2024年中考数学三角函数训练专题-解直角三角形（三）（试题+解析）

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1．解：在 Rt△ACD 中， sinC=ADAC ，
∵sinC=35 ， AC=10 ，
∴35=AD10 ， AD=6 ，
∵在 Rt△ABD 中， csB=22 ，
∴∠B=45° ，即 ∠BAD=∠B=45° ，
∴BD=AD=6，
∴AB=BD2+AD2=62 ， CD=AC2−AD2=8 ，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD= 62+10+6+8=24+62
2．解：∵∠C=90°，∠B=30° ， AB=43 ，
∴AC=23 ，
∵AD 平分 ∠BAC ， ∠BAC=60° ，
∴∠CAD=30° ，
∴cs30°=ACAD ，
AD=ACcs30°=2332=4 ，
∴AD 的长为4．
3．解：在 RtΔACD 中，
AC=ADsinD=10sin45°=52
在 RtΔABC 中，
AB=ACsinB=5232=1063 .
4．解：∵△ABC中，tanA =34 ，BC＝6，∴BCAC=34 ，∴AC＝8，
∴AB =AC2+BC2=62+82= 10，∴sinA =BCAB=35
5．解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= 2 ，
∴tan22.5°= ACCD = 11+2=2−1 ．
6．解：∵∠CBA=90° ， ∠BCA=45° ， BC=2 ，
∴AC=2sin45∘=2 ，
∵∠CAD=90° ， ∠ACD=60° ，
∴ADAC=tan60°=3 ，
∴AD=23 ．
7．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴cs∠B=cs∠CAD= ADAC = 45 ，
∵AD=4，
∴4：AC=4：5，
∴AC=5．
8．解：过A点作AD⊥BC于D点，
在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB=2 2 ，
∴AD=AB•sinB=2，
在直角三角形ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=4．
9．解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B=45°
∴∠BAD=45°
∴AD=BD= AB22=(2)22 =1
∵∠A=105°
∴∠CAD=105°−45°=60°
∴∠C=30°
∴CD= ADtan30° = 3
△ABC的面积= 12(CD+AD)×AD = 12×(3+1)×1 = 3+12 ．
10．解：在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘，tanA=33
∴∠A=30∘，∠ABC=60∘，
∵BD 是 ∠ABC 的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
又 ∵CD=3，
∴BC=CDtan30∘=3 ，
在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，∠A=30° ，
∴AB=BCsin30°=6 .
故答案为： 6 .
11．解：在△ABC中，∠B=90°，csA＝ 57 ,
∴ABAC＝57 ．
设：AB=5x，AC=7x，
由勾股定理 得BC＝2 6 xFF0C
在Rt△DBC中，∠BDC=60°，BD=2 3 ，
∴BC=BDtan60°=2 3 × 3 =6，
∴2 6 x=6，
解得 x= 62 ，
∴AC=7x= 762 ．
12．解：如图，作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延长线于M.
在Rt△DHE中，∵tan∠DEH＝ DHEH ＝2，DE＝ 5 ，
∴DH＝2，EH＝1，
∵S△DEB＝ 12 •EB•DH，
∴4＝ 12 ×EB×2，
∴EB＝4，BH＝5，
∵tan∠DBH＝ DHHB ＝ CNBN ＝ 25 ，
∴可以假设CN＝2k，BN＝5k，则BC＝ 29 k，
∵∠ACB＝135°，
∴∠MCB＝45°，
∴CM＝BM＝ 22 × 29 ＝ 582 k，
∵tan∠A＝ BMAM ＝ CNAN ，
∴582k8+582k ＝ 2k82−(2k)2 ，
解得：k＝ 65829 或﹣ 145829 （舍弃），
∴AB＝AN+BN＝ 282+305829 ，
∴S四边形ACDE＝S△ABC﹣S△DEB
＝ 12×(282+305829)×125829−4
＝ 3362929+60429 .
13．解：如图，过点A作 AH⊥CB ，垂足为H．
根据题意， ∠ACB=45° ， ∠ABC=58° ， BC=221 ．
在 Rt△CAH 中， tan∠ACH=AHCH ，
∴CH=AHtan45°=AH ．
在 Rt△BAH 中， tan∠ABH=AHBH ， sin∠ABH=AHAB ，
∴BH=AHtan58° ， AB=AHsin58° ．
又 CB=CH+BH ，
∴221=AH+AHtan58° ．可得 AH=221×tan58°1+tan58° ．
∴AB=221×tan58°(1+tan58°)⋅sin58°≈221×1.60(1+1.60)×0.85=160 ．
答：AB的长约为160m．
14．解：∵△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°,且AB=AC
∵AD ⊥ BC，
∴BD= 12 BC=116.4m
∴ AD= 116.4× tan51°=139.68 ≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
15．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝ 43 ，
∵在Rt△ADC中，tanC＝ 43 ，AD＝4，
∴CD= 4tanC ，
∴CD＝3.
∴BC＝BD+CD＝ 43+3 .
16．解：过点C作 CD⊥AB ，垂足D
在 RtΔACD 中， AC=8 ， ∠A=30° ，
∴CD=4 ， AD=43
在 RtΔBCD 中， CD=4 ， ∠B=45°
∴BD=CD=4
∴AB=4+43
∴SΔABC=12×4×(4+43)=8+83
17．解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB= 12
∴AC=4
设AD=x，则BD=x，CD=8-x
由勾股定理，得
(8-x)2+42=x2解得x=5
∴cs∠ADC= DCAD=35
18．解：
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tanA= CDAD=6AD=32 ，
∴AD=4，
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．
在Rt△BCD中，
∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，
∴BC= BD2+CD2 =10，
∴sinB= CDBC=35 ，csB= BDBC=45 ，
∴sinB+csB= 35+45 = 75 ．
故答案为 75
19．解：过点D作DE⊥BC于E
∵ 在Rt△CDE中，∠C = 60°， CD=2 ，
∴CE=1 ， DE=3
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.
∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt△DBE中，∠DEB = 90°， DE=3 ，
∴BE=3 ， BD=6
又∵ 在Rt△ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°， BD=6
∴AD=23 ．
20．解：∵BC＝6，sinA＝ 35 ，
∴AB＝10，
∴AC＝ AB2−BC2=102−62 =8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝ 12 AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC ＝ ADAC ，即
DE6 ＝ 58 ，
解得：DE＝ 154 .