2023-2024学年内蒙古呼和浩特市内蒙古师大附中高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古呼和浩特市内蒙古师大附中高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据并集的运算法则计算得到答案.
【详解】集合，，则.
故选：D.
2．已知：，：，则（ ）
A．是的充分条件但不是必要条件B．是的必要条件但不是充分条件
C．是的充要条件D．不是的充分条件也不是必要条件
【答案】B
【分析】利用集合间的关系理解充分、必要条件.
【详解】设，则A，
故是的必要条件但不是充分条件.
故选：B.
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】由同一函数的定义域和对应法则都相同，依次判断各项即可.
【详解】A：和的定义域和对应法则都相同，符合；
B：定义域为R，定义域为，不符合；
C：定义域为，定义域为R，不符合；
D：定义域为R，定义域为，不符合.
故选：A
4．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将分式不等式转化为整式不等式,再解一元二次不等式组可得.
【详解】由原不等式得，所以 ,
解得，即原不等式的解集为.
故选：D.
5．在下列图像表示的函数中，既是奇函数又是增函数的可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数和增函数的图像特点来判断即可.
【详解】A.图像没有关于原点成中心对称，不是奇函数，排除；
B.图像没有关于原点成中心对称，不是奇函数，排除；
C.图像在定义域上不是增函数，排除；
D.图像即关于原点成中心对称，是奇函数，又在定义域上是增函数，符合.
故选：D
6．已知函数则（ ）
A．B．1C．2D．5
【答案】C
【分析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果.
【详解】，
故选：C
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【分析】由题设，且，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为1.
故选：B
8．若定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知有偶函数在上递减，在上递增，且，结合不等关系有即可求解集.
【详解】由题设，偶函数在上递减，在上递增，且，
由，则，
所以解集为.
故选：D
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用不等式的性质判断，对于B，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断，对于D，举例判断.
【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：AC
10．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】集合为偶数集，集合为奇数集，逐个分析选项即可得到答案.
【详解】集合为偶数集，集合为奇数集，集合与集合的交集为空集，故选项A错误；集合与集合的并集为整数集，故选项B与选项C正确；由于，集合B是集合B的子集，不是真子集，故选项D错误.
故选：BC.
11．下列结论中不正确的是（ ）
A．，是偶函数
B．，：是从集合到集合的函数
C．当时，的最小值为5
D．的最小值为2
【答案】ABD
【分析】A由偶函数定义判断；B由，则判断；C、D利用基本不等式求最小值，注意取值条件即可判断.
【详解】A：由于定义域不关于原点对称，故不为偶函数，错；
B：对于，则，错；
C：由，则，
当且仅当时等号成立，即函数最小值为5，对；
D：，当且仅当时等号成立，
而，故等号不成立，目标式最小值不为2，错.
故选：ABD
12．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．若函数有三个零点，1，，且，则
B．当时，函数为奇函数
C．若函数的图象关于中心对称且，则只有一个零点，且
D．当函数为奇函数时，有三个零点
【答案】AC
【分析】A将已知零点代入求得，进而得即可判断；B令，结合奇函数的性质判断；C由得，进而有，根据图象判断；D由奇函数性质可得，有，分析情况下的零点情况即可.
【详解】A：由题设，又，，
所以，对；
B：由，若，则，而，
此时不为奇函数，错；
C：由题设，且，
所以，可得，
所以，令，
由图象如下，
由图知：，对.
D：由题设，
所以，可得，
所以，显然时只有一个零点，错.
故选：AC
三、填空题
13．函数f(x)=的定义域为
【答案】(2，3)∪(3，+∞)．
【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，无意义即可列出不等式组求出定义域．
【详解】函数f(x)=中，解得x>2且x≠3；
所以f(x)的定义域为(2，3)∪(3，+∞)．
故答案为：(2，3)∪(3，+∞)．
14．写出命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定： .
【答案】存在矩形不是平行四边形
【分析】由全称命题的否定：所有、任意改存在并否定原结论，即可写出否定形式.
【详解】由题设知：原命题为全称命题，其否定为特称命题，
所以，其否定为：存在矩形不是平行四边形.
故答案为：存在矩形不是平行四边形
四、双空题
15．已知，则 ， ．
【答案】
【分析】利用换元法计算可得.
【详解】因为，令，则，，
所以，
所以，
故答案为：，
五、填空题
16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题设，结合二次函数性质确定开口和对称轴，讨论、，应用复合函数单调性判断的增区间，结合已知求参数范围.
【详解】由题设，对于，开口向上且对称轴为，
而对于在定义域上递增，
当，则定义域为，故在 上递减，在上递增，
此时在上递增，结合题设递增区间，有，显然恒成立；
当，则定义域为，故在 上递减，在上递增，
此时在上递增，结合题设递增区间，有，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
六、解答题
17．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围；
（2）若命题“，”为假命题，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由集合包含关系有且，即可求参数范围；
（2）由题意“，”为真命题，进而有，即可求参数范围.
【详解】（1）由，，则，
即且，故，解得，
故实数的取值范围为.
（2）命题“，”为假命题，
命题的否定“，”为真命题，
，即，解得，
实数的取值范围是.
18．（1）已知，，都是正实数，求证：;
（2）解不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）应用基本不等式证明不等关系即可；
（2）应用分类讨论求绝对值不等式的解集即可.
【详解】（1）因为，，都是正实数，
所以，，，
所以，当且仅当时等号成立．
（2）对于不等式：
有，
或无解，
或，
故原不等式的解集为.
19．（1）已知函数的定义域为，值域为，设，求的定义域和值域；
（2）已知函数是定义在上的减函数，若，求的取值范围．
【答案】（1）定义域为，值域为；（2）.
【分析】（1）根据已知有，即可确定的定义域，结合确定值域；
（2）由函数的定义域及单调性列不等式组求范围.
【详解】（1）因为的定义域为，
所以中，有，即，
所以的定义域为，
令，可知，则与的值域相同，
而的值域为，所以的值域为.
（2）是定义在上的减函数，，
所以，可得，解得.
故的取值范围是
20．（1）证明函数在上是增函数;
（2）如果关于的方程的两根分别在区间和内，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）法1：利用函数单调性定义证明；法2：根据定义域判断的符号即可证；
（2）令，结合二次函数性质及零点所在区间列不等式组求参数范围.
【详解】（1）法1：任取，且，
那么，
而，，故，即
因此，在上是增函数；
法2：设，则，
当，时，，，从而，
故在上是增函数
（2）令，
由题意，函数的两个零点分别在区间和内，
所以有，即，可得.
所以的取值范围是.
21．（1）若函数是定义在上的奇函数，且，求函数的解析式；
（2）求函数，的最小值．
【答案】（1）；
（2）当时，函数的最小值为;
当时，函数的最小值为;
当时，函数的最小值为．
【分析】（1）由，，代入解析式，求出，，即可得出函数的解析式；
（2）由解析式可得函数图象是对称轴为且开口向上的抛物线，分
，，三种情况，根据函数在上的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为是奇函数且定义域为，
所以，即，
因为，所以，所以，
验证知，符合题意，所以；
（2）函数图象是对称轴为且开口向上的抛物线，
当，即时，函数在上单调递增，
函数的最小值为;
当，即时，
函数的最小值为;
当，即时，函数在上单调递减，
函数的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为;
当时，函数的最小值为;
当时，函数的最小值为．
22．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)，
(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；
（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案.
【详解】（1）由题意可得
当时，所以
解得
所以
（2）当时，，其对称轴为
所以当时取得最大值万元
当时，万元
当且仅当即时等号成立
因为
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．