精品解析：江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为（ ）
A. 5B. C. D.
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点坐标为______．
8. 分解因式：=_________________________．
9. 如图所示，已知P是上的一点，，请再添加一个条件：___________，使得．
10. 已知：，则_____．
11. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______．

12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.
（1）计算：；
（2）如图，点在一条直线上，，．求证：．
14. 先化简，再求值：，其中．
15. 如图所示，顶点分别为，，．
（1）画出关于直线（平行于轴且该直线上的点的横坐标均为2）对称的图形，则，，的坐标分别为（________），（________），（________）；
（2）求的面积．
16. 如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
（1）【理解】根据上述规定，填空： ， ；
（2）【应用】若，试求之间的等量关系．
17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图．
（1）在图1中，作边上的中线；
（2）在图2中，作边上的高．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？

19. 如图，甲长方形的两边长分别为，面积为；乙长方形的两边长分别为．面积为（其中为正整数）．
（1）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；
（2）试比较与的大小．
20. 如图：已知等边中，是中点，是延长线上的一点，且，，垂足为．
（1）试问和有何数量关系？并证明之；
（2）求证：是的中点．
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21. 图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a-b）2， ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求m+n的值；
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=26，求图中阴影部分面积．
22. 课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．

生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______．
问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．
①填空：____________．
②若，求的度数．
结论猜想：（3）如图1，如果是直线上一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．

六、（本大题共12分）
23. 【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________．
【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长．