2023-2024学年江苏省淮安市高一上学期期中模拟数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市高一上学期期中模拟数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集含义即可得到答案.
【详解】根据交集含义得，
故选：A.
2．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可得到答案
【详解】解：，
，
当且仅当即时取等号，
故选：C
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算性质即可求解.
【详解】.
故选：B
4．设全集，集合，集合，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得或，进而计算出.
【详解】全集，集合，或，
且集合，.
故选D
【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题.
5．已知满足，且，，那么．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，可得，，∴，故选B.
6．若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围．
【详解】当原命题为真时，恒成立，即
由命题为假命题，则．
故选：A.
7．已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数的单调性，得到每段都是单调递减，并注意分界点处的取值，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得.
故选：A.
8．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必条件要是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法、充分必要条件运算分析判断即可得解.
【详解】解：由，得，解得：，
因此或或，又因表示不大于的最大整数，
于是得或或，所以．
那么，不等式成立的充分不必要条件，
即选出不等式的解集的一个非空真子集即可．
据此判断选项B选项满足要求．
故选：B.
二、多选题
9．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】AC
【解析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可．
【详解】解：由题意得，或，
若，即，
或，
检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
若，即，
或，
经验证或为满足条件的实数．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．
10．下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．命题：，均有，则的否定：，使得
C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件
D．设是两个数集，若，则，
【答案】ACD
【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.
【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，
所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；
对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ，
所以 “”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，
故选：ACD.
11．关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ）
A．不等式的解集可以为
B．不等式的解集可以为
C．不等式的解集可以为
D．不等式的解集可以为
【答案】BD
【分析】选项A先假设结论成立，再得到不等式为并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当，时，不等式恒成立，判断选项B正确；选项C当时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得，符合题意，判断选项D正确.
【详解】解：选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；
选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；
选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；
选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；
故选：BD
12．已知，，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．的最大值为2
D．
【答案】BD
【分析】根据题意，求得a，b的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AB；利用二次函数的性质可判断C；利用基本不等式“1”的代换可判断D.
【详解】，，，，
对于A，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，，，即，故C错误；
对于D，，当且仅当，即，时等号成立，，故D正确
故选：BD
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于零，零指数幂底数不为零，分式的分母不为零列不等式组得出解集即可.
【详解】由题：，解得：且且，
所以函数的定义域为：.
故答案为：
【点睛】此题考查求函数定义域，关键在于准确解出不等式组的解集，易错点在于漏掉特殊情况和端点取值，以及结果的书写形式必须是集合或区间.
14．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由命题的否定为真命题，结合一元二次不等式恒成立有，即可求得.
【详解】命题“，使得”是假命题，
则“，使得”是真命题，
则，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
15．已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】，即，整体代入即可求出的值.
【详解】由题：函数，，
所以，
.
故答案为：
【点睛】此题考查根据函数解析式求值，利用整体代入求值，可以结合奇偶性分析，也可依据指数幂的运算关系求值.
16．定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】首先将题意转化为或，再画出函数的图象，根据图象解不等式即可.
【详解】由题意得到与异号，故不等式可转化为或，
根据题意可作函数图象，如图所示：

由图象可得：当时，；当时，，
则不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题.
四、计算题
17．计算：
(1)求值：；
(2)．
【答案】(1)81
(2)
【分析】（1）根据指数式的运算直接计算即可；
（2）根据对数式的运算直接计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
五、解答题
18．（1）设集合，，，求实数a的值；
（2）若集合，，，求满足条件的实数x．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1），对于集合，分类：或，检验即可；
（2），即，对元素进行讨论求解.
【详解】（1），，显然，
当时，，此时，，
与题矛盾，舍去；
当时，，此时，，
符合题意，
所以.
（2），即，，，
根据集合中元素互异性：且
当，，即，，或，，均满足题意；
当时，解得或（舍去）
即，符合题意.
综上：满足条件的实数x为
【点睛】此题考查通过集合间的关系及元素与集合的关系求解参数的值，需要注意求值中应该保证集合中元素的互异性进行检验，避免出现不合题意情况.
19．设函数，
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）见解析 （2）
【详解】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为
时，解集为或；（2）由题意得：恒成立 恒成立
试题解析：（1） 时，不等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或
（2）由题意得：恒成立，

恒成立.
易知 ，
的取值范围为：
20．函数在区间[－1,1]上的最小值记为．
(1) 求的函数解析式；
(2) 求的最大值．
【答案】（1）g(a)＝（2）g(a)max＝3
【详解】(1)①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x＝<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x＝∈[－1，1]，则g(a)＝f＝3－；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x＝>1，则g(a)＝f(1)＝5－2a.
综上所述，g(a)＝
(2)①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1.
由①②③可得g(a)max＝3.
六、应用题
21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】（1）；
（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
【解析】（1）根据题意时，，求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解.
（2）由（1），利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，.
所以每件产品的销售价格为（元），
2018年的利润.
（2）当时，，
，当且仅当时等号成立.
，
当且仅当，即万元时，（万元）.
故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
七、解答题
22．已知是定义在上的奇函数．
求的解析式；
判断并证明的单调性；
解不等式：
【答案】（1）（2）函数在上为增函数．证明见解析（3）
【分析】（1）根据奇函数的性质，列出方程求出、的值，代入解析式；
（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论．
（3）根据函数的单调性即可得到关于的不等式组，解得即可．
【详解】解：是定义在上的奇函数，
，即．
又．
函数在上为增函数．
证明如下，任取，
为上的增函数．
，即，
，解得，
解集为：
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．
根据奇函数的性质，列出方程求出的值，代入解析式；
先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论
根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．