2022-2023学年安徽省滁州市定远一中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市定远一中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线y=−(x−3)2+7的顶点坐标是( )
A. (−3,7)B. (−3,−7)C. (3,7)D. (3,−7)
3.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE/​/BC.若AD：DB=3：1，则AE：EC等于( )
A. 3：1
B. 3：4
C. 3：5
D. 2：3
4.若∠A为锐角，且sinA= 32，则csA等于( )
A. 1B. 32C. 22D. 12
5.如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=108°，则∠D的大小为( )
A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°
7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°
8.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，点P是△ABC的内心，则∠BPC=°．( )
A. 80
B. 110
C. 130
D. 140
9.如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A. 15B. 20C. 25D. 30
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为( )
A. 5
B. 6
C. 1+ 2
D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若x+yx=32，则yx=______．
12.如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB=30°，∠OBC=40°，则∠OAC= ______ °.
13.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E.若sin∠ADE=45，AD=4，则AB的长为______ ．
14.如图(1)，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE、CF．
(1)FCBE的值为______ ；
(2)当G、F、C三点共线时，如图(2)，若AB=5，AE= 5，则BE= ______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：3tan30°−cs245°+1cs60∘−2sin60°．
16.(本小题8分)
已知抛物线的顶点是(−3,2)，且经过点(4,−5)，试确定抛物线的函数表达式．
17.(本小题8分)
如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上，点O是格点．
(1)以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC在点O的同侧，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；
(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．
18.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC、OC，过点B作BG⊥OC交OC于点E，交AC于点F，交⊙O于点G．
(1)求证：∠CAB=∠CBG；
(2)求证：BC2=AB⋅CE．
19.(本小题10分)
如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i=1：2 3的山坡向上行走10 13米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．
20.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=103，点O在AB上，OB=2，以OB为半径作⊙O交BC于点D．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求CD的长．
21.(本小题12分)
如图，直线AB：y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A(1,0)和点B(0,2)，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若双曲线y=kx(k>0)与正方形的边CD绐终有一个交点，求k的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE=1：3.已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC=x(米)，窗户边框ABCD的面积为S(米 ​2).
(1)①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．
(2)求当S达到最大时，AB的长．
23.(本小题14分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
(1)求证：AN=CM；
(2)若点D满足BD：AD=2：1，求DM的长；
(3)如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD=k，求证：EM=k．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵y=−(x−3)2+7，
∴此函数的顶点坐标为(3,7)，
故选：C．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
3.【答案】A
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADDB=AEEC=3：1．
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠A为锐角，且sinA= 32，
∴∠A=60°，
∴csA=cs60°=12，
故选：D．
根据sinA= 32，得出∠A=60°，即可得出csA的值．
本题主要考查三角函数的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用．
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据等弧的性质得出∠BOC=12∠AOB，代入求出即可．
【解答】
解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，
∵点C是AB的中点，
∴∠BOC=12∠AOB=40°，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°，
∴∠D=180°−∠B=180°−108°=72°．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC=180°−∠A=61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=61°，求出∠DOC=58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】
解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵∠A=119°，
∴∠ODC=180°−∠A=61°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=61°，
∴∠DOC=180°−2×61°=58°，
∴∠P=90°−∠DOC=32°；
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=180°−40°=140°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×140°=70°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−70°=110°．
故选B．
首先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，然后根据内心的定义证明∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)，然后根据三角形内角和定理求解．
此题主要考查了三角形的内心的计算，正确理解∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)是关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．注意：正方形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
根据正方形的性质得出EF/​/BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF/​/HG，
∵AD是△ABC的高，
即AD⊥BC，
∴AD⊥EF，
∵EF/​/BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ANEF=ADBC，
设AN=x，
则EF=ND=AD−AN=60−x，
则x60−x=60120，
解得x=20，
经检验，x=20是方程的解，
∴AN=20．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，正确做出辅助线是解决问题的关键，能够理解在什么情况下，点B到原点O的距离最大．
设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+ 2，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
【解答】
解：作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD= 12+12= 2，OD=AD=12AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+ 2．
故选C．
11.【答案】12
【解析】解：∵x+yx=32，
∴2x+2y=3x，
故2y=x，
则yx=12．
故答案为：12．
直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
12.【答案】25
【解析】解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°−40°×2=100°，
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=12×(180°−∠AOC)=12×(180°−130°)=25°，
故答案为：25．
连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE，
∵矩形ABCD的对边AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵sin∠ADE=45，
∴BCAC=45，
∴AC=BC45=445=5，
由勾股定理得，AB= AC2−BC2= 52−42=3，
故答案为：3．
易证∠ACD=∠ADE，由矩形的性质得出∠BAC=∠ACD，则BCAC=45，由此得到AC=BC45=445=5，最后由勾股定理得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．
14.【答案】 2 10
【解析】解：(1)如图(1)，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠BAC=∠EAF=45°，∠ABC=∠AEF=90°，
∴cs∠BAC=ABAC=cs∠EAF=AEAF= 22，∠BAE=∠CAF，
∴ACAB=AFAE= 2，
∴△ABE∽△ACF，
∴FCBE=ACAB= 2，
故答案为： 2；
(2)如图(2)，连接AC，
∵四边形AEFG是正方形，
∴△ACG是直角三角形，FG=AG=AE= 5，
∵四边形ABCD是正方形，AB=5，
∴AC= 2AB=5 2，
∴CG= AC2−AG2= (5 2)2−( 5)2=3 5，
∴FC=CG−FG=2 5，
结合(1)得，BE= 22FC= 22×2 5= 10，
故答案为： 10．
(1)利用正方形的性质判定△ABE∽△ACF，根据相似三角形的性质即可得解；
(2)利用正方形的性质及勾股定理求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，利用正方形的性质并作出合理的辅助线证明△ABE∽△ACF是解题的关键．
15.【答案】解：原式=3× 33−( 22)2+112−2× 32
= 3−12+2− 3
=32．
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
16.【答案】解：∵抛物线的顶点是(−3,2)，
∴设抛物线的表达式为：y=a(x+3)2+2，
把点(4,−5)代入y=a(x+3)2+2中得：
a(4+3)2+2=−5，
解得：a=−17，
∴抛物线的表达式为：y=−17(x+3)2+2．
【解析】根据题意可设顶点式y=a(x−h)2+k，然后再把点(4,−5)代入进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C1即为所求．

【解析】(1)利用位似变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A1，B1.C1的对应点A2，B2，C1即可．
本题考查作图位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】(1)证明：如图，连接CG，
∵OC⊥BG，
∴C为BG中点，CG=CB，
∴∠CGB=∠CBG，
∵BC所对圆周角为∠CAB和∠CGB，
∴∠CAB=∠CGB，
∴∠CAB=∠CBG；
(2)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠CAB=∠CBE，
∴△CEB∽△BCA，
∴CEBC=BCAB，
∴BC2=AB⋅CE．
【解析】(1)根据垂径定理和圆周角定理即可证明∠CAB=∠CBG；
(2)由AB为⊙O的直径，∠ACB=∠CEB=90°证明出△CEB∽△BCA，即可得到BC2=AB⋅CE．
本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解决此题法人根据是证明△CEB∽△BCA．
19.【答案】解：延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，如图所示：
则四边形DFEG是矩形，
∴DG=EF，DF=GE，
在Rt△BCE中，tan∠BCE=BECE=tan30°= 33，
∴CE= 3BE=100 3(米)，
在Rt△CDF中，DF：CF=1：2 3，
∴CF=2 3DF，
∵DF2+CF2=EF2，
∴DF2+(2 3DF)2=(10 13)2，
解得：DF=10(米)，
∴CF=20 3(米)，
∴DG=EF=CE+CF=120 3(米)，GE=DF=10米，
在Rt△ADG中，tan∠ADG=AGDG=tan30°= 33，
∴AG= 33DG= 33×120 3=120(米)，
∴AB=AG+GE−BE=120+10−100=30(米)，
答：铁塔AB的高度为30米．
【解析】延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，由锐角三角函数定义得CE= 3BE=100 3(米)，再由坡度的定义和勾股定理求出DF=10(米)，CF=20 3(米)，则DG=EF=CE+CF=120 3(米)，GE=DF=10米，然后由锐角三角函数定义求出AG的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：过点O作OE⊥AC，垂足为C，

∵AB=5，OB=2，
∴AO=AB−OB=3，
∵∠OEA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AEO∽△ACB，
∴AOAB=OEBC，
∴35=OE103，
∴OE=OB=2，
∴AC是⊙O的切线；
(2)过点O作OF⊥BC，垂足为F，

∵∠OEA=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形OFCE是矩形，
∴OE=CF=2，
∵BC=103，
∴BF=BC−CF=43，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=83，
∴CD=BC−BD=23．
【解析】(1)要证明AC是⊙O的切线，所以想到过点O作OE⊥AC，垂足为C，然后利用A字型模型相似三角形求出OE的长等于半径即可；
(2)要求CD的长，因为∠C=90°，想到构造矩形，所以过点O作OF⊥BC，垂足为F，证明四边形OFCE是矩形，可得CF=OE=2，从而求出BF的长，再利用垂径定理求出BD即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(0,2)代入y=kx+b，得：
k+b=0b=2，解得：k=−2b=2，
∴直线AB的解析式为y=−2x+2．
(2)作DF⊥x轴于F，则∠AFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF．
在△ADF和△BAO中，∠AFD=∠BOA=90°∠DAF=∠ABOAD=BA，
∴△ADF≌△BAO(AAS)，
∴AF=BO=2，DF=AO=1，
∴点D的坐标为(3,1)．
(3)同(2)可得出点C的坐标为(2,3)．
当双曲线过点D时，k=3×1=3；
当双曲线过点C时，k=2×3=6，
∴当双曲线y=kx(k>0)与正方形的边CD绐终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6．
【解析】(1)根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
(2)作DF⊥x轴于F，易证△ADF≌△BAO(AAS)，利用全等三角形的性质可求出点D的坐标；
(3)同(2)可求出点C的坐标，利用极限值法可求出k的最大、最小值，此题得解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用全等三角形的性质，求出点D的坐标；(3)利用极限值法找出k的取值范围．
22.【答案】解：(1)①∵BC=x，
∴AD=EF=BC=x，
∵AE：BE=1：3，
∴设AE=a，
∴AB=CD=4a，MN=BE=3a，
∴AB+CD+MN=11a，
∵制作一个窗户边框的材料的总长是6米，
∴11a+3x=6，
∴a=6−3x11，
∴AB=24−12x11；
②∵AB>0，
∴24−12x11>0，
解得：x<2，
∴x的取值范围为：0(2)∵S=AB⋅BC=24−12x11⋅x=−1211x2+2411x，
∴S=−1211(x−1)2+1211，
∴当x=1时，S取最大值，
∴AB=1211，
则当S达到最大时，AB的长为1211米．
【解析】(1)①设AE=a，根据题意列式即可得到结论；②解不等式即可得到结论；
(2)根据题意求得函数的解析式S=AB⋅BC=24−12x11⋅x=−1211x2+2411x，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，
∴∠ANC=90°，∠BMC=90°，
又∠ACB=90°，
∴∠ACN+∠BCM=∠BCM+∠CBM=90°，
∴∠ACN=∠CBM，
又∵AC=BC，
∴△ACN≌△CBM(AAS)，
∴AN=CM；
(2)解：∵∠AND=∠BMD，∠ADN=∠BDM，
∴△AND∽△BMD，
∴ANBM=DNDM=ADBD=12，
设AN=x，则BM=2x，
由(1)知AN=CM=x，BM=CN=2x，
∵AN2+CN2=AC2，
∴x2+(2x)2=12，
∴x= 55，
∴CM= 55，CN=2 55，
∴MN= 55，
∴DM=23MN=23× 55=2 515；
(3)解：延长ME，AN相交于点H，

∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠ANM=90°，∠BMN=90°，
∴AN/​/BM，
∴∠HAE=∠MBE，∠AHE=∠BME，
∴△AHE≌△BME(AAS)，
∴AH=BM，
又∵BM=CN，CM=AN，
∴CN=AH，
∴MN=HN，
∴∠HMN=45°，
∴∠EMB=45°，
过点E作EG⊥BM于点G，
∵sin∠NAD=k，∠NAD=∠EBG，
∴sin∠EBG=EGBE=k，
又∵AC=BC=1，
∴AB= 2，
∴BE= 22，
∴EG= 22k，
∴EM= 2EG= 2× 22k=k．
【解析】(1)证明△ACN≌△CBM(AAS)，由全等三角形的性质得出AN=CM；
(2)证明△AND∽△BMD，由相似三角形的性质得出ANBM=DNDM=ADBD=12，设AN=x，则BM=2x，由(1)知AN=CM=x，BM=CN=2x，由勾股定理得出x= 55，则可得出答案；
(3)延长ME，AN相交于点H，证明△AHE≌△BME(AAS)，得出AH=BM，证得HN=MN，过点E作EG⊥BM于点G，由等腰直角三角形的性质得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．