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2023年广东省阳江市阳春市中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省阳江市阳春市中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省阳江市阳春市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法中，正确的是( )
A. 2与−2互为倒数 B. 2与12互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是−2
2. 我们虽然把地球称为“水球”，但可利用淡水资源匮乏．我国淡水总量仅约为899000亿米 3，用科学记数法表示这个数为( )
A. 0.899×104亿米 3 B. 8.99×105亿米 3
C. 8.99×104亿米 3 D. 89.9×104亿米 3
3. 若∠A=40°，则∠A的余角的大小是( )
A. 50° B. 60° C. 140° D. 160°
4. 在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是( )
A. 15 B. 13 C. 25 D. 35
5. 下列命题是真命题的是( )
A. a2=a B. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
C. 等弧所对的圆周角相等 D. 正多边形都是中心对称图形
6. 在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，则a+b的值为( )
A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
7. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为( )
A. (17+19)x=1 B. (17−19)x=1 C. (9−7)x=1 D. (9+7)x=1
8. 若一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是( )
A. 2 B. 32 C. −12 D. −4
9. 已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x1，x2，若x1=−1，则a−x12−x22的值为( )
A. 7 B. −7 C. 6 D. −6
10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：(3.14−π)0−tan45°= ______ ．
12. 分解因式：3m2−12=______．
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB=5m，BC=3m，那么CD+DE的长是______m.
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx(k≠0)经过AC边的中点D，若BC=2 2，则k= ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2x−5<0①1−2x−43≤5−x2②．
17. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线．
(1)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接BE，若∠DBE=20°，求∠AEB的度数．
18. (本小题8.0分)
某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为______，“合格”人数的百分比为______；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为______；
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为______．
19. (本小题9.0分)
遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13.设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
20. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=kx(k≠0)交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E.过点A作AD⊥y轴于点D，连接DC.已知点B的纵坐标为1，且S△ADC=2．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△AMB的面积是△ADC面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请结合图形，直接写出不等式x+b−kx≥0的解集．
21. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE=4BE，求FHAF的值．
22. (本小题12.0分)
如图，已知E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接BE，DE，F是DE延长线上一点，FB⊥BE于点B，EF交AB于点G．
(1)求证：BE=DE；
(2)判断△FBG的形状并说明理由；
(3)若G为AB的中点，且AB=4，求AF的长．
23. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)填空：b= ______ ，c= ______ ；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2与−2互为相反数，故此选项不符合题意；
B、2与12互为倒数，故此选项不符合题意；
C、0的相反数是0，故此选项符合题意；
D、2的绝对值是2，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据相反数、倒数、绝对值的定义分别进行判断即可．
此题考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握：只有符号不同的两个数叫互为相反数，0的相反数是0；乘积是1的两个数叫互为倒数，0没有倒数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：899000亿米 3=8.99×105亿米 3，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：∵∠A=40°，
∴∠A的余角为：90°−40°=50°，
故选：A．
根据互余两角之和为90°计算即可．
本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．
4.【答案】D
【解析】解：随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，
∴随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为35，
故选：D．
随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5.【答案】B
【解析】解：∵ a2=±a，
∴选项A不符合题意；
∵三角形的内心到三角形三边的距离相等，
∴选项B符合题意；
∵在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，
∴选项C不符合题意；
∵边长为偶数的正多边形是中心对称图形，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
根据二次根式的性质与化简方法，角平分线的性质和应用，圆周角定理和应用，三角形的内切圆与内心的性质和应用，以及中心对称图形的特征和判断方法，逐项判断即可．
此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解答此题的关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】C
【解析】解：∵点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，
∴a=2，b=−1，
∴a+b=1，
故选：C．
由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．
本题考查了中心对称，关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．
7.【答案】A
【解析】解：设经过x天相遇，
根据题意得：17x+19x=1，
∴(17+19)x=1，
故选：A．
设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k+3<0，
解得k<−3．
所以k的值可以是−4，
故选：D．
根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可．
本题考查了一次函数的性质，在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−a，
∵x1=−1，
∴x2=3，x1⋅x2=−3=−a，
∴a=3，
∴原式=3−(−1)2−32
=3−1−9
=−7．
故选：B．
根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．
本题考查了根与系数的关系，掌握x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为3 3，
∴△ABD的面积= 34a2=3 3，
解得：a=2 3，
故选：B．
根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3 3解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
11.【答案】0
【解析】解：原式=1−1
=0．
故答案为：0．
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】3(m+2)(m−2)
【解析】解：3m2−12，
=3(m2−4)，
=3(m+2)(m−2)．
故答案为：3(m+2)(m−2)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】4
【解析】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵BC=3m，
∴DE=1.5m，
∵∠ACB=90°，
∴CD=12AB，
∵AB=5m，
∴CD=2.5m，
∴CD+DE=2.5+1.5=4(m)，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD的长，进一步即可求出CD+DE的长．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
14.【答案】−32
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE=BE，
∴AE=12BC= 2，
∴A(0, 2)，C(− 2,2 2)，
∵D是AC的中点，
∴D(− 22,3 22)，
∴k=− 22×3 22=−32．
故答案为：−32．
如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE= 2，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15.【答案】5+ 37
【解析】解：如图，在DC上截取DT，使得DT=DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADT=90°，
∵∠AHT=90°，
∴四边形AHTD是矩形，
∵AE=DE=12AD=3.AF=FB=12AB=4，
∴AH=DT=3，HF=AF−AH=4−3=1，HT=AD=6，
∴FT= FH2+TH2= 12+62= 37，
∵DG平分∠ADC，DE=DT，
∴E、T关于DG对称，
∴PE=PT，
∴PE+PF=PF+PT≥FT= 37，
∵EF= AE2+AF2= 32+42=5，
∴△EFP的周长的最小值为5+ 37，
故答案为：5+ 37．
如图，在DC上截取DT，使得DT=DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H.利用勾股定理求出FT= 37，EF=5，证明PE+PF=PF+PT≥FT，可得结论．
本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：解不等式①，得：x<2.5，
解不等式②，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<2.5．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，
(2)如图3，
∵EF垂直平分BD，∠DBE=20°，
∴EB=ED，
∴∠DBE=∠BDE=20°，
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB=∠DBE+∠BDE=20°+20°=40°．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
(2)由垂直平分线的性质得出EB=ED，进而得出∠DBE=∠BDE=25°，再由三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数．
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义与性质是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)50，40%；
(2)补全图形如下：
(3)115.2°；
(4) 13
【解析】
【分析】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
(2)总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
(3)用360°乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)本次抽查的总人数为8÷16%=50(人)，
“合格”人数的百分比为1−(32%+16%+12%)=40%，
故答案为：50，40%；
(2)50−8−6−20=16(人)，
补全图形如下：
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为360°×32%=115.2°，
故答案为：115.2°；
(4)列表如下：
甲
乙
丙
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为26=13．
故答案为：13．
19.【答案】解：(1)设每台B型设备的价格为x万元，则每台A型号设备的价格为1.2x万元，
根据题意得，300001.2x=15000x+4，
解得：x=2500．
经检验，x=2500是原方程的解．
∴1.2x=3000，
∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．
(2)设购买a台A型设备，则购买(50−a)台B型设备，
∴w=3000a+2500(50−a)=500a+125000，
由实际意义可知，a≥050−a≥0a≥13(50−a)，
∴12.5≤a≤50且a为整数，
∵500>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=13时，w的最小值为500×13+125000=131500(元)．
∴w=500a+125000，且最少购买费用为131500元．
【解析】(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．
(2)根据总费用=购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，连接OA，
∵AD//x轴，
∴S△ACD=2=S△OAD=12k|，
∵k>0，
∴k=4，
∴反比例函数的关系式为y=4x，
当y=1时，即1=4x，
解得x=4，
∴点B坐标为(4,1)，
∵点B(4,1)在一次函数y=x+b的图象上，
∴4+b=1，
即b=−3，
∴一次函数的关系式为y=x−3，
答：反比例函数的关系式为y=4x，一次函数的关系式为y=x−3；
(2)方程组y=x−3y=4x的解为x1=4y1=1，x2=−1y2=−4，
∵点B(4,1)，
∴点A(−1,−4)，
如图，设点M(0,m)，
直线AB与y轴的交点E的坐标为(0,−3)，
∴ME=|m+3|，
当△AMB的面积是△ADC面积的2倍时，
即S△MAE+S△MBE=2S△ADC，
∴12|m+3|×4+12|m+3|×1=2×2，
解得m=−75或m=−235，
∴点M(0,−75)或(0,−235)；
(3)由于一次函数y=x+b与反比例函数y=kx(k≠0)交点A(4,1)点B(−1,−4)，
∴不等式x+b−kx≥0的解集为x≥4或−1≤x<0．
【解析】(1)根据反比例函数系数k的几何意义可求出k的值，确定反比例函数关系式，进而求出点B坐标，代入确定一次函数关系式；
(2)求出点B坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可；
(3)根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标以及函数的增减性得出答案．
本题考查一次函数与反比例函数的交点，一次函数、反比例函数与不等式的关系，掌握一次函数与反比例函数交点坐标的计算方法，理解一次函数、反比例函数与不等式的关系是正确解答的前提．
21.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD//OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵AE=4BE，OA=OB，
设BE=x，则AB=3x，
∴OC=OB=1.5x，
∴OE=2.5x，
∵OC⊥CD，
∴EC= OE2−OC2= (2.5x)2−(1.5x)2=2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF=90°，
∴∠AFG+∠FAG=90°，
∵AD//OC，
∴∠COE=∠DAB，
∵∠COE+∠E=90°，
∴∠E=∠AFH，
又∵∠FAH=∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE，
∵CEAE=2x4x=12，
∴FHAF=12．
【解析】(1)如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，等量代换得到∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD//OC，由平行线的性质即可得到结论；
(2)设BE=x，则AB=3x，根据平行线的性质得∠COE=∠DAB，证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解．
此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE．
(2)解：△FBG是等腰三角形．理由是：
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠ABE+∠EBC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EBC=∠EDC．
又∵∠ABE+∠FBG=90°，
∴∠FBG=∠EBC．
∵AB//CD，
∴∠FGB=∠EDC．
∴∠FBG=∠FGB．
∴△FBG是等腰三角形，并且FB=FG．
(3)解：过点F作FH⊥AB于H．
∵FB=FG，G为AB中点，
∴GH=12BG=14AB=14×4=1，
∴AH=AG+GH=12AB+1=12×4+1=3．
∵∠FHG=∠DAG=90°，∠FGH=∠DGA，
∴△FHG∽△DAG
∴FHDA=HGAG，即FH4=12，
∴FH=2．
∴AF= FH2+AH2= 22+32= 13．
【解析】(1)证明对应两三角形全等，从而证明两对应边相等；
(2)由正方形的性质及三角形全等，证明△FBG各角有何特点，从而证明是什么样的特殊三角形；
(3)由三角形相似和勾股定理求解．
本题主要考查了正方形的性质和三角形全等的判定及性质相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
23.【答案】−32 2
【解析】解：(1)在y=12x+2中，令x=0得y=2，令y=0得x=−4，
∴A(−4,0)，C(0,2)，
∵y=−12x2+bx+c经过A、C两点，
∴0=−12×16−4b+c2=c，
∴解得b=−32c=2，
故答案为：−32；2；
(2)①过D作DM//y轴交AC于点M，过B作BN//y轴交于AC于N，如图：
由(1)得抛物线的函数表达式为y=−12x2−32x+2，
令y=0，得−12x2−32x+2=0，
解得x1=−4，x2=1，
∴B(1,0)，
在y=12x+2中，令x=1得y=52，
∴N(1,52)，BN=52，
设D(m,−12m2−32m+2)，则M(m,12m+2)，
∴DM=−12m2−32m+2−(12m+2)=−12m2−2m，
∵DM//y轴，BN//y轴，
∴DM//BN，
∴∠EDM=∠EBN，∠EMD=∠ENB，
∴△EDM∽△EBN，
∴DEEB=DMBN，
∴DEEB=−12m2−2m52=−15(m+2)2+45，
∵−15<0，
∴当m=−2时，DEEB取最大值，最大值为45；
②存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，理由如下：
过D作DG//x轴，交y轴于R，交直线AC于G，如图：
∵DG//x轴，
∴∠BAC=∠DGC，
∵∠DCF=2∠BAC，
∴∠DCF=2∠DGC，
∵∠DCF=∠DGC+∠CDG，
∴∠DGC=∠CDG，
∴∠BAC=∠CDG，
∴tan∠BAC=tan∠CDG，即OCOA=CRDR，
设D(t,−12t2−32t+2)，
∴DR=−t，OR=−12t2−32t+2，
∵A(−4,0)，C(0,2)，
∴OA=4，OC=2，
∴CR=OR−OC=−12t2−32t，
∴24=−12t2−32t−t，
解得t=−2，
∴D(−2,3)．
(1)在y=12x+2中，可得A(−4,0)，C(0,2)，用待定系数法列方程组求解；
(2)①过D作DM//y轴交AC于点M，过B作BN//y轴交于AC于N，在y=−12x2−32x+2中，得B(1,0)，在y=12x+2中，得N(1,52)，BN=52，设D(m,−12m2−32m+2)，可得DM=−12m2−2m，证明△EDM∽△EBN，有DEEB=DMBN，即得DEEB=−12m2−2m52=−15(m+2)2+45，由二次函数性质可得DEEB的最大值为45；
②过D作DG//x轴，交y轴于R，交直线AC于G，根据DG//x轴，∠DCF=2∠BAC，可得∠BAC=∠CDG，有tan∠BAC=tan∠CDG，即OCOA=CRDR，设D(t,−12t2−32t+2)，则24=−12t2−32t−t，即可解得D(−2,3)．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
2023年广东省阳江市阳春市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法中，正确的是( )
A. 2与−2互为倒数 B. 2与12互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是−2
2. 我们虽然把地球称为“水球”，但可利用淡水资源匮乏．我国淡水总量仅约为899000亿米 3，用科学记数法表示这个数为( )
A. 0.899×104亿米 3 B. 8.99×105亿米 3
C. 8.99×104亿米 3 D. 89.9×104亿米 3
3. 若∠A=40°，则∠A的余角的大小是( )
A. 50° B. 60° C. 140° D. 160°
4. 在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是( )
A. 15 B. 13 C. 25 D. 35
5. 下列命题是真命题的是( )
A. a2=a B. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
C. 等弧所对的圆周角相等 D. 正多边形都是中心对称图形
6. 在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，则a+b的值为( )
A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
7. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为( )
A. (17+19)x=1 B. (17−19)x=1 C. (9−7)x=1 D. (9+7)x=1
8. 若一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是( )
A. 2 B. 32 C. −12 D. −4
9. 已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x1，x2，若x1=−1，则a−x12−x22的值为( )
A. 7 B. −7 C. 6 D. −6
10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：(3.14−π)0−tan45°= ______ ．
12. 分解因式：3m2−12=______．
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB=5m，BC=3m，那么CD+DE的长是______m.
14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx(k≠0)经过AC边的中点D，若BC=2 2，则k= ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2x−5<0①1−2x−43≤5−x2②．
17. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线．
(1)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接BE，若∠DBE=20°，求∠AEB的度数．
18. (本小题8.0分)
某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为______，“合格”人数的百分比为______；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为______；
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为______．
19. (本小题9.0分)
遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13.设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
20. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=kx(k≠0)交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E.过点A作AD⊥y轴于点D，连接DC.已知点B的纵坐标为1，且S△ADC=2．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△AMB的面积是△ADC面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请结合图形，直接写出不等式x+b−kx≥0的解集．
21. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE=4BE，求FHAF的值．
22. (本小题12.0分)
如图，已知E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接BE，DE，F是DE延长线上一点，FB⊥BE于点B，EF交AB于点G．
(1)求证：BE=DE；
(2)判断△FBG的形状并说明理由；
(3)若G为AB的中点，且AB=4，求AF的长．
23. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)填空：b= ______ ，c= ______ ；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2与−2互为相反数，故此选项不符合题意；
B、2与12互为倒数，故此选项不符合题意；
C、0的相反数是0，故此选项符合题意；
D、2的绝对值是2，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据相反数、倒数、绝对值的定义分别进行判断即可．
此题考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握：只有符号不同的两个数叫互为相反数，0的相反数是0；乘积是1的两个数叫互为倒数，0没有倒数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：899000亿米 3=8.99×105亿米 3，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：∵∠A=40°，
∴∠A的余角为：90°−40°=50°，
故选：A．
根据互余两角之和为90°计算即可．
本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．
4.【答案】D
【解析】解：随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，
∴随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为35，
故选：D．
随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5.【答案】B
【解析】解：∵ a2=±a，
∴选项A不符合题意；
∵三角形的内心到三角形三边的距离相等，
∴选项B符合题意；
∵在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，
∴选项C不符合题意；
∵边长为偶数的正多边形是中心对称图形，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
根据二次根式的性质与化简方法，角平分线的性质和应用，圆周角定理和应用，三角形的内切圆与内心的性质和应用，以及中心对称图形的特征和判断方法，逐项判断即可．
此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解答此题的关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】C
【解析】解：∵点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，
∴a=2，b=−1，
∴a+b=1，
故选：C．
由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．
本题考查了中心对称，关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．
7.【答案】A
【解析】解：设经过x天相遇，
根据题意得：17x+19x=1，
∴(17+19)x=1，
故选：A．
设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k+3<0，
解得k<−3．
所以k的值可以是−4，
故选：D．
根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可．
本题考查了一次函数的性质，在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−a，
∵x1=−1，
∴x2=3，x1⋅x2=−3=−a，
∴a=3，
∴原式=3−(−1)2−32
=3−1−9
=−7．
故选：B．
根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．
本题考查了根与系数的关系，掌握x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为3 3，
∴△ABD的面积= 34a2=3 3，
解得：a=2 3，
故选：B．
根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3 3解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
11.【答案】0
【解析】解：原式=1−1
=0．
故答案为：0．
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】3(m+2)(m−2)
【解析】解：3m2−12，
=3(m2−4)，
=3(m+2)(m−2)．
故答案为：3(m+2)(m−2)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】4
【解析】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵BC=3m，
∴DE=1.5m，
∵∠ACB=90°，
∴CD=12AB，
∵AB=5m，
∴CD=2.5m，
∴CD+DE=2.5+1.5=4(m)，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD的长，进一步即可求出CD+DE的长．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
14.【答案】−32
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE=BE，
∴AE=12BC= 2，
∴A(0, 2)，C(− 2,2 2)，
∵D是AC的中点，
∴D(− 22,3 22)，
∴k=− 22×3 22=−32．
故答案为：−32．
如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE= 2，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15.【答案】5+ 37
【解析】解：如图，在DC上截取DT，使得DT=DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADT=90°，
∵∠AHT=90°，
∴四边形AHTD是矩形，
∵AE=DE=12AD=3.AF=FB=12AB=4，
∴AH=DT=3，HF=AF−AH=4−3=1，HT=AD=6，
∴FT= FH2+TH2= 12+62= 37，
∵DG平分∠ADC，DE=DT，
∴E、T关于DG对称，
∴PE=PT，
∴PE+PF=PF+PT≥FT= 37，
∵EF= AE2+AF2= 32+42=5，
∴△EFP的周长的最小值为5+ 37，
故答案为：5+ 37．
如图，在DC上截取DT，使得DT=DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H.利用勾股定理求出FT= 37，EF=5，证明PE+PF=PF+PT≥FT，可得结论．
本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：解不等式①，得：x<2.5，
解不等式②，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x<2.5．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，
(2)如图3，
∵EF垂直平分BD，∠DBE=20°，
∴EB=ED，
∴∠DBE=∠BDE=20°，
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB=∠DBE+∠BDE=20°+20°=40°．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
(2)由垂直平分线的性质得出EB=ED，进而得出∠DBE=∠BDE=25°，再由三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数．
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义与性质是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)50，40%；
(2)补全图形如下：
(3)115.2°；
(4) 13
【解析】
【分析】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
(2)总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
(3)用360°乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)本次抽查的总人数为8÷16%=50(人)，
“合格”人数的百分比为1−(32%+16%+12%)=40%，
故答案为：50，40%；
(2)50−8−6−20=16(人)，
补全图形如下：
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为360°×32%=115.2°，
故答案为：115.2°；
(4)列表如下：
甲
乙
丙
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为26=13．
故答案为：13．
19.【答案】解：(1)设每台B型设备的价格为x万元，则每台A型号设备的价格为1.2x万元，
根据题意得，300001.2x=15000x+4，
解得：x=2500．
经检验，x=2500是原方程的解．
∴1.2x=3000，
∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．
(2)设购买a台A型设备，则购买(50−a)台B型设备，
∴w=3000a+2500(50−a)=500a+125000，
由实际意义可知，a≥050−a≥0a≥13(50−a)，
∴12.5≤a≤50且a为整数，
∵500>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=13时，w的最小值为500×13+125000=131500(元)．
∴w=500a+125000，且最少购买费用为131500元．
【解析】(1)设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．
(2)根据总费用=购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，连接OA，
∵AD//x轴，
∴S△ACD=2=S△OAD=12k|，
∵k>0，
∴k=4，
∴反比例函数的关系式为y=4x，
当y=1时，即1=4x，
解得x=4，
∴点B坐标为(4,1)，
∵点B(4,1)在一次函数y=x+b的图象上，
∴4+b=1，
即b=−3，
∴一次函数的关系式为y=x−3，
答：反比例函数的关系式为y=4x，一次函数的关系式为y=x−3；
(2)方程组y=x−3y=4x的解为x1=4y1=1，x2=−1y2=−4，
∵点B(4,1)，
∴点A(−1,−4)，
如图，设点M(0,m)，
直线AB与y轴的交点E的坐标为(0,−3)，
∴ME=|m+3|，
当△AMB的面积是△ADC面积的2倍时，
即S△MAE+S△MBE=2S△ADC，
∴12|m+3|×4+12|m+3|×1=2×2，
解得m=−75或m=−235，
∴点M(0,−75)或(0,−235)；
(3)由于一次函数y=x+b与反比例函数y=kx(k≠0)交点A(4,1)点B(−1,−4)，
∴不等式x+b−kx≥0的解集为x≥4或−1≤x<0．
【解析】(1)根据反比例函数系数k的几何意义可求出k的值，确定反比例函数关系式，进而求出点B坐标，代入确定一次函数关系式；
(2)求出点B坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可；
(3)根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标以及函数的增减性得出答案．
本题考查一次函数与反比例函数的交点，一次函数、反比例函数与不等式的关系，掌握一次函数与反比例函数交点坐标的计算方法，理解一次函数、反比例函数与不等式的关系是正确解答的前提．
21.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD//OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵AE=4BE，OA=OB，
设BE=x，则AB=3x，
∴OC=OB=1.5x，
∴OE=2.5x，
∵OC⊥CD，
∴EC= OE2−OC2= (2.5x)2−(1.5x)2=2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF=90°，
∴∠AFG+∠FAG=90°，
∵AD//OC，
∴∠COE=∠DAB，
∵∠COE+∠E=90°，
∴∠E=∠AFH，
又∵∠FAH=∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE，
∵CEAE=2x4x=12，
∴FHAF=12．
【解析】(1)如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，等量代换得到∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD//OC，由平行线的性质即可得到结论；
(2)设BE=x，则AB=3x，根据平行线的性质得∠COE=∠DAB，证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解．
此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE．
(2)解：△FBG是等腰三角形．理由是：
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠ABE+∠EBC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EBC=∠EDC．
又∵∠ABE+∠FBG=90°，
∴∠FBG=∠EBC．
∵AB//CD，
∴∠FGB=∠EDC．
∴∠FBG=∠FGB．
∴△FBG是等腰三角形，并且FB=FG．
(3)解：过点F作FH⊥AB于H．
∵FB=FG，G为AB中点，
∴GH=12BG=14AB=14×4=1，
∴AH=AG+GH=12AB+1=12×4+1=3．
∵∠FHG=∠DAG=90°，∠FGH=∠DGA，
∴△FHG∽△DAG
∴FHDA=HGAG，即FH4=12，
∴FH=2．
∴AF= FH2+AH2= 22+32= 13．
【解析】(1)证明对应两三角形全等，从而证明两对应边相等；
(2)由正方形的性质及三角形全等，证明△FBG各角有何特点，从而证明是什么样的特殊三角形；
(3)由三角形相似和勾股定理求解．
本题主要考查了正方形的性质和三角形全等的判定及性质相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
23.【答案】−32 2
【解析】解：(1)在y=12x+2中，令x=0得y=2，令y=0得x=−4，
∴A(−4,0)，C(0,2)，
∵y=−12x2+bx+c经过A、C两点，
∴0=−12×16−4b+c2=c，
∴解得b=−32c=2，
故答案为：−32；2；
(2)①过D作DM//y轴交AC于点M，过B作BN//y轴交于AC于N，如图：
由(1)得抛物线的函数表达式为y=−12x2−32x+2，
令y=0，得−12x2−32x+2=0，
解得x1=−4，x2=1，
∴B(1,0)，
在y=12x+2中，令x=1得y=52，
∴N(1,52)，BN=52，
设D(m,−12m2−32m+2)，则M(m,12m+2)，
∴DM=−12m2−32m+2−(12m+2)=−12m2−2m，
∵DM//y轴，BN//y轴，
∴DM//BN，
∴∠EDM=∠EBN，∠EMD=∠ENB，
∴△EDM∽△EBN，
∴DEEB=DMBN，
∴DEEB=−12m2−2m52=−15(m+2)2+45，
∵−15<0，
∴当m=−2时，DEEB取最大值，最大值为45；
②存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，理由如下：
过D作DG//x轴，交y轴于R，交直线AC于G，如图：
∵DG//x轴，
∴∠BAC=∠DGC，
∵∠DCF=2∠BAC，
∴∠DCF=2∠DGC，
∵∠DCF=∠DGC+∠CDG，
∴∠DGC=∠CDG，
∴∠BAC=∠CDG，
∴tan∠BAC=tan∠CDG，即OCOA=CRDR，
设D(t,−12t2−32t+2)，
∴DR=−t，OR=−12t2−32t+2，
∵A(−4,0)，C(0,2)，
∴OA=4，OC=2，
∴CR=OR−OC=−12t2−32t，
∴24=−12t2−32t−t，
解得t=−2，
∴D(−2,3)．
(1)在y=12x+2中，可得A(−4,0)，C(0,2)，用待定系数法列方程组求解；
(2)①过D作DM//y轴交AC于点M，过B作BN//y轴交于AC于N，在y=−12x2−32x+2中，得B(1,0)，在y=12x+2中，得N(1,52)，BN=52，设D(m,−12m2−32m+2)，可得DM=−12m2−2m，证明△EDM∽△EBN，有DEEB=DMBN，即得DEEB=−12m2−2m52=−15(m+2)2+45，由二次函数性质可得DEEB的最大值为45；
②过D作DG//x轴，交y轴于R，交直线AC于G，根据DG//x轴，∠DCF=2∠BAC，可得∠BAC=∠CDG，有tan∠BAC=tan∠CDG，即OCOA=CRDR，设D(t,−12t2−32t+2)，则24=−12t2−32t−t，即可解得D(−2,3)．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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