2023-2024学年江苏省常熟市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省常熟市高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知实数集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集与补集的概念求解.
【详解】，则，
又，则.
故选：A.
2．已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接计算出所有函数值即可.
【详解】因为，
所以函数的值域为.
故选：D
3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出解析式，逐项判断即可.
【详解】因为，
对于A选项，，定义域为：，为非奇非偶函数；
对于B选项，，定义域为：，为非奇非偶函数；
对于C选项，，为非奇非偶函数；
对于D选项，，为奇函数；
故选：D.
4．已知是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
，即，等价于，
又在上单调递增，且，
可得时，，时，，
结合奇函数图像对称性有，时，，时，，
所以不等式的解集为.
故选：B.
5．“”是“，为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立求出m的范围，然后可得.
【详解】由“，为真命题”得，解得，
因为必有，反之不成立，
所以“”是“，为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出函数的图象，由图象分析即可求解.
【详解】绘制出函数的图象，
因为在上单调递增，由图可知在上单调递增.
所以实数的取值范围是：.
故选：D.
7．设，，为实数，且，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法判断A，利用特殊值判断B，根据不等式的性质判断C、D.
【详解】对于A：，
因为，，所以，，所以，
即，故A正确；
对于B：当、、时，故B错误；
对于C：因为，，所以，所以，故C错误；
对于D：因为，，所以，所以，所以，故D错误；
故选：A
8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知函数，则曲线的“优美点”的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】求的函数关于原点对称的函数解析式，通过函数图像可得交点个数，即可得到结论．
【详解】若时，，其关于原点对称的函数是，，
在同一坐标系中作出，和的图像，如图，
图像共有4个交点，故函数的 “优美点”共有4个.
故选：C.
二、多选题
9．函数满足：对于定义域内的任意两个实数，都有成立，则称其为函数．下列函数为函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据函数定义直接比较和的大小关系可判断AB；取特值验证可排除CD.
【详解】A选项：因为，，
所以恒成立，故其为函数，A正确；
B选项：因为，，
所以，
又，所以，
即，
即，故为函数，B正确；
C选项：取，则，
，
此时，，故不是函数，C错误；
D选项：取，则，
，
此时，，故不是函数，D错误.
故选：AB
10．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为8
C．的最大值为D．的最大值为2
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合基本不等式求解判断.
【详解】∵，，且，
∴由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
∵，，且，∴，，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
11．已知函数，以下说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．函数的值域为
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】A.利用奇偶性的定义判断；B.由且时求解判断；CD.作出函数的图象判断.
【详解】A.的定义域为，且，所以是偶函数，故A正确；
B. 当且时，，又所以是偶函数，所以函数的值域为，故B正确；
C. 作出函数的图象如图所示：
由图象知：在上单调递增，在上单调递减，故C,D错误；
故选：AB
12．设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由两个等式可得函数周期，根据周期结合求出a，然后利用赋值法可得b，再利用周期即可求出.
【详解】因为，
所以，即，
又
所以，所以，A正确；
因为，
所以，B正确；
在中，令，得，
即，解得，C正确；
，D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．“”的否定是 ．
【答案】
【分析】根据全称量词命题的否定形式可得.
【详解】由全称量词命题的否定形式可知，
“”的否定为“”.
故答案为：
14．已知，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，即可得解.
【详解】因为“”是“”的必要条件，
所以，所以.
故答案为：.
15．写出一个同时满足下列两个条件的函数 ．
①是上的偶函数；②在上有三个零点．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数图象的翻折变换，利用二次函数构造在上有三个零点的函数，然后利用平移变化得函数.
【详解】函数的零点为和1，
由翻折变换可知在上有三个零点，且为偶函数，
故记，
令，则，
所以，即.
故答案为：（答案不唯一）
四、双空题
16．已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，．则不等式的解集为 ；当时，的最大值为 ．
【答案】 /0.25
【分析】先把该分式不等式化为整式不等式，再利用一元二次不等式的解法和高斯函数的定义即可得出结果；按照的取值分类讨论，当时，；当时，利用基本不等式可得出，即得出答案.
【详解】因为，所以，解得.
又因为函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，
所以.
故不等式的解集为.
当时，，此时；
当时，，此时，当且仅当时等号成立.
综上可得当时，的最大值为.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知全集为，集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)在下列条件中任选一个，补充在下面问题中作答．
①；②；③．
若__________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得.
（2）选择条件①②③，利用集合的包含关系，求出的取值范围.
【详解】（1）解不等式，得，即，则，
解不等式，得，即有，则，
所以．
（2）选①，由，得，若，即时，，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是．
选②，由，得，若，即时，，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是．
选③，由（1）知，则，若，即时，，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是．
18．已知定义在上的幂函数．
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用幂函数的定义求解；
（2）分类讨论解不等式即可.
【详解】（1）由题意得，解得或，
当时，，不符合定义域为，舍；
当时，，定义域为，符合．
所以．
（2）不等式可化为，即，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
19．已知，，．命题，，使成立；命题对任意，，不等式恒成立．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题同时为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用已知条件，结合基本不等式及一元二次不等式的解法求出的最小值，即可得解；
（2）命题为真命题时，由，知恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而得的范围，结合（1）可得答案.
【详解】（1）因，，由，即，
解之得或，又，，
则，当时等号成立，所以的最小值为，
从而当命题是真命题时，．
（2）命题为真命题时，由，知恒成立，
又，，，知，
所以，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为9，从而当命题是真命题时，．
当命题和命题同时为真命题时，实数的取值范围是．
20．已知函数是定义域上的奇函数，．
(1)求的解析式；
(2)判断并证明函数在上的单调性；
(3)若函数，若对，，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)．
【分析】（1）由奇函数定义结合列式运算可得解；
（2）由函数单调性定义可证明；
（3）由题意转化为，令，可令，利用二次函数讨论求最值可得解.
【详解】（1）因为是奇函数，所以，可得，
所以，所以，
又，所以，
所以．
（2）函数在上单调递增．
设，则，
因为，，，，
可得，
所以，
从而函数在上单调递增．
（3）由题得，，
对，，都有，只需要，
令，则在单调递增，所以，则，
对称轴，当时，由的单调性可得，
，得，故；
当时，，
得，故；
当时，，
得，故；
当时，，
得，故；
综上：实数的取值范围是．
21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车．这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略．中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据利润收入－总成本，结合题设即可求得答案；
（2）当时结合二次函数性质求出此时利润最大值；当时，讨论和两种情况，结合对勾函数性质，求出此时利润最大值，综合比较可得答案.
【详解】（1）由题知：利润收入－总成本，
所以利润，
故2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为．
（2）当时，，
又因为，故当时，；
当时，若，则，
当且仅当，即时取得等号，；
此时时，万元．
若，则在上单调递减，
所以当时，．
又在上单调递减，
所以，
此时，当时，，
综上所述，若，当产量为60（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2380万元；
若，当产量为（百辆）时，取得最大利润，最大利润为万元．
22．已知函数．
(1)当时，求的值；
(2)若函数的图象与直线有三个不同的交点，直接写出实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设三个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)5
(2)
(3)．
【分析】（1）根据分段函数求值直接代入即可.（2）根据图象分类讨论即得.（3）根据函数的单调性求最值，再结合恒成立条件即得.
【详解】（1）当时，，所以；
（2）当，即时，，故；
当，即时，，故；
当，即时，无解．
当，即时，，故无解．
综上：实数的取值范围是
（3）由题知是的较小根，，是方程的根，
所以，，令，
设，在上单调递减，
所以时，，从而实数的取值范围．