2023年广东省阳江市阳西县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省阳江市阳西县中考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了下列四个实数中，最小的是，下列计算不正确的是，《九章算术》中记载等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣2B．4C．1D．﹣
2．北京2022年冬奥会标志性场馆“冰丝带”——国家速滑馆，于2021年4月30日完成首次全冰面制冰，冰面面积约12000平方米，是目前亚洲最大的冰面，用科学记数法可以把数字12000表示为（ ）
A．0.12×105B．1.2×104C．1.2×105D．12×103
3．下列图形是杭州亚运会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算不正确的是（ ）
A．a5+a5＝2a5B．a2•a3＝a6
C．（﹣a3）2＝a6D．a•a7＝（a4）2
5．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
则视力的众数是（ ）
A．4.5B．4.6C．4.7D．4.8
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于D，E两点，则△ACE的周长等于（ ）
A．12B．14C．16D．17
7．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，CD是半圆O的直径，点A，B是半圆上的两点，已知∠ABC＝140°，CD＝4，则AC的弧长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式4a4﹣4的结果为 ．
12．如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次．当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向偶数区域的概率是 ．
13．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE＝ ．
14．如图，直线的图象与y轴交于点A，直线y＝kx+k（k＞0）与x轴交于点B，与的图象交于点M，与的图象交于点C．当S△ABM：S△AMC＝5：3时，k＝ ．
15．如图，正方形ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，BC边上的点，且满足BE＝3AE，CF＝3BF，连接DE，AF交于点G，BD交AF于点H，则四边形GEBH的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解不等式组：．
17．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
18．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．为打造校园劳动实践基地，某学校计划在3月份购进甲、乙两种植株进行培育．已知甲植株的单价是乙植株单价的，用900元购买的甲植株数量比用600元购买的乙植株数量多10株．
（1）求甲、乙植株的单价分别是多少元．
（2）该学校决定购买甲、乙两种植株共150株，其中乙植株的数量不超过甲植株数量的，如何购进两种植株才能使费用最低，最低费用是多少？
20．实验学校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书其中《九章算术》的单价比《几何原本》的单价低16元，用9600元购进《九章算术》的数量是用4800元购进《几何原本》的数量的3倍．
（1）求《九章算术》和《几何原本》的单价分别是多少元？
（2）该校打算购进这两种书共300本，且《九章算术》的数量不超过《几何原本》的数量的2倍，求购进这两种书各多少本时，花费最少？
21．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
22．（12分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）连接BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵5＞4，
∴＞2，
∴﹣＜﹣2，
∴﹣＜﹣2＜1＜4，
∴最小的数是﹣，
故选：D．
2． 解：12000＝1.2×104．
故选：B．
3． 解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
4． 解：A．a5+a5＝2a5，此选项计算正确；
B．a2•a3＝a5，此选项计算错误；
C．（﹣a3）2＝a6，此选项计算正确；
D．a•a7＝（a4）2＝a8，此选项计算正确；
故选：B．
5． 解：由表知，视力为4.7的人数最多，有12人，
所以视力的众数为4.7，
故选：C．
6． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
则BC＝＝＝12，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝17，
故选：D．
7． 解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．
故选：A．
8． 解：连接AD．
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∵∠ACB＝140°，
∴∠ADB＝40°，
∴∠AOC＝2∠ADB＝80°，
∴AC的弧长＝＝．
故选：B．
9． 解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
10． 解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，即＝，
解得：AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则MN∥BC，
∴△AMN∽△AFB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理得：BM＝＝＝a，
∵ME+MF＝+a＝a，MB＝a，
∴ME+MF＝MB，
故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝4（a4﹣1）＝4（a2+1）（a2﹣1）＝4（a2+1）（a+1）（a﹣1）．
故答案为：4（a2+1）（a+1）（a﹣1）
12． 解：图中共有6个面积相等的区域，含偶数的有2，2，共2个，
则当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向偶数区域的概率是＝．
故答案为：．
13． 解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得，AE＝3．
故答案为：3．
14． 解：过点M作ME⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，如图所示：
∵△ABM于△ACM同高，且S△ABM：S△AMC＝5：3，
∴BM：CM＝5：3，
∴BM：BC＝5：8，
∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，
∴ME∥CF，
∴△BME∽△BCF，
∴BE：BF＝ME：CF＝5：8，
∴设BE＝5t，BF＝8t，
对于y＝kx+k（k＞0），当y＝0时，kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴OE＝BE﹣OB＝5t﹣1，OF＝BF﹣OB＝8t﹣1，
∴点M的横坐标为：5t﹣1，点C的横坐标为8t﹣1，
∵点M在直线y＝x+3上，
∴点M的纵坐标y＝（5t﹣1）+3＝（t﹣1），
即ME＝（t﹣1），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴点C的纵坐标y＝，
∴CF＝，
∵ME：CF＝5：8，
∴t﹣1）：＝5：8，
整理得：16t2﹣18t+5＝0，
解得：t1＝，t2＝，
当t＝时，8t﹣1＝4，＝，
∴点C的坐标为（4，），
∵点C在直线y＝kx+x上，
∴＝4k+k，解得：k＝，
当t＝时，8t﹣1＝3，＝3，
∴点C的坐标为（3，3），
∵点C在直线y＝kx+x上，
∴3＝3k+k，解得：k＝．
综上所述：k的值为或．
故答案为：或．
15． 解：∵正方形ABCD的边长4，
∴AD＝BC＝AB＝4，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵BE＝3AE，CF＝3BF，
∴AE＝BF＝1，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAG+∠EAG＝90°，
∴∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AG⊥DE，△AGE∽△DEA，
∵AD∥BF，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴＝4，
∴S△ABD＝4×＝8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴S△AGE，
∴四边形GEBH的面积＝S△ABH﹣S△AGE＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＜﹣3，
∴不等式组的解集为x＜﹣3．
17． （1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
18． 解：（1）这次活动共调查的人数为30÷15%＝200（人），
故答案为：200；
（2）“支付宝”的人数为200﹣（200×30%+30+50+15）＝45（人），
所以表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：81°；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
19． 解：（1）设乙植株单价是x元，则甲植株单价为x元，
由题意可得：﹣＝10，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，
∴x＝18，
答：甲植株的单价是18元，乙植株的单价是15元；
（2）设购买甲植株a棵，则购买乙植株（150﹣a）棵，总费用为w元，
由题意可得：w＝18a+15（150﹣a）＝3a+2250，
∴w随a的增大而增大，
∵乙植株的数量不超过甲植株数量的，
∴150﹣a≤a，
解得a≥90，
∴当a＝90时，w取得最小值，此时w＝2520，150﹣a＝60，
答：购买甲植株90棵，购买乙植株60棵时，总费用最低，最低费用为2520元．
20． 解：（1）设《九章算术》单价为x元，则《几何原本》的单价为（x+16）元，
根据题意得：＝3×，
解得：x＝32，
经检验，x＝32是原方程的根，
32+16＝48，
答：《九章算术》和《几何原本》的单价分别是32元，48元；
（2）设学校购进《九章算术》m本，则购进《几何原本》（300﹣m）本，共需费用w元，
则w＝32m+48（300﹣m）＝﹣16m+14400，
∵m≤2（300﹣m），
解得：m≤200，
∵﹣16＜0，
∴当m＝200时，w最小，最小值为11200，
此时300﹣200＝100，
答：当学校购进《九章算术》200本，则购进《几何原本》100本时，费用最小．
21． 解：（1）在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y＝（x＞0），
把y＝2代入y＝，
得x＝，
∴E（，2）；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），
∴S△EFC＝BF•CE＝×（2﹣k）k，
＝k﹣k2
＝﹣（k2﹣6k+9﹣9）
＝﹣（k﹣3）2+，
在边AB上，不与A，B重合，即0＜＜2，
解得0＜k＜6，
∴当k＝3时，S有最大值．
S最大值＝．
22． 解：（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE，OD⊥AE，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OC＝OC，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO，
∵CA为⊙O的切线，
∴∠CAO＝90°，
∴∠CEO＝90°，
即OE⊥CE，
∴CE与⊙O相切；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵OA＝5，sin∠BAE＝，
∴在Rt△ADO中，sin∠DAO＝，
∴OD＝
∴AD＝＝2，
∵S△ADO＝×OD×AD＝OA×DH，
∴DH＝＝2，
∴OH＝＝1，
∴BH＝5+1＝6，
∵DH⊥AB，AF⊥AB，
∴DH∥AF，
∴△BDH∽△BFA，
∴，
∴，
∴AF＝．
23． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴GA＝GB，
∴GA+GC＝GB+GC，
∴当点G在直线BC与抛物线对称轴的交点上时，GA+GC最小，
令x＝0得，y＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣4（k≠0），
把B（4，0）代入得，0＝4k﹣4，
解得：k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
联立得：，
解得：，
∴此时点G的坐标为（1，﹣3）；
（3）如图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
∵B（4，0），（0，﹣4），点D为BC的中点，
∴D（2，﹣2），
设P（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ＝m﹣4﹣＝，
∴
＝
＝
＝，
∵，0＜m＜4，
∴当m＝2时，S△BDP有最大值为2．
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）