ）个．
①向量，，，（•）＝（•）不一定成立；
②圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2+6x﹣4y＝0外切；
③若b2＝ac，则数b是数a，c的等比中项．
A．1B．2C．3D．0
【分析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取b＝0，a＝0，c＝1，即可判断③．
【解答】解：对于①，（•）与共线，（•共线•）＝（•）不一定成立；
对于②，圆C1：x2+y8＝4的圆心为（0，2），
圆C2：x2+y8+6x﹣4y＝6可变形为（x+3）2+（y﹣4）2＝13，故其圆心为（﹣3，半径为，
则圆心距|C8C2|＝＝，由﹣8＜＜，所以两圆相交；
对于③，若b2＝ac，取b＝0，c＝5，c的等比中项．
故选：A．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，平面向量数量积的运算，两圆的位置关系，等比中项的判断，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，今有三日连差三百人，问已差人几天，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．已知最后三天一共派出了300人，派出了多少人？”（ ）
A．6天 495人B．7天 602人
C．8天 716人D．9天 795人
【分析】记第n天派出an人，从而可得数列{an}是以65为首项，7为公差的等差数列，结合题意得an+an+1+an+2＝3（7n+65）＝300，从而求得．
【解答】解：记第n天派出an人，
则数列{an}是以65为首项，7为公差的等差数列，
故an＝65+7（n﹣8）＝7n+58，
故an+an+1+an+7＝3（7n+65）＝300，
解得n＝4，
故目前一共派出了7天，共派出了7×65+，
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的性质应用，属于基础题．
8．（5分）已知直线ax+2y﹣4＝0与直线x+（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
【分析】由题意根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，计算求得结果．
【解答】解：∵直线ax+2y﹣4＝5与直线x+（a+1）y+2＝4平行，
∴＝≠，求得a＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
9．（5分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，且OM＝2MA，则等于（ ）
A．++B．+﹣
C．﹣++D．﹣+
【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可．
【解答】解：由题意知，＝++
＝+（﹣
＝﹣++（﹣）
＝﹣++
＝﹣++．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题．
10．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3＝1：2，则S9：S3＝（ ）
A．1：2B．2：3C．3：4D．1：3
【分析】本题考查的知识点是性质，即若{an}等比数列，则Sm，S2m﹣m，S3m﹣2m，…也成等比数列，则由S6：S3＝1：2，则S6﹣S3：S3＝﹣1：2，则S9﹣S6：S6﹣S3＝﹣1：2，由此不难求出S9：S3的值．
【解答】解：∵{an}为等比数列
则S3，S6﹣S5，S9﹣S6也成等比数列
由S7：S3＝1：7
令S3＝x
则S6＝x
则S3：S7﹣S3＝S6﹣S6：S9﹣S6＝﹣2：2
则S9﹣S7＝x
则S4＝
则S6：S3＝：x＝3：4
故选：C．
【点评】若{an}等差数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…也成等差数列；
若{an}等比数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…也成等比数列（其中Sm不为零）；
这是等差数列与等比数列的重要性质，大家要熟练掌握．
11．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则入射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．D．
【分析】圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1，关于y轴的对称圆的方程为圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，故可设入射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x+2），化为kx﹣y+2k﹣3＝0．圆心（3，2）到直线的距离d＝＝1，即可得出结论．
【解答】解：圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1，关于y轴的对称圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）8＝1，
故可设入射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x+6），化为kx﹣y+2k﹣3＝6．
圆心（3，2）到直线的距离d＝，∴k＝或，
故选：B．
【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
12．（5分）设F1、F2是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|＝|F2F1|，根据P为直线x＝上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF4|＝|F2F1|
∵P为直线x＝上一点
∴
∴
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）
13．（5分）以点（1，﹣2）为圆心，为半径的圆的标准方程是 （x﹣1）2+（y+2）2＝3 ．
【分析】直接利用圆的圆心和半径求出圆的方程．
【解答】解：以点（1，﹣2）为圆心，2+（y+2）7＝3；
故答案为：（x﹣1）7+（y+2）2＝2．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）已知直线l过点A（3，2，1），B（2，2，2），且＝（2，0，x）是直线l的一个方向向量，则x＝ ﹣2 ．
【分析】由＝（﹣1，0，1），由∥，能求出x．
【解答】解：直线l过点A（3，2，6），2，2），且，3，x）是直线l的一个方向向量，
∴＝（﹣1，0，∴∥，
∴x＝﹣7．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，且，则Sn＝ ．
【分析】由＝2（﹣），利用裂项求和方法即可得出结论．
【解答】解：∵＝3（﹣），
∴Sn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）
＝7（1﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）已知双曲线C：＝1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，交另一条渐近线于N，若7 y＝ ．
【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y＝x，则另一渐近线ON的方程为y＝﹣x，由垂直的条件可得FM的方程，代入渐近线方程，可得M，N的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得渐近线方程．
【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），
设一渐近线OM的方程为y＝x，
则另一渐近线ON的方程为y＝﹣x，
由FM的方程为y＝﹣（x﹣c），
联立方程y＝x，
可得M的横坐标为，
由FM的方程为y＝﹣（x﹣c）x，
可得N的横坐标为．
由8，则可得7（﹣c），
⇒⇒10a2＝4b4，
∴则双曲线的渐近线方程为y＝
故答案为：
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点M、N的横坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤。）
17．（12分）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项an；
（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式an＝a1+（n﹣1）d变形有an＝am+（n﹣m）d，则公差，可得公差d，再由通项公式an＝a2+（n﹣2）d，即可得到所求；
（Ⅱ）根据等差数列前n项和公式，配方得，根据二次函数图象及性质可知，当n＝2时，前n项和取得最大值，最大值为4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得公差，
所以an＝a2+（n﹣2）d＝7+（n﹣2）×（﹣2）＝﹣8n+5；
（Ⅱ）a1＝3，＝﹣（n﹣2）2+6，
当n＝2时，前n项和取得最大值．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．
18．（10分）已知圆心为C的圆经过A（﹣3，3），B（0，2）两点，且圆心C在直线l：x﹣2y﹣1＝0上
【分析】直接利用标准式求出圆的方程．
【解答】解：由于圆心O在AB的垂直平分线上；
故，所以直线AB的垂直平分线的斜率k＝7；
AB的中点为（，）；
直线AB的垂直平分线为y＝3×（x+），
所以，
解得；，
故圆的半径为r＝．
故圆的方程为（x+7）2+（y+2）7＝25．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn．
【分析】（1）由an+1＝2an+1（n∈N*），变形为an+1+1＝2（an+1），即可证明结论．
（2）结合（1），利用等比数列的通项公式及其求和公式，即可得出．
【解答】解：（1）证明：∵an+1＝2an+6（n∈N*），
∴an+1+1＝6（an+1），
a1+4＝4，
∴数列{an+1}是等比数列，首项为7．
（2）由（1）可得：an+1＝4×5n﹣1，即an＝2n+7﹣1，
∴Sn＝23+23+…+6n+1﹣n＝＝2n+2﹣2﹣n．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1，
（1）求点C1到直线PQ的距离；
（2）求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
【分析】（1）由直三棱柱的性质及勾股定理求出△C1QP各边长，应用余弦定理求cs∠PQC1，进而可得其正弦值，再求PQ边上的高即可；
（2）取B1C1的中点T，连接PT，则PTPT⊥平面A1B1C1，分别求出平面A1B1T与平面PQR的面积，再由面积比求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
【解答】解：（1）如图连接AP，C1Q，C1P，由题设8C1＝A1Q＝7，AQ＝CP＝11＝6，
由直三棱柱的性质及∠ACB＝90°，在Rt△ACP中AP＝，
在Rt△A6C1Q中C1Q＝4，在Rt△CC1P中C4P＝，
所以在△C1QP中，cs∠PQC1＝＝，则sin∠PQC7＝，
所以点C1到直线PQ的距离为C5Q•sin∠PQC1＝；
（2）如图，
取B3C1的中点T，连接PT1C7，
∵平面BB1C1C⊥平面A5B1C1，平面BB4C1C∩平面A1B5C1＝B1C3，
∴PT⊥平面A1B1C6，
∵AC＝CB＝2，∠ACB＝90°＝×5×2＝1，
∵AA8＝3，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1，∴PR＝＝，
PQ＝＝，RQ＝，
在△PQR中，由余弦定理可得＝，
∴sin∠QPR＝＝，则S△PQR＝×××＝，
设平面PQR与平面A7B1C1的夹角为θ，则csθ＝＝＝．
故平面PQR与平面A1B5C1夹角的余弦值为．
【点评】本题考查空间角的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）经过点P（，）（﹣，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A是椭圆E的右顶点，过点F且斜率为的直线交椭圆E于M，求△AMN的面积．
【分析】（1）根据椭圆的定义求出a的值，再求出b的值，从而求出椭圆的方程即可；
（2）求出过F的方程，联立直线和椭圆，设出M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由椭圆的定义得：+＝2a，
又c＝，故b2＝a2﹣c8＝1，
∴椭圆E的方程为：+y2＝1；
（2）过F（﹣，0）的直线方程为y＝），
|AF|＝2+，联立，
故8y8﹣4y﹣4＝0，
设M（x1，y7），N（x2，y2），
则，故|y1﹣y7|＝，
∴△AMN的面积是：
|AF|•|y1﹣y2|
＝（4+
＝．
【点评】本题考查了椭圆的定义，考查直线和椭圆的关系，考查韦达定理以及求三角形的面积，是一道中档题．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值．
【分析】（1）根据焦点F到准线的距离为2求出p，进而得到抛物线方程，
（2）设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．
【解答】（1）解：由题意知，p＝2，
∴y2＝7x．
（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（6，
设点Q的坐标为（m，n），
则＝（1﹣m，
∴P点坐标为（10m﹣5，10n），
将点P代入C得100n2＝40m﹣36，
整理得，
当n≤0时，K＝，
当n＞7时，，当且仅当25n＝时，等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．
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