2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期中联考数学试题（含答案）

合肥六校联盟2022—2023学年第一学期期中联考

高二年级数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

命题学校：合肥七中命题教师：柏鹏飞李歆辉审题教师：胡龙成

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.过，两点的直线的倾斜角是（）

A.45 B.60 C.120 D.135

2.如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的

中点，则（）

A.  B.

C.  D.

3.已知方程表示圆，则k的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

4.椭圆的焦点为，，与y轴的一个交点为A，若，则m（）

A.1 B. C. .2

5.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）

A. B. C. D.

6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则（）

A. B. C. D.

7.已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（）

A. B. C. D.

8.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l与所成角为

B.P、A、B、C是空间中四点，若，则P、A、B、C四点共面

C.过，两点的直线方程为

D.“”的一个必要不充分条件是“直线与直线平行”

10.下列说法错误的是（）

A.是直线的一个单位方向向量

B.直线与直线之间的距离是

C.点到直线l：的距离为

D.经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条

11.已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（）

A.椭圆的离心率的取值范围是

B.当椭圆的离心率为时，的取值范围是

C.存在点使得

D.的最小值为2

12.如下图，正方体中，为线段上的动点，平面，则下面说法正确的是（）

A.直线与平面所成角的正弦值范围为

B.已知为中点，当的和最小时，

C.点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.已知圆与圆有四条公切线，写出一个实数的可能取值是______.

14.向量，且，则向量在上的投影向量的坐标为______.

15.已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为______.

16.已知粗圆的左，右焦点分别是，过点的直线交椭圆于两点，则的内切圆面积的最大值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知点，______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求直线关于直线的对称直线的方程.

条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件（2）：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③：点的坐标为，直线.过点且与直线平行.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且.

（Ⅰ）设为中点，求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.

（Ⅰ）若直线与圆相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求粗圆.的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆.于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

21.（本小题满分12分）

如下图，在四棱雉中，已知平面，且四边形为直角梯形，.

（Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；

（Ⅱ）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离.

22.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点.，直线恒过定点.且交椭圆于两点，为的中点.

（Ⅰ）求粗圆的标准方程；

（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.

合肥六校联盟2022-2023学年第一学期期中联考

高二年级数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

13.4（答案不唯一）14.15.16.

四、解答题

17.（本小题满分12分）

（1）选择条件①：

因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线.

因为，所以直线的斜率为1，又线段的中点坐标为，

所以直线的方程为，即.

选择条件②：

因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为1，

又直线过点，所以直线的方程为，即.

选择条件③，

因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为1，

又直线过点，所以直线的方程为，即.

（2），解得，故的交点坐标为，

因为在直线上，设关于对称的点为，

则，解得，

直线关于直线对称的直线经过点，代入两点式方程得，即，

所以关于直线的对称直线的方程为.

18.（本小题满分12分）

（1）证明：取中点，连接，

则，且，

所以且，所以四边形为平行四边形，所以

又平面，平面，所以平面.

（2）解：因为直三棱柱中，所以、两两垂直.

分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面法向量为，则，，

即，令，得到平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19.（本小题满分12分）

（1）圆心到直线的距离，

圆的半径为2，所以;

当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.

直线斜率存在，设直线，

由，得或

所以切线方程为，或.

（2）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线，

由，解得：，

故的方程是，即，

综上所述，直线的方程为或

20.（本小题满分12分）

（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，

又长为，∴，∴

∴，故的标准方程为

（2）显然直线的斜率存在且不为0，

设，由得，

∴，同理可得

当时，，

所以直线的方程为

整理得，所以直线

当时，直线的方程为，直线也过点

所以直线过定点.

注：其它解法也可以.

21.（本小题满分12分）

解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点的坐标为

（1）因为平面，且面，

∴，又，且，

∴平面，

所以是平面的一个法向量，.

因为.

设平面的法向量为.，

则

即，令，解得.

所以.是平面的一个法向量，

从而，，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为；

（2）因为，

设为直线上一点，且，

又，

则，

则点到直线的距离

∵

∴

所以异面直线与之间的距离为.

注：若用公垂线向量等其它方法，酌情扣分。

22.（本小题满分12分）

（1）由题意可得，直线恒过定点，因为为的中点，所以，即.

因为椭圆经过点，所以，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设.

由得，恒成立，

则，，

则

又因为点到直线的距离，

所以

令，则，

因为，时，，在上单调递增，

所以当时，时，故.

即的最大值为.

注：本题第2问通过也可以.