2024届河南省焦作市博爱县第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届河南省焦作市博爱县第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由命题q中的a的范围，再由是成立的必要不充分条件，得选项.
【详解】命题，，则，
所以，解得或，
又是成立的必要不充分条件，所以，
所以区间可以为，
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
2．设，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论．
【详解】解：∵，
函数是增函数，，∴，∴，且
又，即，
综上可得，，
故选：C.
3．已知，且，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简，由此得出正确结论.
【详解】有，得，，，由于，所以，故选A.
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.
4．已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，可得，即，则只要，求得即可的解.
【详解】解：由，得，又，所以，
若存在实数m，使得，则，
因为，所以，故.
故选：C．
5．已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称关系可知，，利用双曲线定义和向量数量积的定义可构造方程求得，由此化简，根据基本不等式取等条件可知，由双曲线离心率可求得结果.
【详解】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，
为中点，四边形为平行四边形，，；
设，，则
由得：，解得：；
在中，，
，
（当且仅当时取等号），
当取得最小值时，双曲线的离心率.
故选：D.
6．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A．1B．0
C．0或2D．0或1
【答案】D
【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；
此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.
故答案选D．
点睛：解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子．
7．如图，正六边形的边长为2，取正六边形各边的中点，，，，，，作第二个正六边形；然后再取正六边形各边的中点，，，，，，作第三个正六边形；依此方法一直继续下去……，则第2022个正六边形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图像，相邻两正六边形边之比为，故面积之比为，第n个正六边形的面积组成一个等比数列，求出通项公式即可得解.
【详解】由题知第n个正六边形的面积组成一个等比数列，
其中，，所以，
故，
故选：C.
8．已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，构造函数，利用导数法判断；由，构造函数，利用导数法判断.
【详解】解：，，，
则，令，
则在上递减，则，
所以在上递增，则，即，
则，令，
则在上递减，则，
所以在上递减，则，即，
故选：B
二、多选题
9．（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（ ）
A．B．﹣C．D．
【答案】ACD
【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围．
【详解】由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，
，，
则c的值可能为．
故选：ACD．
10．甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）
A．甲楼的高度为B．甲楼的高度为
C．乙楼的高度为D．乙楼的高度为
【答案】AC
【分析】根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.
【详解】
如图示，
在中，∠ABD=60°，BD=20m，
∴
在中，设，
由余弦定理得：，即
解得：
则乙楼的高度分别为.
故选：AC
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．
11．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)
【答案】AC
【分析】根据法向量的定义及向量的坐标表示、运算逐项分析即可判断.
【详解】∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，
∴B不正确；
C中, AC1⊥，AC1⊥，，AC1⊥面B1CD1且＝(1，1，1)，∴C正确，
D中，因＝(1，0，0)，∴·(0，1，1)＝0，又＝(0，1，1)，且(0，1，1)·(0，1，1)≠0，∴D不正确．
故选：AC
12．直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3πB．πC．D．
【答案】AB
【分析】设切点为，由题意可得，解得，由导数的几何意义可得，即，即可得出答案.
【详解】设切点为，∵直线恒过定点，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由导数的几何意义知，，
则，则，
所以，
∴当时，；当，，故A，B正确，C，D不正确.
故选：AB.
三、填空题
13．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为

【答案】
【分析】根据图象将函数写成分段函数，根据的坐标，求出两段解析式.
【详解】当时,直线段过点,
,∴此时方程为.
当时,直线段过点,,
∴此时方程为.即.
故答案为：
14．在平面直角坐标系xOy中，角θ是以O为顶点，Ox轴为始边，若角θ的终边过点，则的值等于 ．
【答案】/
【分析】由三角函数定义求出，，再根据两角和的正弦求得结果.
【详解】∵θ的终边过点，则，，
∴．
故答案为：.
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛.（精确到个位）

【答案】
【分析】由弧长和高可计算出米堆体积为立方尺，再根据提供数据换算单位即可得出结果.
【详解】根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为，
即，可得尺；
根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的为立方尺；
又1斛米的体积约为1.6立方尺，所以共斛.
故答案为：
16．在空间直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点，则 ．
【答案】
【分析】利用中点坐标公式及向量的线性运算的坐标表示，结合两点间的距离公式即可求解；
【详解】因为，，点为线段的中点，
所以,
所以,
所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）讨论在上的单调性.
【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；
（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.
【详解】（1）
，
则的最小正周期为，
当，即时，取得最大值为；
（2）当时，，
则当，即时，为增函数；
当时，即时，为减函数，
在单调递增，在单调递减.
【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.
18．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由与的关系式即可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由等差数列的前n项和公式求出，再由裂项相消法可证明，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）∵，∴
当时，，解得.
当时，，
即，
∵，∴，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴.
（2）因为，所以
∴当时， ，
∴
，
∴，
∴实数的取值范围为.
19．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，是侧面上一点．
(1)过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并证明；
(2)设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)答案和证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理分别在几何体表面作出与平行的直线即可求解；
（2）根据表示出点的坐标，再求出平面的法向量，从而表示得与平面所成角的正弦值，解方程求解.
【详解】（1）过点作的平行线，分别交于点，
过作的平行线，交于点，过作的平行线交于点，
则截面为所求截面，证明如下：
因为截面,截面,所以截面,
因为截面,截面,所以截面.
（2）因为平面，平面，所以，
且，所以以为坐标原点，为轴建系如图，
则
所以，
所以，
又因为，所以，
设平面的法向量为，
所以令，
所以，
设与平面所成角为，
则，
整理得，解得（舍），.
20．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用相关点法求解轨迹方程，设出，得到，代入中，得到轨迹方程；
（2）求出过点且斜率为的直线方程，联立第一问所求的曲线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出答案.
【详解】（1）设，则，，
因为，所以，即，故，
所以，
因为P是圆上的点，所以，即；
（2）过点且斜率为的直线方程为，
与联立得：，易得，
设直线与的两交点坐标分别为，
则，，
故被C所截线段的长度为.
21．新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门.
(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率；
(2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据古典概型计算即可；
（2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可.
【详解】（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”,
用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”,
则所有选课组合的样本空间为
,
则,
设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,
则,,
所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为；
（2）设甲、乙、丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,,
由题意可知,,相互独立,
由（1）可得,
记N为甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,
则,
因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得.
22．已知函数．
(1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
(2)设，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性可得相应不等式恒成立，分离参数，结合基本不等式即可求得答案；
（2）集合（1）可得，变形可得，令，则可得，累加即可证明结论.
【详解】（1）由已知得，
则．
因为在上单调递增，所以恒成立，
即，
由于，当且仅当时取等号，
所以，当时，，
仅在时取等号，适合题意，
故.
（2）由（1）可知当时，，即，
即，可得．
令，则，即，
所以，
即．
【点睛】难点点睛：第二问利用导数证明不等式，难点在于要结合不等式的结构特征，结合（1）的结论，推出，再变形可得，从而令，则可得，进而采用累加法证明.