2022-2023学年安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等五校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等五校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C=40°，则∠AOB的度数为( )
A. 70°
B. 72°
C. 80°
D. 84°
2.如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C.若⊙O的半径为10，AB=16，则OC的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
3.将二次函数y=5x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式( )
A. y=−5(x+2)2−7B. y=5(x+2)2+7
C. y=5(x−2)2−7D. y=5(x−2)2+7
4.已知点A(2,y1)，B(4,y2)，C(−4,y3)都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上.则( )
A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y2>y3>y1D. y1>y3>y2
5.如图，在△ABC中，DE/​/BC，ADDB=23，若AC=6，则EC=( )
A. 65
B. 125
C. 185
D. 245
6.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售，每天可销售(200−x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )
A. 150元B. 160元C. 170元D. 180元
7.如图，反比例函数y=2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
8.如图，点A、B、C、D均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为( )
A. 22
B. 1
C. 32
D. 62
9.如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE=2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是( )
A. 2
B. 2 2
C. 2
D. 5
10.如图，锐角三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为4，直线MN交边AB于点M，交AC于点N，且MN/​/BC，以MN为边作正方形MNPQ，设其边长为x(x>0)，正方形MNPQ与△ABC公共部分的面积为y，则y与x的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.二次函数y=−(x−2)2+5的图象的顶点坐标是______．
12.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D=50°，则∠B的度数为______．
13.如图，Rt△ABC，直角边AC上有一动点D(不与点A、C重合)，过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______ 条.
14.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP=∠PDC，则线段BP的最小值是 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：6tan230°−cs30°⋅tan60°−2sin45°+cs60°．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3,1)、(2,−1)．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
(3)若点D(a,b)在线段OA上，直接写出变化(2)后点D的对应点D2的坐标为______．
(4)分别求出△OAB的周长和△OA2B2的面积．
17.(本小题8分)
“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深海的利器，如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为60°；当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为75.97°，求点C到海面的深度.(结果精确到0.1千米，参考tan75.97°≈4.00， 3≈1.732)
18.(本小题8分)
如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
(1)求证：△AOB∽△COE；
(2)求证：BO2=EO⋅FO．
19.(本小题10分)
某水笔销售专柜经销一种进价为4元的水笔，商场规定商品的利润率不得超过80%.通过几个月的试营销发现这种水笔的月销售量y(支)是销售单价x(元)的一次函数，并得到下表数据：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)写出该专营店销售这种水笔的月利润ω(元)关于销售单价x(元)的函数关系式；当销售单价x为何值时，月利润最大？
20.(本小题10分)
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED=45°，若AB=5，BE= 2，求AD长．
21.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．
(1)求证：△BFG≌△DCG；
(2)若AC=10，BE=8，求BF的长．
22.(本小题12分)
如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y=kx(k≠0，且k为常数)的图象过点E，且BE：AE=1：3．
(1)求k的值；
(2)反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y=12x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y=kx(x<0)的图象于点N，求N点坐标．
23.(本小题14分)
抛物线y=x2−2mx−3m2(m>0)与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M
(1)当m=1时，求点A、B、M坐标；
(2)如图1，在(1)的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且△PAC为等腰三角形，求P点坐标；
(3)如图2，若一次函数y=kx+b过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，MG/​/x轴，FG⊥MG，AM⊥AF.若AMEF=45，求MGAB的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵∠AOB和∠C都对AB，
∴∠AOB=2∠C=2×40°=80°．
故选：C．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴AC=CB=12AB=8，
∵OA=10，∠ACO=90°，
∴OC= OA2−AC2= 102−82=6，
故选：C．
如图，连接OA.利用垂径定理，勾股定理求解即可．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：将二次函数y=5x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移7个单位，
所得新抛物线的表达式为y=5(x+2)2+7．
故选：B．
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握左加右减，上加下减的平移法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵k>0，
∴函数图象位于第一、三象限及分别在第一、三象限递减，
又∵A(2,y1)，B(4,y2)，C(−4,y3)，
∴y1>y2>0>y3，
故选：A．
先根据反比例函数中k>0判断出函数图象位于第一、三象限及分别在第一、三象限递减，再根据各点横坐标的特点即可解答．
本题考查反比例函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象有关性质．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADDB=AEEC=23，
∴AC−ECEC=23，
∴6−ECEC=23，
∴EC=185．
故选：C．
利用平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设获得的利润为y元，由题意得：
y=(x−100)(200−x)
=−x2+300x−20000
=−(x−150)2+2500
∵a=−1<0
∴当x=150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=2x，
∴OA⋅AD=2．
∵D是AB的中点，
∴AB=2AD．
∴矩形的面积=OA⋅AB=2AD⋅OA=2×2=4．
故选：C．
由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA⋅AD=2，然后可求得OA⋅AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．
本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BC，如图，
由勾股定理得：AC2=BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AC=BC，AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∴sin∠BAC=sin45°= 22，
故选：A．
连接BC，由勾股定理得AC2=BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，则AC=BC，AC2+BC2=AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC=45°，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的正弦值等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：作FH⊥CD于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=CD，∠D=90°，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴EA=EF，∠AEF=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠FEH+∠AED=90°，
∴∠EAD=∠FEH，
在△ADE和△EHF中，
∠D=∠FHE∠EAD=∠FEHAE=EF，
∴△ADE≌△EHF(AAS)，
∴DE=FH=2，AD=EH，
∴EH=DC，
即DE+CE=CH+EC，
∴DE=CH=2，
在Rt△CFH中，FC= CH2+FH2= 4+4=2 2，
故选：B．
作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA=CD，∠D=90°，再根据旋转的性质得EA=EF，∠AEF=90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE=FH=2，AD=EH，所以EH=DC，则DE=CH=2，然后利用勾股定理计算FC的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的对边平行且相等，正方形的对边平行且相等的性质，根据相似三角形的对应高的比等于对应边的比列出比例式是解题的关键．根据题意画出符合的两种情况：分别求出函数的解析式，再判断图象即可．
【解答】
解：锐角三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为4，当PQ与BC边重合时，
∵MN/​/BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴x6=4−x4，
解得x=2.4，
故分两种情况讨论：
(1)当0(2)是2.4作AD⊥BC于D点，交MN于E点，
∵MN/​/BC，
∴MNBC=AEAD，即x6=4−ED4，
∴ED=4−23x，
∴y=x(4−23x)=−23x2+4x(2.4∴y与x的函数图象大致是D，
故选：D．
11.【答案】(2,5)
【解析】解：y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是(2,5)．
故答案为(2,5)．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k)．
12.【答案】130°
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠D=50°，
∴∠B=180°−50°=130°，
故答案为：130°．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；
②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB
③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；
④作∠DGC=∠A，则△GCD∽△ACB．
故答案为：4
过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似．
14.【答案】2
3

【解析】【分析】
根据已知条件推出∠CPD=90°，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．再根据勾股定理即可求出BP的长度，作OF/​/BC交DE于F，利用平行线分线段成比例，列式计算求出CE的长度即可．
本题考查几何中的最值问题，关键是通过辅助圆得到PB最小时的点P．
【解答】
解：(1)∵四边形ABCD矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCP+∠DCP=90°，
∵∠BCP=∠PDC，
∴∠PDC+∠PCD=90°，
∴∠CPD=90°，
以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．
∵OB2=BC2+CO2=42+32，
∴OB=5，
∴PB=OB−OP=5−3=2，
(2)作OF/​/BC交DE于F，
∵OC=OD，
∴DF=EF，
∴OF=12CE，
∵BEOF=BPPO，
∴4−CE12CE=23，
∴CE=3．
故答案为：2；3．
15.【答案】解：原式=6×( 33)2− 32× 3−2× 22+12=2−32− 2+12=1− 2．
【解析】根据特殊角的三角函数值计算．
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=12，cs30°= 32，tan30°= 33，ct30°= 3；
sin45°= 22，cs45°= 22，tan45°=1，ct45°=1；
sin60°= 32，cs60°=12，tan60°= 3，ct60°= 33．
16.【答案】(−2a,−2b)
【解析】解：(1)如图所示：△OA1B1即为所求；
(2)如图所示：△OA2B2即为所求；
(3)∵点D(a,b)
∴变化(2)后点D的对应点D2的坐标为(−2a,−2b)，
故答案为：(−2a,−2b)；
(4)△OAB的周长= 5+ 5+ 10=2 5+ 10，△OA2B2的面积=12×5×(2+2)=10．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)根据图形即可得到结论；
(4)根据勾股定理求得各边的长度，根据三角形的周长公式求得三角形的周长，以x轴为分割线，将△OA2B2分成两部分，即可求得△OA2B2的面积．
此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17.【答案】解：延长CB交AE于点D，

由题意得：∠DAB=60°，∠DAC=75.97°，∠ADC=90°，BC=2(千米)，
设BD=x(千米)，则CD=x+2(千米)，
在Rt△ABD中，tan60°=BDAD=xAD= 3，
在Rt△ACD中，tan75.97°=CDAD=x+2AD≈4.00，
联立解得：x≈1.5，
经检验，x≈1.5是原方程的解且符合题意，
∴CD=x+2≈3.5(千米)，
答：点C到海面的深度约为3.5(千米)．
【解析】延长CB交AE于点D，设BD=x(千米)，则CD=x+2(千米)，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中运用锐角三角函数的定义即可解答．
本题考查了直角三角形的应用中的仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及运用数形结合思想．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴△AOB∽△COE；
(2)∵△AOB∽△COE，
∴OEOB=OCOA，
∵AD/​/BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OBOF=OCOA，
∴OBOF=OEOB，
即OB2=OF⋅OE．
【解析】(1)由题意可直接得到结论；
(2)由相似三角形的性质可得OEOB=OCOA，通过证明△AOF∽△COB，可得OBOF=OCOA，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设y关于x的函数关系式是y=kx+b，
5k+b=6506k+b=600，得k=−50b=900，
即y关于x的函数关系式是y=−50x+900；
(2)由题意可得，
w=(x−4)(−50x+900)=−50x2+1100x−3600=−50(x−11)2+2450，
∵x≤4(1+80%)，
∴x≤7.2，
∴当x=7.2时，w取得最大值，此时w=1728，
答：当销售单价x为7.2时，月利润最大．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数关系式；
(2)根据题意可以得到w关于x的函数关系式，然后化为顶点式，再根据商品的利润率不得超过80%，即可解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20.【答案】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=5，
∴BC= 2AB=5 2，
∵BE= 2，
∴EC=4 2，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，∠AED=45°，
∴∠BAE=∠CED，
∴△ABE∽△ECD，
∴ABEC=BECD，
∴54 2= 2CD，
∴CD=85，
∴AD=AC−CD=5−85=175．
【解析】由直角三角形的性质求出BC=5 2，EC=4 2，证明△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质求出CD的长，则可求出AD的长．
本题考查了等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形相应的边长成比例是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，
∴BD=BF，
∴BF=CD，
∴BF=CD，
又∵∠BFG=∠DCG，∠BGF=∠DGC，
∴△BFG≌△DCG(AAS)；
(2)如图，连接OD交BC于点M，
∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BM=CM，
∵OA=OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM=12AC=5，
∵BF=CD，
∴BC=FD，
∴OE=OM=5，
∴OD=OB=OE+BE=5+8=13，
∴EF=DE= OD2−OE2=12，
∴BF= BE2+EF2= 82+122=4 13；
【解析】(1)证明BF=CD，而∠BFG=∠DCG，∠BGF=∠DGC，则△BFG≌△DCG(AAS)；
(2)证明OM是△ABC的中位线，进而在Rt△BEF中，利用勾股定理求解即可．
此题属于圆的综合题，涉及了全等三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
22.【答案】解：(1)∵BE：AE=1：3，AB=4，
∴AE=3，
∴E(−3,4)
∵反比例函数y=kx(k≠0，且k为常数)的图象过点E，
∴4=k−3，即k=−12．
(2)∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为−4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D(−4,3)．
∵点D在直线y=12x+b上，
∴3=12×(−4)+b，解得b=5．
∴直线DF为y=12x+5，
将y=4代入y=12x+5，得4=12x+5，解得x=−2．
∴点F的坐标为(−2,4)，
设直线OF的解析式为y=mx，
代入F的坐标得，4=−2m，
解得m=−2，
∴直线OF的解析式为y=−2x，
解y=−2xy=−12x，得x=− 6y=2 6．
∴N(− 6,2 6).
【解析】(1)根据题意求得E的坐标，把点E(−3,4)代入利用待定系数法即可求出k的值；
(2)由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为−4，点F的纵坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D(−4,3)，由点D在直线y=12x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标，然后根据待定系数法求得直线OF的解析式，然后联立方程解方程组即可求得．
本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、一次函数和反比例函数的交点等相关知识，难度较大．
23.【答案】(1)解：当m=1时，抛物线解析式为y=x2−2x−3，
当y=0时，x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3
则A(−1,0)，B(3,0)；
∵y=(x−1)2−4，
∴M点坐标为(1,−4)；
(2)∵抛物线与y轴交于C点
∴C点的坐标为：(0,−3)，又A(−1,0)，
设P(1,t)
AC2=12+32=10，PA2=(−1−1)2+(0−t)2=4+t2 ，PC2=(0−1)2+(−3−t)2=t2+6t+10，
∵△PAC为等腰三角形，
∴①PA=PC时，
4+t2 =t2+6t+10，解得：t=−1，
∴P1(1,−1)；
②AP=AC时，
4+t2 =10，解得：t=± 6，
∴P2(1,− 6)，P3(1, 6)；
③CP=CA时，
t2+6t+10=10，解得：t1=0，t2=−6
∴P4(1,0)，P5(1,−6)；
综上所述，求得符合题意得P点的坐标有5个：P1(1,−1)，P2(1,− 6)P3(1, 6)，P4(1,0)，P5(1,−6)；
(3)过点E作EN⊥FG，垂足为N.设对称轴与x轴交于点H．
∵MG⊥FG，MG/​/x轴，
∴四边形MGNE为矩形，
∴MG=EN，
∵AM⊥AF，
∴∠MAF=90°，∠MAH+∠BAF=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠MAH=∠AFB，
在△AHM与△FNE中，∠MAH=∠EFN，∠FNE=∠AHM=90°，
∴△AHM∽△FNE
∴AHFN=AMEF=45，
∵AH=12AB，
∴ABFN=85,FNAB=58，
又A(−m,0)，M(m,−4m2),
∴HM=4m2，AH=2m，
∵△AHM∽△FNE，
∴ENFN=HMAH=4m22m=2m，
∴FN=12mEN
∴12mENAB=58
∴ENAB=5m4，MGAB=5m4．
因此，MGAB的值为5m4．
【解析】(1)解方程x2−2x−3=0可得A(−1,0)，B(3,0)；把抛物线解析式配成顶点式可得到M点坐标；
(2)抛物线的对称轴为直线x=1，设P(1,t)，因为△PAC为等腰三角形，分散在情况讨论，从而得到P点坐标；
(3)作EN⊥FG，构建△AHM∽△FNE，利用相似比求出答案即可．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．销售单价x(元)
5
6
7
月销量y(支)
650
600
550