2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知数列{an}满足a1=1，an=1+1an−1(n>1,n∈N∗)，则a3=(    )
A. 2 B. 32 C. 53 D. 85
2. 设函数f(x)在x=1处的导数为2，则Δx→0limf(1+3Δx)−f(1)Δx=(    )
A. −2 B. 2 C. 23 D. 6
3. 已知等差数列{an}中，a4+a8=8，则该数列的前11项和S11=(    )
A. 22 B. 44 C. 55 D. 66
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3=98，则{an}的公比q=(    )
A. −12 B. 12 C. −12或1 D. 12或1
5. 在(2+x)4展开式中，x2的系数为(    )
A. −24 B. 24 C. −16 D. 16
6. 将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为(    )
A. 152 B. 180 C. 216 D. 312
7. 已知随机变量ξ=1,2,3,P(ξ=i)=i2a，则P(ξ=2)=(    )
A. 19 B. 16 C. 14 D. 13
8. 若函数f(x)=kx−lnx在区间(12,+∞)上单调递增，则k的取值范围为(    )
A. (12,+∞) B. [2,+∞) C. (14,+∞) D. [4,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是(    )
A. (ln2)′=12 B. ( x)′=1 x
C. (sinx)′=cosx D. (2x2−1)′=(2x2)′
10. 下列结论正确的是(    )
A. 若变量y关于变量x的回归直线方程为y =2x+m，且x−=m，y−=6，则m=2
B. 若随机变量ξ的方差D(ξ)=2，则D(2ξ+1)=4
C. 若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，则B组数据比A组数据的相关性较强
D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好
11. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且d≠0，a1，a4，a6成等比数列，则(    )
A. S19=0 B. a9=0
C. 当d<0时，S9是Sn的最大值 D. 当d>0时，S10是Sn的最小值
12. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有(    )
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为37
D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为37
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量X服从N(1,σ2)，若P(X≥0)=0.8，则P(1≤X<2)= ______ ．
14. 若(1+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0−a1+a2−a3+a4−a5的值为______ ．
15. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)+2(物理、历史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为______．
16. 已知函数f(x)=−x3−3x2+e,x≤1exx2,x>1，若函数g(x)=f(x)−m有且只有三个零点，则实数m的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(2)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(3)全体站成一排，男生彼此不相邻．
18. (本小题12.0分)
在①a8=9，②S5=20，③a2+a9=13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19. (本小题12.0分)
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．

感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12


女生

5

合计


30
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20. (本小题12.0分)
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=Sn+1，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)n(an+n)，求数列{bn}的前2n项和T2n．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=13x3−12ax2，a∈R．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex，g(x)=sinx+cosx．
(1)求证：f(x)≥x+1；
(2)若x≥0，问f(x)+g(x)−2−ax≥0(a∈R)是否恒成立？若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：数列{an}满足a1=1，an=1+1an−1(n>1,n∈N∗)，
所以a2=1+1a1=1+1=2，
a3=1+1a2=1+12=32．
故选：B．
利用数列的递推关系式，逐步求解数列的a3即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．

2.【答案】D 
【解析】△x→0limf(1+3△x)−f(1)△x=3△x→0limf(1+3△x)−f(1)3△x=3f′(1)=6．
故选：D．
将极限构造成f′(1)的形式即可．
本题考查极限与导数的意义，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a4+a8=8，
则其前11项和S11=(a1+a11)×112=(a4+a8)×112=44，
故选：B．
根据题意，由等差数列的前n项和公式可得S11=(a1+a11)×112=(a4+a8)×112，即可得答案．
本题考查等差数列的前n项，涉及等差数列的性质，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：由于等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3=98，
所以a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=98，整理得1+q3=98，解得q=12．
故选：B．
直接利用等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．

5.【答案】B 
【解析】解：因为(2+x)4的通项为Tk+1=C4k24−kxk，当k=2时，T3=C42x222=24x2．
所以x2的系数为24．
故选：B．
用二项式定理的通项公式展开，使得x的系数为2，可以确定k的值，即可求得．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：由题意，末尾是2或4，
不同偶数个数为C21C41A44=192，
末尾是0，不同偶数个数为A55=120，
所以共有192+120=312个．
故选：D．
由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果．
本题考查品排列组合相关知识，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=i2a(i=1,2,3)，
∴12a+22a+32a=1，∴a=3，
∴P(ξ=2)=22×3=13．
故选：D．
由随机变量分布列的性质求出a，即可求出P(ξ=2)．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解；f′(x)=k−1x，
因为函数f(x)=kx−lnx在区间(12,+∞)上单调递增，
所以f′(x)=k−1x≥0在(12,+∞)上恒成立，即k≥1x在(12,+∞)上恒成立，
因为y=1x在(12,+∞)上单调递减，
所以当x∈(12,+∞)时，y<2，所以k≥2，
则k的取值范围为[2,+∞)．
故选：B．
因为函数在(12,+∞)内单调递增，转化为导函数f′(x)≥0在(12,+∞)恒成立．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．

9.【答案】CD 
【解析】解：对于A选项：((ln2)′=0，所以A选项错误；
对于B选项：( x)′=(x12)′=12x12−1=12 x，所以B选项错误；
对于C选项：由公式得(sinx)′=cosx，所以C选项正确；
对于D选项：(2x2−1)′=(2x2)′+(−1)′=(2x2)′，所以D选项正确．
故选：CD．
根据函数求导公式和运算法则，计算即可．
本题主要考查导数的求导，属于基础题．

10.【答案】ACD 
【解析】解：对于A，因为回归直线经过点(x−,y−)，所以将(m,6)代入回归直线方程，得m=2，所以A正确；
对于B，因为D(ξ)=2，所以D(2ξ+1)=22D(ξ)=8，所以B错误；
对于C，因为|rB|>|rA|，所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以C正确；
对于D，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以D正确．
故选：ACD．
对于A，结合回归方程的性质即可判断；对于B，结合随机变量的方差的性质即可判断；
对于C，结合相关系数的定义即可判断；对于D，结合残差的定义即可判断．
本题考查线性回归方程相关知识，属于基础题．

11.【答案】ACD 
【解析】解：因为a1，a4，a6成等比数列，所以a1a6=a42，即a1(a1+5d)=(a1+3d)2，
整理得a1d=−9d2，因为d≠0，所以a1=−9d，
所以a10=a1+9d=0，则S19=19(a1+a19)2=19a10=0，故A正确、B错误；
当d<0时{an}单调递减，此时a1>a2>⋯>a9>a10=0>a11>⋯，
所以当n=9或n=10时Sn取得最大值，即(Sn)max=S9=S10，故C正确；
当d>0时{an}单调递增，此时a1 所以当n=9或n=10时Sn取得最小值，即(Sn)min=S9=S10，故D正确．
故选：ACD．
根据等比中项的性质得到方程，即可得到a1=−9d，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可．
本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的性质的应用，属于中档题．

12.【答案】ABD 
【解析】解：A选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06×0.25=0.015，A正确；
B选项，任取一个零件是次品的概率为0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525，B正确；
C选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为0.05×0.30.0525=27，C错误；
D选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为0.05×0.450.0525=37，D正确．
故选：ABD．
根据相互独立事件的乘法公式可计算A，B；根据条件概率公式可计算C，D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．

13.【答案】0.3 
【解析】解：因为X～N(1,σ2)，则P(1≤x<2)=1−2P(X<0)2=1−2×(1−0.8)2=0.3．
故答案为：0.3．
利用正态曲线的对称性可求得P(1≤X<2)的值．
本题考查正态分布曲线相关知识，属于基础题．

14.【答案】−32 
【解析】解：∵(1+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
∴令x=−1，可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=−32．
故答案为：−32．
通过给x赋值，求出a0−a1+a2−a3+a4−a5的值．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，解题关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．

15.【答案】512 
【解析】解：由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为C21C42×C21C42=144种，
若相同的科目为4选2的科目，从4科中选2科，有C42种选择，
则2选1两人选择不同，由A22种选择，共有C42A22=12种，
若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，从4科中先选出1科相同的，有C41种选择，
甲乙再分别从剩余3科中选择1个不同的，有A32种选择，再从2选1中选择一科相同的，有C21种选择，共有C41A32C21=48种，
所以所求概率为12+48144=512．
故答案为：512．
先计算出甲、乙两位同学选考的总数，再分两种情况求出甲、乙两位同学恰有两科相同的总数，利用古典概型求概率公式进行求解．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于中档题．

16.【答案】(e−4,e24)∪{e} 
【解析】解：当x≤1时，f(x)=−x3−3x2+e，f′(x)=−3x(x+2)，
所以当−20，当x<−2或0 所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
且f(−2)=f(1)=−4+e，f(0)=e；
当x>1时，f(x)=exx2，f′(x)=x−2x3ex，
所以当x>2时，f′(x)>0，当1 所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
令g(x)=exx2，则g(1)=e，
又f(2)=e24．
作出函数f(x)的函数图象如下：

若g(x)=f(x)−m有且只有三个零点，即y=f(x)与y=m只有三个交点，
由图可知需满足m∈(e−4,e24)∪{e}．
故答案为：(e−4,e24)∪{e}．
利用导数求出函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙有A52种，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，
所以有A52⋅A55=2400种．
(2)根据题意，相邻问题，利用捆绑法，共有A33⋅A44⋅A22=288种．
(3)全体站成一排，男生彼此不相邻即不相邻问题，先排好女生共有A44种排法，男生在5个空中安插，共有A53种排法，
所以共有A44⋅A53=1440种． 
【解析】(1)先特殊后一般即可求解；
(2)利用捆绑法求解；
(3)利用插空法求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．

18.【答案】解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，设首项为a1，公差为d，
选①a8=9，②S5=20时，
故a1+7d=9 5a1+5×42d=20 ，解得a1=2 d=1 ，故an=2+(n−1)=n+1．
选①a8=9，③a2+a9=13时，
故a1+7d=9 2a1+9d=13 ，解得a1=2 d=1 ，故an=2+(n−1)=n+1．
选②S5=20，③a2+a9=13时，
故2a1+9d=13 5a1+5×42d=20 ，解得a1=2 d=1 ，故an=2+(n−1)=n+1．
(2)由(1)得：bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
所以Tn=12−13+13−14+...+1n+1−1n+2=12−1n+2． 
【解析】(1)选①②和①③和②③时，建立方程组，进一步求出首项和公差，再求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)列联表如下：

感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合计
21
9
30
K2=30×(12×5−4×9)216×14×21×9≈0.4082<2.072，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
(2)由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则P(X=0)=C53C93=542，
P(X=1)=C41C52C93=1021，
P(X=2)=C42C51C93=514，
P(X=3)=C43C93=121，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
542
1021
514
121
数学期望E(X)=0×542+1×1021+2×514+3×121=43． 
【解析】(1)由题可得列联表，根据列联表可得K2进而即得；
(2)由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵an+1=Sn+1①，n∈N*，
∴当n=1时，有a2=S1+1=a1q，
当n≥2时，an=Sn−1+1②，
由①−②得an+1−an=an，即an+1an=2，∴q=2，
∴a1=1，
∴an=2n−1；
(2)由(1)得an=2n−1，
则bn=(−1)n(an+n)=(−1)n(2n−1+n)，
∴b2n=22n−1+n，b2n−1=−(22n−2+2n−1)，
∴b2n+b2n−1=4n−1+1，
∴T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2n−1+b2n)
=(1+4+⋯+4n−1)+n=4n−13+n． 
【解析】本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)设等比数列{an}的公比为q，利用数列的递推式，作差，即可得出答案；
(2)由(1)得an=2n−1，则bn=(−1)n(an+n)=(−1)n(2n−1+n)，可得b2n+b2n−1=4n−1+1，利用分组求和法，即可得出答案．

21.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=13x3−x2，则f′(x)=x2−2x，∴f′(3)=9−6=3，
又f(3)=9−9=0，∴f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为：y=3(x−3)，即3x−y−9=0．
(2)由题意得：f(x)定义域为R，f′(x)=x2−ax=x(x−a)；
当a=0时，f′(x)=x2≥0，∴f(x)在R上单调递增；
当a<0时，若x∈(−∞,a)∪(0,+∞)，则f′(x)>0；
若x∈(a,0)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；
当a>0时，若x∈(−∞,0)∪(a,+∞)，则f′(x)>0；
若x∈(0,a)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；
综上所述：当a=0时，f(x)在R上单调递增；
当a<0时，f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减． 
【解析】(1)由导数几何意义可求得切线斜率f′(3)，结合f(3)=0可得切线方程；
(2)求导后，分别在a=0、a<0和a>0的情况下，根据f′(x)正负得到函数单调性．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)证明：令F(x)=ex−x−1，F′(x)=ex−1，
令F′(x)>0，解得x>0，令F′(x)<0，解得：x<0，
故f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，
即当x=0时，F(x)取得极小值也是最小值F(0)=0，
所以F(x)≥0，得证；
(2)设h(x)=f(x)+g(x)−2−ax，
即证h(x)=ex+sinx+cosx−2−ax≥0在[0,+∞)上恒成立，
易得h′(x)=ex+cosx−sinx−a，
当x=0时，若h′(0)=2−a≥0⇒a≤2，
下面证明：当a≤2时，h(x)=ex+sinx+cosx−2−ax≥0在[0,+∞)上恒成立，
因为h′(x)=ex+cosx−sinx−a，设u(x)=h′(x)，
则u′(x)=ex−sinx−cosx≥x+1−sinx−cosx=x−sinx+1−cosx>0，
所以h′(x)在[0,+∞)上是单调递增函数，
所以h′(x)≥h′(0)=2−a≥0，所以h(x)在[0,+∞)上是严格增函数，
若a>2时，h′(0)<0，即h(x)在x=0右侧附近单调递减，此时必存在h(x0) 不满足f(x)+g(x)−2−ax≥0(a∈R)恒成立，
故当a≤2时，不等式恒成立；
故a的取值范围是(−∞,2]． 
【解析】(1)令F(x)=ex−x−1，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，从而证明结论成立；
(2)设h(x)=f(x)+g(x)−2−ax，根据h′(0)≥0，得到a≤2，问题转化为当a≤2时，h(x)=ex+sinx+cosx−2−ax≥0在[0,+∞)上恒成立，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．