2023-2024学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的定义求出即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为“”.
故选：C.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案.
【详解】由，当时，则；当时，则；
因为，则可知，所以；
故“”是“”的必要不充分条件，故B项正确.
故选：B.
4．已知，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的定义求解即可.
【详解】由题意，函数，
则，
所以.
故选：A.
5．函数的图象是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数，根据一次函数的图象，即可判定，得到答案.
【详解】由题意，函数，
根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项C.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中正确化简函数的解析式，利用一次函数的图象判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及识图能力，属于基础题.
6．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），则菜地的最大面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设篱笆的宽为xm，则长为（16−2x）m，则菜地面积为S＝x（16−2x），进一步可利用基本不等式求出菜地的最大面积．
【详解】解：根据题意，设篱笆的宽为xm，则长为（16−2x）m，
所以菜地地面积为，
当且仅当2x＝16−2x，即x＝4时等号成立，
所以菜地的最大面积为32．
故选：C.
7．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由且不等于1，
由题意得，，解得.
故选：D.
8．设定义在R上的奇函数满足，对任意，且都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可求解.
【详解】因为对任意,且都有，
所以函数在上单调递减，
又是在R上的奇函数，则在上也单调递减，
由，则，
，
当时，，即解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为，
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数不是同一组函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】利用相等函数定义对选项进行判断得解.
【详解】A. 定义域为 ，定义域为 , 不是同一组函数
B. 定义域为,定义域为不是同一组函数
C. 定义域为,对应关系一致 , 是同一组函数
D. 定义域为定义域为,不是同一组函数
故选：ABD
【点睛】相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．的单调递增区间是
C．的最大值是4D．的单调递减区间是
【答案】ABC
【分析】根据给定函数逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】函数定义域为R，，是偶函数，A正确；
当时，在上单调递增，在上单调递减，由偶函数的性质知，
在上单调递增，在上单调递减，因此，的单调递增区间是，B正确；
因，则当，即时，，C正确；
显然的单调递减区间是，，不能写成，D不正确.
故选：ABC
11．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断.
【详解】A. 当时，满足，但，故错误；
B.若，则，故正确；
C. 因为，所以，则，故正确；
D. 当时，，故错误；
故选：BC
12．波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家.他在数学分析､微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．无最小值B．的最大值为C．D．
【答案】BCD
【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析即可判断每一个选项，在分析每一个选项时，要注意必须满足相应的条件.
【详解】对于A，若，或为无理数，则，
若（，为正整数，且为既约真分数），则，
所以的最小值为0，A错误；
对于B，因为为既约真分数，所以，，
又在上单调递减，
所以当时，的最大值为，既的最大值为，B正确；
对于C，①当或时，有成立，满足，
②当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足，
③当为内的有理数时，设（，为正整数，为既约真分数），则，所以，满足，
综上，对任意，都有，C正确；
对于D，①若与中至少一个为或或中的无理数时，则，而恒成立，满足，
②若与都为内的有理数时，设，（，，，为正整数，，为既约真分数），
所以，，又，
当能约分时，写成既约真分数分母小于，设为（即），则，
当不能约分时，，
综上，可知成立，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据被开方数不小于零，分母不为零列式计算即可.
【详解】由已知得，解得且
故函数定义域为.
故答案为：.
14．若“关于x的方程的解集是空集”为真命题，则k的值为 .
【答案】1
【分析】根据方程的解为增根即可求解.
【详解】关于x的方程的解集是空集，即此方程无解，由得，解得，只有当，即时，此方程无解.
故答案为：
15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求解析式的求法求解即可.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；
因为当时，；
当时，，，
又，所以当时，；
综上：．
故答案为：．
四、双空题
16．已知函数满足，当时，，且.则 ；当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】令x＝y＝0，可得f（0），再令x＝−1，y＝1，可得f（−1）；由单调性的定义，结合条件可判断f（x）的单调性，由等式f（x＋y）＝f（x）＋f（y）−1和f（x）的单调性，可得在x∈[1，2]上恒成立，讨论a＝0，a＞0，a＜0，结合二次函数的性质，可得所求范围．
【详解】解：令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）−1，得f（0）＝1，
令x＝−1，y＝1，得f（0）＝f（−1）＋f（1）−1＝f（−1）＋2−1，得f（−1）＝0；
令，所以，
所以，
因为，所以，所以，即有，
即f（x）在R上为增函数，
由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）−1，可得f（x）＋f（y）＝f（x＋y）＋1，
，即，即，
又f（0）＝1，所以，
又因为f（x）在R上为增函数，
所以在x∈[1，2]上恒成立，
所以在x∈[1，2]上恒成立，
又，
故答案为：0；（−∞，1）
五、解答题
17．已知全集U=R，集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若集合，当时，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合B和集合A的补集，再求，
（2）由已知可得集合或，则由题意可得从而可求出实数a的取值范围
【详解】（1）当时，集合，
而或，
所以或.
（2）由已知可得集合或，
由题意可得，
所以要满足，只需解得，
综上实数a的取值范围为.
18．已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10.
(1)求的值；
(2)设，证明：函数在上是增函数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数的对称轴，结合开口方向，得到函数在区间[−1，4]的最大值和最小值，从而求出的值．
（2）由（1）得，再函数单调性的定义证明即可．
【详解】（1）因为，二次函数的对称轴为，
所以在上为减函数，在上为增函数，
从而得，
解得；
（2）由（1）得，则，
设任意的且，则，
那么
，
因为，
所以，
所以，
所以是上的增函数.
19．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若时，不等式无解，求t的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件利用换元法计算作答.
(2)利用(1)的结论借助均值不等式求出的最小值即可作答.
【详解】（1）函数，设，则，
则，则，
所以函数的解析式.
（2）由(1)知，，当时，，当且仅当时取“=”，
因此，当时，，
若时，不等式无解，即恒成立，则有，
所以t的取值范围为.
20．设函数.
(1)若关于x的不等式在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分与两种情况，然后分别解不等式；
（2）先整理化简不等式，再分类讨论即可.
【详解】（1）由题意可得，关于x的不等式在实数集R上恒成立，
当时，，所以恒成立；
当，因为不等式在实数集R上恒成立，
所以,
解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
（2）因为，
当时，
由，得，
所以，
若时，则不等式变为，可得；
若时，则不等式可变为，
当时，即，可得；
当时，即，显然不成立，解集为；
当时，即，可得，
综上所述：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.l
21．经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足
(1)求该商场的日收入（千元）与时间t（天）的函数关系式；
(2)求该商场日收入的最小值（千元）.
【答案】(1)
(2)最小值为（千元）
【分析】（1）根据商场日顾客人数和人均消费可得日收入；
（2）根据日收入的函数关系式分别求最小值后再比较即可.
【详解】（1）由题可得，该商场日收入的函数关系式为
所以
（2）由（1）可得
①当时，，当且仅当，即时取等号，
②当，当且仅当，即时取最小值为，
综合①②可得，该商场的日收入的最小值为（千元）.
22．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围；
(3)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，得到，再利用不动点的定义求解；
（2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解；
（3）由题意得到，进而得到，利用对勾函数的性质求解.
【详解】（1）解：当时，，
设为不动点，因此，
解得或，
所以为函数的不动点.
（2）因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以且恒成立.
即对于任意恒成立.
令，
则，
解得.
（3）因为，
所以，
设，因为，所以，
由P函数性质得在上单调递增，
所以，
所以，
所以.