2021-2022学年江苏省南通市六校联考高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市六校联考高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．（5分）直线与圆相交于，两点，则的长等于　　

A．3 B．4 C．6 D．1

3．（5分）函数在，上的最大值为　　

A． B．1 C．0 D．

4．（5分）过点且垂直于直线的直线方程为　　

A． B． C． D．

5．（5分）设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是　　

A．4 B．6 C．8 D．12

6．（5分）已知数列为等比数列，若，则的值为　　

A． B．4 C． D．2

7．（5分）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯　　

A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏

8．（5分）若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A．是函数的极小值点 

B．是函数的极小值点 

C．函数在区间上单调递减 

D．函数在区间上先增后减

10．（5分）若直线过点，且直线在轴上的截距是直线在轴上的截距的2倍，则直线的方程是可以是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则　　

A．△的周长为12 B． 

C．点到轴的距离为 D．

12．（5分）设等差数列的公差为，前项和为．若，且，则　　

A． B． 

C． D．当时，取得最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）设两点，，则以为直径的圆的方程为　　．

14．（5分）已知函数，则的值为 　　．

15．（5分）设数列满足，则　　．

16．（5分）设点是双曲线上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知圆．

（1）若点，求过点的圆的切线方程；

（2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程．

18．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调区间；

（2）求在上的最大值（a）．

20．（12分）如图所示，、分别为椭圆的左、右两个焦点，、为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求△的面积．

21．（12分）已知，两地相距，某船从地逆水到地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为，当，每小时的燃料费为720元．

（1）求比例系数

（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

（3）当为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

22．（12分）在数列中，，，数列满足．

（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）数列前项和为，且满足，求的表达式；

（3）令，对于大于2的正整数，（其中，若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组．

2021-2022学年江苏省南通市六校联考高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，

故选：．

2．（5分）直线与圆相交于，两点，则的长等于　　

A．3 B．4 C．6 D．1

【解答】解：由，可知圆心坐标为，半径，

则圆心到直线的距离，

弦的长：．

故选：．

3．（5分）函数在，上的最大值为　　

A． B．1 C．0 D．

【解答】解：，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

故当时取得极大值，也为最大值，（1）．

故选：．

4．（5分）过点且垂直于直线的直线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：过点且垂直于直线的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为，

化简可得，

故选：．

5．（5分）设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是　　

A．4 B．6 C．8 D．12

【解答】解：抛物线的准线为，

点到轴的距离是4，

到准线的距离是，

根据抛物线的定义可知点到该抛物线焦点的距离是6

故选：．

6．（5分）已知数列为等比数列，若，则的值为　　

A． B．4 C． D．2

【解答】解：因为数列为等比数列，且，

所以，

所以，

则，

故选：．

7．（5分）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯　　

A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏

【解答】解：塔的每层的灯数形成等差数列，公差．

由题意可得：，

，

联立解得：，．

塔的底层共有灯盏．

故选：．

8．（5分）若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数　　

A． B． C． D．

【解答】解：设两曲线的公共切点为，

由，得，则曲线在切点处的切线方程为，

即，

由，得，则曲线在公共点处的切线方程为，

即，

，解得，．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A．是函数的极小值点 

B．是函数的极小值点 

C．函数在区间上单调递减 

D．函数在区间上先增后减

【解答】解：由题意可知时，，函数是减函数；

时，，所以函数是增函数；

所以是函数的极小值点，

函数在区间上单调递减．

故选：．

10．（5分）若直线过点，且直线在轴上的截距是直线在轴上的截距的2倍，则直线的方程是可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解当截距不为0时，可设直线方程为，，

因为直线过点，

所以，

所以，即直线方程为，即．

当截距为0时，可设直线方程为，

则，

所以，此时直线方程为，即．

故选：．

11．（5分）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则　　

A．△的周长为12 B． 

C．点到轴的距离为 D．

【解答】解：由椭圆，得，，．

设，，，

于是△的周长为，故错误；

在△中，由余弦定理可得：

，

可得，得．

故，故正确；

设到轴的距离为，则，

得，故正确；

，故正确．

故选：．

12．（5分）设等差数列的公差为，前项和为．若，且，则　　

A． B． 

C． D．当时，取得最小值

【解答】解：等差数列中，，且，

所以，

即，

，错误；

，正确；

，正确；

因为，，

所以，，故当时，取得最小值，正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）设两点，，则以为直径的圆的方程为　　．

【解答】解：设以为直径的圆的圆心为，则，解得，．．

圆的半径．

以为直径的圆的方程为．

故答案为．

14．（5分）已知函数，则的值为 　　．

【解答】解：，

．

故答案为：．

15．（5分）设数列满足，则　　．

【解答】解：①，

则：②，

所以：①②得：，

所以：．

当时，符合上式，

则数列的通项公式为：．

故答案为：

16．（5分）设点是双曲线上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为 　　．

【解答】解：在直角三角形中，

设，可得，

则由勾股定理得，

所以，

而由双曲线定义知，，即，

可得．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知圆．

（1）若点，求过点的圆的切线方程；

（2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程．

【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，切线方程为，

当直线的斜率存在时，设切线方程为，即．

由，解得．

切线方程为．

综上所述，过点的圆的切线方程为或；

（2）点在圆内部，，

，则直线的方程为，

即．

18．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解答】解：（1）设是公差为的等差数列，

是公比为的等比数列，

由，，可得，

；

即有，，

则，

则；

（2），

则数列的前项和为

．

19．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调区间；

（2）求在上的最大值（a）．

【解答】解：的定义域是，

（1），，

①时，令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在递减，

②时，，在递减；

综上：时，在递增，在递减，

时，在递减；

（2）由（1）时，在，单调递减，

（a），

时，在，递增，在，递减，

（a）（a），

时，在上单调递增，

（a）（e），

综上：时，（a），

时，（a），

时，（a）．

20．（12分）如图所示，、分别为椭圆的左、右两个焦点，、为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求△的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由题设知：，即

将点代入椭圆方程得，解得

，故椭圆方程为（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所在直线方程为（5分）

由得（7分）

设，，，，则（8分）

（9分）

．（10分）

21．（12分）已知，两地相距，某船从地逆水到地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为，当，每小时的燃料费为720元．

（1）求比例系数

（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

（3）当为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

【解答】解：（1）设每小时的燃料费为，则，当，每小时的燃料费为720元，

代入得；

（2）由（1）得，

设全程燃料费为，

则，

所以，

令，解得（舍去） 或，

所以当时，；

当，时，，

所以当时，取得最小值，

故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．

（3）由（2）得，若时，则在区间，上单调递减，当时，取得最小值；

若时，则区间上单调递减，在区间，上单调递增，

当时，取得最小值；

综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；

当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．

22．（12分）在数列中，，，数列满足．

（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）数列前项和为，且满足，求的表达式；

（3）令，对于大于2的正整数，（其中，若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组．

【解答】解：（1）因为，所以，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，

故数列的通项公式为．

（2）由题意知，，

所以，

当时，；

当时，，

因为满足上式，所以．

（3），

所以，，，

①若、、成等差数列，则，

所以，即，

而和的尾数都是偶数，不可能满足上式；

②若、、成等差数列，则，

所以，

因为，所以或，解得或；

③若、、成等差数列，则，

所以，即，

而和的尾数都是偶数，不可能满足上式，

综上所述，符合条件的数组为或．

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