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2023-2024学年江苏省苏州中学高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州中学高一上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的定义域，再结合并集概念即可求解.
【详解】，所以.
故选：A
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：B
3．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的意思和不等式的性质可得答案.
【详解】只有当同号时才有，故错，
，故B错，
推不出显然错误，
，而反之不成立，故D满足题意，
故选：D.
4．设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性求函数值.
【详解】∵函数为奇函数，
∴，
当时，
∴，
故选：D.
5．已知一个幂函数的图像经过点，则该幂函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件求得幂函数的解析式，再由幂函数的单调性以及奇偶性即可得到结果.
【详解】设幂函数为，由幂函数的图像经过点，可得，
解得，所以，则其定义域为，
因为，则函数为偶函数，故AB错误；
又因为，，则当时，单调递减，故C错误，D正确；
故选：D
6．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，
所以在上单调递减，且，
作出简图，如图所示，
当时，由得，即，
当时，由得，即，
当时，不合题意，
所以满足不等式的的取值范围是，
故选：C．
7．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】由题意可得，即，所以不等式可化为，，且和是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可．
【详解】函数的值域为，
，，
不等式可化为，
不等式的解集为，
和是方程的两个根，设，，
，，
又，
，解得．
故选：D．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可得，再结合单调性的定义可知在定义域在上单调递增，对不等式整理可得，结合单调性分析求解.
【详解】因为，
令，则，
令，则，
令，且，则，
整理得，
因为，则，可得，
所以，即，
可知在定义域在上单调递增，
又因为，即，
可得，即，
结合在定义域在上单调递增，可得，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：B.
二、多选题
9．已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的概念逐一判断即可.
【详解】A，集合中在集合中没有对应元素，故A不选.
B，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故B可选；
C，集合中、在集合中没有对应元素，故C不选.
D，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故D可选；
故选：BD
10．下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
【答案】CD
【分析】根据题意，由基本不等式的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，故A错误；
当时，，故B错误；
因为，当且仅当时，即时，等号成立，故C正确；
因为，令，所以
由双勾函数的性质可得，且在为增函数，
所以当时，有最小值，最小值为，故D正确；
故选：CD
11．图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
【答案】ABD
【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.
【详解】A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；
B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；
C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；
D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.
故选：ABD
12．已知函数，给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．存在，使得为偶函数
B．若，则的图象关于对称
C．若，则在区间上单调递增
D．若，则函数的图像与轴有四个交点
【答案】ACD
【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到A正确；B选项，可举出反例；C选项，由根的判别式得到恒成立，故，得到单调性；D选项，画出的图象，转化为与，的交点个数问题，数形结合得到答案.
【详解】A选项，当时，，定义域为R，
则，故为偶函数，A正确；
B选项，，，
若，即，不妨设，则，
此时，满足，
但的图象不关于对称，B错误；
C选项，设，若，即，
故恒成立，故，
对称轴为，故在区间上单调递增，C正确；
D选项，若，则中，
函数最值为，画出的图象，如下：
则画出的图像，如下：
函数的图像与轴的交点个数，即为与，的交点个数，
显然有四个交点，故与轴有四个交点，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域用区间表示是 ．
【答案】
【分析】直接由解析式求得范围，表示为区间即可．
【详解】由解析式得，，解得，
所以的定义域为，
故答案为：．
14．已知函数.若恒成立，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，代入计算即可求解.
【详解】函数，由，
得，化简整理得，解得.
故答案为：
15．已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，解得，
故实数的取值范围是
故答案为：
16．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知得出，根据，利用基本不等式求解即可．
【详解】由得，，
则，
当且仅当，即 时，等号成立，
故答案为：．
四、解答题
17．设，，，．
(1)分别求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先化简集合，再利用集合间的基本运算求解即可.
（2）由，可得，然后根据不等式的范围即可得出结果.
【详解】（1），，
又由，得且，
，；
因，
.
（2），，
又，，
，解得，
所以实数的取值范围为.
18．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若不等式的解集中恰有五个整数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据二次函数解析式即可求得的值域；
（2）根据二次函数的对称性，由等式的解集中恰有五个整数，则这五个整数必为，数形结合得出，解不等式组即可．
【详解】（1）当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，最大值为，
故函数值域为．
（2）在上单调递减，在上单调递增，
根据二次函数图像的对称轴性，若的解集中整数解恰有五个，
则这五个整数必为，
所以存在一个零点，
所以，即 解得，
故实数．
19．某单位打算投资研发生产两种文创产品.经过调查，投资A产品的年收益与投资额成正比，其关系如图①，投资B产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②.（注:收益与投资额单位:万元）.
(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
(2)该单位现有100万元资金，全部用于两种产品的研发投资，问:怎样分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元?
【答案】(1)，
(2)投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元
【分析】（1）设出所求解析式，根据图象把点分别代入解析式即可得解；
（2）写出收益的表达式，换元后利用二次函数求解即可.
【详解】（1）由题意，设，
，
，
（2）设投资产品万元，则投资产品为万元.
那么，总收益，
令，则，
所以当，即万元时，收益最大，万元.
答：投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元.
20．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义可证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故；
（2）解：函数在上为增函数.证明如下：
在任取且，
则，
因为，
所以，即，
所以在上为增函数.
（3）解：因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以 ，解得
所以关于的不等式解集为.
21．已知，，都是正数.
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可；
（2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）方法一:，且，，都是正数，
，当且仅当时取等号，
故.
方法二：，且，，都是正数，
所以
，当且仅当时取等号，
故.
（2）方法一:、都是正数，
当且仅当时取等号，
又，，所以，当且仅当时取等号，
，
，即，
，.
令，其中，
因为在上单调递减，
所以，所以的最小值为.
方法二:因为
都是正数，
，当且仅当，即时取等号，
又，
，当且仅当时取等号，
令，下面即要讨论函数，的最小值；
首先，讨论函数在上的单调性，
对，
有.
函数在上单调递减.
当，即时，取得最小值.
，当且仅当时取等号.
22．设函数.
(1)当，时，解方程；
(2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，分情况讨论时与时不等式情况，可得参数范围；
（3）分情况讨论分段函数的单调性与最值情况，可得参数范围.
【详解】（1）当，时，，
所以，
即或，
解得或，
即或；
（2）当时，，
所以不等式在上恒成立，
即为不等式在上恒成立，
当时，不等式恒成立，即，
当时，不等式可转化为，
即在上恒成立，
又函数在上单调递增，
所以，
所以，解得，
即的取值范围为；
（3）在区间上有解，即方程在上有解，
设，
当时，在上单调递增，
所以，，
则当时，原方程有解，即；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调增；
①当，即时，，，
则当时，原方程有解，即；
②当，即时，，，
则当时，原方程有解，则；
③当时，，，，
当，即时，，
则当时，原方程有解，即；
当，即时，，
则当时，原方程有解，即；
综上所述：当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的定义域，再结合并集概念即可求解.
【详解】，所以.
故选：A
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：B
3．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的意思和不等式的性质可得答案.
【详解】只有当同号时才有，故错，
，故B错，
推不出显然错误，
，而反之不成立，故D满足题意，
故选：D.
4．设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性求函数值.
【详解】∵函数为奇函数，
∴，
当时，
∴，
故选：D.
5．已知一个幂函数的图像经过点，则该幂函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件求得幂函数的解析式，再由幂函数的单调性以及奇偶性即可得到结果.
【详解】设幂函数为，由幂函数的图像经过点，可得，
解得，所以，则其定义域为，
因为，则函数为偶函数，故AB错误；
又因为，，则当时，单调递减，故C错误，D正确；
故选：D
6．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，
所以在上单调递减，且，
作出简图，如图所示，
当时，由得，即，
当时，由得，即，
当时，不合题意，
所以满足不等式的的取值范围是，
故选：C．
7．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】由题意可得，即，所以不等式可化为，，且和是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可．
【详解】函数的值域为，
，，
不等式可化为，
不等式的解集为，
和是方程的两个根，设，，
，，
又，
，解得．
故选：D．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可得，再结合单调性的定义可知在定义域在上单调递增，对不等式整理可得，结合单调性分析求解.
【详解】因为，
令，则，
令，则，
令，且，则，
整理得，
因为，则，可得，
所以，即，
可知在定义域在上单调递增，
又因为，即，
可得，即，
结合在定义域在上单调递增，可得，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：B.
二、多选题
9．已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的概念逐一判断即可.
【详解】A，集合中在集合中没有对应元素，故A不选.
B，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故B可选；
C，集合中、在集合中没有对应元素，故C不选.
D，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故D可选；
故选：BD
10．下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
【答案】CD
【分析】根据题意，由基本不等式的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，故A错误；
当时，，故B错误；
因为，当且仅当时，即时，等号成立，故C正确；
因为，令，所以
由双勾函数的性质可得，且在为增函数，
所以当时，有最小值，最小值为，故D正确；
故选：CD
11．图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
【答案】ABD
【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.
【详解】A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；
B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；
C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；
D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.
故选：ABD
12．已知函数，给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．存在，使得为偶函数
B．若，则的图象关于对称
C．若，则在区间上单调递增
D．若，则函数的图像与轴有四个交点
【答案】ACD
【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到A正确；B选项，可举出反例；C选项，由根的判别式得到恒成立，故，得到单调性；D选项，画出的图象，转化为与，的交点个数问题，数形结合得到答案.
【详解】A选项，当时，，定义域为R，
则，故为偶函数，A正确；
B选项，，，
若，即，不妨设，则，
此时，满足，
但的图象不关于对称，B错误；
C选项，设，若，即，
故恒成立，故，
对称轴为，故在区间上单调递增，C正确；
D选项，若，则中，
函数最值为，画出的图象，如下：
则画出的图像，如下：
函数的图像与轴的交点个数，即为与，的交点个数，
显然有四个交点，故与轴有四个交点，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域用区间表示是 ．
【答案】
【分析】直接由解析式求得范围，表示为区间即可．
【详解】由解析式得，，解得，
所以的定义域为，
故答案为：．
14．已知函数.若恒成立，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，代入计算即可求解.
【详解】函数，由，
得，化简整理得，解得.
故答案为：
15．已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，解得，
故实数的取值范围是
故答案为：
16．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知得出，根据，利用基本不等式求解即可．
【详解】由得，，
则，
当且仅当，即 时，等号成立，
故答案为：．
四、解答题
17．设，，，．
(1)分别求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先化简集合，再利用集合间的基本运算求解即可.
（2）由，可得，然后根据不等式的范围即可得出结果.
【详解】（1），，
又由，得且，
，；
因，
.
（2），，
又，，
，解得，
所以实数的取值范围为.
18．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若不等式的解集中恰有五个整数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据二次函数解析式即可求得的值域；
（2）根据二次函数的对称性，由等式的解集中恰有五个整数，则这五个整数必为，数形结合得出，解不等式组即可．
【详解】（1）当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，最大值为，
故函数值域为．
（2）在上单调递减，在上单调递增，
根据二次函数图像的对称轴性，若的解集中整数解恰有五个，
则这五个整数必为，
所以存在一个零点，
所以，即 解得，
故实数．
19．某单位打算投资研发生产两种文创产品.经过调查，投资A产品的年收益与投资额成正比，其关系如图①，投资B产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②.（注:收益与投资额单位:万元）.
(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
(2)该单位现有100万元资金，全部用于两种产品的研发投资，问:怎样分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元?
【答案】(1)，
(2)投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元
【分析】（1）设出所求解析式，根据图象把点分别代入解析式即可得解；
（2）写出收益的表达式，换元后利用二次函数求解即可.
【详解】（1）由题意，设，
，
，
（2）设投资产品万元，则投资产品为万元.
那么，总收益，
令，则，
所以当，即万元时，收益最大，万元.
答：投资产品50万元，产品50万元时，获得最大收益15万元.
20．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义可证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故；
（2）解：函数在上为增函数.证明如下：
在任取且，
则，
因为，
所以，即，
所以在上为增函数.
（3）解：因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以 ，解得
所以关于的不等式解集为.
21．已知，，都是正数.
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可；
（2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）方法一:，且，，都是正数，
，当且仅当时取等号，
故.
方法二：，且，，都是正数，
所以
，当且仅当时取等号，
故.
（2）方法一:、都是正数，
当且仅当时取等号，
又，，所以，当且仅当时取等号，
，
，即，
，.
令，其中，
因为在上单调递减，
所以，所以的最小值为.
方法二:因为
都是正数，
，当且仅当，即时取等号，
又，
，当且仅当时取等号，
令，下面即要讨论函数，的最小值；
首先，讨论函数在上的单调性，
对，
有.
函数在上单调递减.
当，即时，取得最小值.
，当且仅当时取等号.
22．设函数.
(1)当，时，解方程；
(2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，分情况讨论时与时不等式情况，可得参数范围；
（3）分情况讨论分段函数的单调性与最值情况，可得参数范围.
【详解】（1）当，时，，
所以，
即或，
解得或，
即或；
（2）当时，，
所以不等式在上恒成立，
即为不等式在上恒成立，
当时，不等式恒成立，即，
当时，不等式可转化为，
即在上恒成立，
又函数在上单调递增，
所以，
所以，解得，
即的取值范围为；
（3）在区间上有解，即方程在上有解，
设，
当时，在上单调递增，
所以，，
则当时，原方程有解，即；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调增；
①当，即时，，，
则当时，原方程有解，即；
②当，即时，，，
则当时，原方程有解，则；
③当时，，，，
当，即时，，
则当时，原方程有解，即；
当，即时，，
则当时，原方程有解，即；
综上所述：当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为.
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