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2023-2024学年吉林省长春市朝阳区吉大附中实验学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年吉林省长春市朝阳区吉大附中实验学校高一上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
2．已知符号函数则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义判断可得答案.
【详解】若，则异号，所以，
故“”是“”的充要条件.
故选：A.
3．命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【解析】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
4．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质运算求解即可
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上是增函数，
则，所以，故实数的取值范围是；
故选：A．
5．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．
【详解】，且（a），
令，
解得，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
6．已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可．
【详解】∵命题P：为真命题，
∴，
又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，
∴，
∵命题：R，，为真命题，
∴，
∴或，
∵命题p，q都是真命题，
∴或，
故选：C．
7．若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将转化为，化简，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
8．设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】研究函数的单调性和对称性，根据函数性质把恒成立问题转化为，利用函数单调性求解最值即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以函数关于直线对称，当时，，
则函数在上单调递增，所以在上单调递减，
又不等式在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
因为函数在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，即.
故选：D
二、多选题
9．若，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误.
【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误；
对于B：因为，，所以，故B正确；
对于C：因为，，所以，故C正确；
对于D：当时，，而，所以，
当时，，所以，而，所以，
综上，故D正确；
故选：BCD
10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
11．已知，为正数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值2
【答案】BC
【分析】利用基本不等式逐项分析判断；
【详解】，且，
对于选项A：因为，
当且仅当，即时取等号，所以有最小值，
故A错误；
对于选项B：因为，
其对称轴为，所以当，时，取得最小值为，
故B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时，
等号成立，可得，有最大值，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
可得，所以ab有最大值，故D错误；
故选：BC.
12．已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是增函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，所以，
又因为，所以，
由得即，
因为在上是增函数，所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次方根下大于等于0及分母不为0列不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．若，，，则的取值范围为
【答案】
【分析】利用不等式的性质运算即可得解.
【详解】解：设，则，
解得：，，则，
而由，可得，
再由，可得，
所以，
即，可得.
故答案为：.
15．已知偶函数的定义域为，则 .
【答案】 6
【分析】根据偶函数的概念，偶函数的定义域关于原点对称，可得m的值，进而通过f(-x)=f(x)求得a的值，再求解.
【详解】由题意可得，且m>,解得m= -2(舍去)，或m=4
由f(-x)=f(x)得=，解得a=1
故=6
【点睛】本题考查了偶函数的概念的应用，函数是偶函数包含两方面含义：定义域关于原点对称，满足关系式f（-x）=f（x）.
16．已知函数，若且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论．
【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，
且，则，，
由得（负值舍去），因此，
，，，
，
所以时，取得最大值，时，取得最小值，
所以的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
17．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由根的判别式大于0，得到不等式，求出实数的取值集合；
（2）根据题意得到⫋，进而得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题，
则，解得或，
故实数的取值集合.
（2）∵“”是“”的充分不必要条件，
∴⫋，
又，
故，等号不能同时取得，解得，
故的取值范围为.
18．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函函数的奇偶性通过m∈Z，求出m旳值，写出函数的解析式；
（2）利用函数的性质和函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集.
【详解】（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m＝2；
函数的解析式为：.
（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，
又因为1﹣2x≠0，x+2≠0
所以，
所以不等式的解集为
【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性单调性，利用性质可求出不等式的解集.
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性，并用定义证明；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
【答案】(1)是偶函数，证明见解析
(2)在区间在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】（1）函数是偶函数.
证明如下：
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，即，
所以是定义域上的偶函数.
（2）函数在区间在上单调递减.
证明如下：
设，
则
．
因为，可得，
所以，即，
所以在区间上单调递减函数.
20．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元.
(1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
(2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元?
【答案】(1)
(2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元.
【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式；
（2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值.
【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得，
又因为，所以，
所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为
；
（2）当时，化简，
因为，所以，
由基本不等式可得，，
当且仅当，即时等号成立，所以，
此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元；
当时，为减函数，所以当时，有最大值为；
因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元.
21．定义：若存在正数a，b，当时，函数的值域为，则称为“保值函数”．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)当时，求的解析式．
(2)试问是否为“保值函数”？说明你的理由．
【答案】(1)
(2)为“保值函数”；理由见解析.
【分析】（1）当时，，计算，再由奇函数定义得出即可求解；
（2）当时，由函数解析式配方可分析最大值及对称轴，确定出，再由“保值函数”的定义，建立方程求解即可.
【详解】（1）当时，，
，
因为是定义在R上的奇函数，
所以，即．
（2）根据（1）得当时，，
则，，
因为在上是减函数，所以令，
由此得到是方程的两个根，
化简得，即，
即，解得或，
所以存在正数，，当时，的值域为．
故为“保值函数”．
22．已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在不等式中，令可求得的值；
（2）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（3）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：对任意，都有恒成立．
令，可得，所以
（2）解：由，知，得．
由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立．
则，即，又，故，
所以，，则，
因为对任意的恒成立，合乎题意.
综上所述，函数的解析式为
（3）解：由（2）可得，则函数在上连续.
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
②当时，在上单调递增，
所以．
综上，.
当时，恒成立，
即对恒成立，即，
易得函数在上单调递增，，所以，；
当时，恒成立，即恒成立，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
一、单选题
1．集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
2．已知符号函数则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义判断可得答案.
【详解】若，则异号，所以，
故“”是“”的充要条件.
故选：A.
3．命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【解析】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
4．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质运算求解即可
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上是增函数，
则，所以，故实数的取值范围是；
故选：A．
5．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．
【详解】，且（a），
令，
解得，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
6．已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可．
【详解】∵命题P：为真命题，
∴，
又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，
∴，
∵命题：R，，为真命题，
∴，
∴或，
∵命题p，q都是真命题，
∴或，
故选：C．
7．若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将转化为，化简，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
8．设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】研究函数的单调性和对称性，根据函数性质把恒成立问题转化为，利用函数单调性求解最值即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以函数关于直线对称，当时，，
则函数在上单调递增，所以在上单调递减，
又不等式在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
因为函数在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，即.
故选：D
二、多选题
9．若，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误.
【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误；
对于B：因为，，所以，故B正确；
对于C：因为，，所以，故C正确；
对于D：当时，，而，所以，
当时，，所以，而，所以，
综上，故D正确；
故选：BCD
10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
11．已知，为正数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值2
【答案】BC
【分析】利用基本不等式逐项分析判断；
【详解】，且，
对于选项A：因为，
当且仅当，即时取等号，所以有最小值，
故A错误；
对于选项B：因为，
其对称轴为，所以当，时，取得最小值为，
故B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时，
等号成立，可得，有最大值，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
可得，所以ab有最大值，故D错误；
故选：BC.
12．已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．
D．满足不等式的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是增函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，所以，
又因为，所以，
由得即，
因为在上是增函数，所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次方根下大于等于0及分母不为0列不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．若，，，则的取值范围为
【答案】
【分析】利用不等式的性质运算即可得解.
【详解】解：设，则，
解得：，，则，
而由，可得，
再由，可得，
所以，
即，可得.
故答案为：.
15．已知偶函数的定义域为，则 .
【答案】 6
【分析】根据偶函数的概念，偶函数的定义域关于原点对称，可得m的值，进而通过f(-x)=f(x)求得a的值，再求解.
【详解】由题意可得，且m>,解得m= -2(舍去)，或m=4
由f(-x)=f(x)得=，解得a=1
故=6
【点睛】本题考查了偶函数的概念的应用，函数是偶函数包含两方面含义：定义域关于原点对称，满足关系式f（-x）=f（x）.
16．已知函数，若且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论．
【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，
且，则，，
由得（负值舍去），因此，
，，，
，
所以时，取得最大值，时，取得最小值，
所以的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
17．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由根的判别式大于0，得到不等式，求出实数的取值集合；
（2）根据题意得到⫋，进而得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题，
则，解得或，
故实数的取值集合.
（2）∵“”是“”的充分不必要条件，
∴⫋，
又，
故，等号不能同时取得，解得，
故的取值范围为.
18．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函函数的奇偶性通过m∈Z，求出m旳值，写出函数的解析式；
（2）利用函数的性质和函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集.
【详解】（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m＝2；
函数的解析式为：.
（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，
又因为1﹣2x≠0，x+2≠0
所以，
所以不等式的解集为
【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性单调性，利用性质可求出不等式的解集.
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性，并用定义证明；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
【答案】(1)是偶函数，证明见解析
(2)在区间在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】（1）函数是偶函数.
证明如下：
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，即，
所以是定义域上的偶函数.
（2）函数在区间在上单调递减.
证明如下：
设，
则
．
因为，可得，
所以，即，
所以在区间上单调递减函数.
20．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元.
(1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
(2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元?
【答案】(1)
(2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元.
【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式；
（2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值.
【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得，
又因为，所以，
所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为
；
（2）当时，化简，
因为，所以，
由基本不等式可得，，
当且仅当，即时等号成立，所以，
此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元；
当时，为减函数，所以当时，有最大值为；
因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元.
21．定义：若存在正数a，b，当时，函数的值域为，则称为“保值函数”．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)当时，求的解析式．
(2)试问是否为“保值函数”？说明你的理由．
【答案】(1)
(2)为“保值函数”；理由见解析.
【分析】（1）当时，，计算，再由奇函数定义得出即可求解；
（2）当时，由函数解析式配方可分析最大值及对称轴，确定出，再由“保值函数”的定义，建立方程求解即可.
【详解】（1）当时，，
，
因为是定义在R上的奇函数，
所以，即．
（2）根据（1）得当时，，
则，，
因为在上是减函数，所以令，
由此得到是方程的两个根，
化简得，即，
即，解得或，
所以存在正数，，当时，的值域为．
故为“保值函数”．
22．已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在不等式中，令可求得的值；
（2）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（3）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：对任意，都有恒成立．
令，可得，所以
（2）解：由，知，得．
由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立．
则，即，又，故，
所以，，则，
因为对任意的恒成立，合乎题意.
综上所述，函数的解析式为
（3）解：由（2）可得，则函数在上连续.
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
②当时，在上单调递增，
所以．
综上，.
当时，恒成立，
即对恒成立，即，
易得函数在上单调递增，，所以，；
当时，恒成立，即恒成立，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
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