2024年中考数学三角函数训练专题-三角函数测高（一）（文字版｜含答案解析）

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1．解：如图，连接CD并延长，交AB于点E，
由题意可知CE⊥AB，
∴四边形CDNM和四边形DEBN是矩形，
∴DE=BN，CD=MN=10m，
在Rt△ACE中，tanα=AECE，
∴AE=tanα⋅CE=tanα⋅(DE+CD)=tanα⋅(DE+10)．
在Rt△ADE中，tanβ=AEDE，
∴AE=tanβ⋅DE，
∴tanβ⋅DE=tanα⋅(DE+10)，
∴DE=10tanαtanβ−tanα≈12.9m，
∴AE=tanβ⋅DE≈17.2m，
∴AB=AE+BE=17.2+1.5=18.7m≈19m．
答：小瑞家到地面的高度AB为19m．
2． 解：延长 FD 交 AB 于点 G ，
则 FG⊥AB ， CD=GB=1.3 米， DF=CE=22 米，
设 AG=x 米，
在 Rt△AGD 中， ∠ADG=45° ，
∴GD=AGtan45∘=x( 米 ) ，
∴GF=GD+DF=(x+22) 米，
在 Rt△AGF 中， ∠AFG=32° ，
∴tan32°=AGFG=xx+22≈0.62 ，
∴x≈35.89 ，
经检验， x≈35.89 是原方程的根，
∴AG≈35.89 米，
∴AB=AG+BG=35.89+1.3≈37.2( 米 ) ，
∴ 嵩岳寺塔 AB 的高度约为37.2米.
3．解：过B作BE⊥DE于E，如图所示：
∵楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，
∴∠DBE=30°，
∴在RtΔBDE中，∠E=90°，∠DBE=30°，
可得tan∠DBE=DEBE，即DE=33BE，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，可得tan∠BAC=BCAC，即BC=AC，
又∵AC=BE，AD=36，BC=AE=AD+DE，
∴BC=36+33BC，
解得BC=18(3+3)≈18×(3+1.7)=84.6≈85，
答：大厦高度BC约为85米.
4．解：由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，
则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形.
所以BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则AG＝EG.
设AG＝EG＝x米，
在Rt△AGD中，tan∠ADG＝AGDG，
则tan37°＝xx+40，34=xx+40，
解得：x＝120，
所以AG＝120米，
则AB＝120+1.2＝121.2（米）.
答：塔AB的高度为121.2米.
5．解：由题意，得CD=BE=20（m），
在Rt△ACD中，AC=tan42°×CD≈0.9004×20≈18.0（m）
∵BC=DE=1.60（m），
∴AB=AC+BC=18.01+1.60=19.61（m）
6．解：在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，
∴BC＝CD＝2.3米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，
∴AC＝BCtan∠ABC＝2.3tan70.5°≈2.3×2.824≈6.5（米），
则AD＝AC﹣2.3≈4.3（米），
答：像体AD的高度约为4.3米．
7．解：如图，过点B′作B′F⊥BD，交BD于点F，
由题意可知四边形AA′B′B是矩形
∴BB′=AA′=30m．
∵∠DB′E=67.5°，∠DBE=∠BDE=45°，
∴∠BDB′=∠DB′E−∠DBE=22.5°，∠B′DC=∠BDE−∠BDB′=22.5°
∴DB′是∠BDC的角平分线
∵B′E⊥DC，B′F⊥BD
∴B′E=B′F=sin∠DBB′×BB′=sin45°×30=22×30=152(m)，
∴BE=BB′+B′E=30+152≈51.21(m)．
∴DE=BE=51.21，
∴CD=DE+AB=51.21+1.8=53.01≈53.0(m)．
答：教学楼CD的高为53.0m．
8．解：如图，连接EC并延长交AB于点N，
由题意可得：EN1AB，四边形EFDC、四边形CDBN均是矩形，
∴FD=EC=5米，EF=DC=BN=1米，
设AN=x米，
在Rt△ACN中，∠ACN=45°，∴CN=AN=x米，
在Rt△AEN中，∠AEN=30。∴tan30°= x5+x
解得：x= 53+52
则AB= 53+52 +1= 53+72
答：这棵古树的高度AB为 53+72 米
9．解：由已知条件得： ∠ABC=30° ，
∠BAC=60°+30°=90° ，
在 RtΔABC 中，
cs∠ABC=ABBC ，
∴BC=ABcs∠ABC=ABcs30°=6032=403 （米）.
答：这栋高楼的高 BC 为 403 米.
10．解：如图，分别延长DC、AE、BF，DC与AE的延长线相交于点H，BF与DC相交于点G，则
由图可知，四边形ABGH是矩形，
∴AB=GH=1.6 ， AH=BG ，
在直角三角形BCG中，∠GBC=20°，BC=10，
∴BG=BC·cs20°≈10×0.94=9.4 ，
CG=BC·sin20°≈10×0.34=3.4 ，
∴AH=BG=9.4 ， CH=CG−HG=3.4−1.6=1.8 ；
设 CD=x ，则在直角三角形ADH中，有
tan55°=DHAH=DC+CHAH=x+1.89.4≈1.43 ，
解得： x≈11.6 ；
∴树木 CD 的高度为11.6米．
11．解：过点A作AD⊥CN，
由题意可知：DN=2.5m，BN=10.5m，∠BAD=∠ABD=45°，∠CAD=65°，
∴BD=AD=BN-DN=10.5-2.5=8，
在Rt△ADC中，
tan∠CAD=DCAD即8+BC8≈2.1
解之：BC≈9m.
答：云梯需要继续上升的高度BC约为9米.
12．解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠CAB，
∴BA=BC=10，
在Rt△CBD中，sin∠CBD=sin60°=CDCB，
∴32=CD10，
解得：CD=53，
∴CF=CD+DF=CD+AE=53+1.
答：建筑物CF的高度为（53+1）m.