吉林省白山市江源区2023-2024学年八年级上学期12月期末数学试题

这是一份吉林省白山市江源区2023-2024学年八年级上学期12月期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．5cm，20cm，20cm
C．7cm，1cm，3cmD．5cm，4cm，9cm
2．（2分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．a8÷a4＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a2）4＝a8
4．（2分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
5．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
6．（2分）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝45°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．44°C．45°D．50°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．（3分）因式分解：4a2﹣1＝ ．
9．（3分）（3a2﹣6ab）÷3a＝ ．
10．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 边形．
11．（3分）已知点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P1的坐标是 ．
12．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝ 度．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED＝5，则EC的长为 ．
14．（3分）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数 （用含m的代数式表示）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：（﹣5）3÷（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣+1|．
16．（5分）先化简，再求值（+）÷，其中m＝．
17．（5分）解方程：＝1．
18．（5分）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）若△A'B'C'与△ABC关于x轴成轴对称，作出△A'B'C'；
（2）若P为y轴上一点，使得△APC周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为 ；
（3）计算△ABC的面积．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
21．（7分）下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点A．
求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图2，
①在直线l上取点D；
②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；
③作直线BE，交直线l于点C；
④连接AB．
△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EA，ED．
∵BA＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠BAD＝60°．
∵BA＝BD，EA＝ ，
∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BE⊥AD．
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC+∠BAD＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴∠ABC＝30°．
22．（7分）如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．
（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？
（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
24．（8分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
26．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
2023-2024学年吉林省白山市江源区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．5cm，20cm，20cm
C．7cm，1cm，3cmD．5cm，4cm，9cm
【解答】解：A、2+3＜6，不能组成三角形，不符合题意；
B、5+20＞20，能组成三角形，符合题意；
C、1+3＜7，不能组成三角形，不符合题意；
D、5+4＝9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
2．（2分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．a8÷a4＝a2C．a3+a3＝2a6D．（a2）4＝a8
【解答】解：A、a4•a3＝a7，所以A选项计算不正确，不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，所以B选项计算不正确，不符合题意；
C、a3+a3＝2a3，所以C选项计算不正确，不符合题意；
D、（a2）4＝a8，所以D选项计算正确，符合题意．
故选：D．
4．（2分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【解答】解：△OAB与△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选：B．
5．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【解答】解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等．
故选：A．
6．（2分）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝45°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．44°C．45°D．50°
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠DBA+∠DCA＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）
＝∠ABC+∠ACB﹣90°＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x＞3 ．
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
8．（3分）因式分解：4a2﹣1＝ （2a+1）（2a﹣1） ．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：（2a+1）（2a﹣1）．
9．（3分）（3a2﹣6ab）÷3a＝ a﹣2b ．
【解答】解：（3a2﹣6ab）÷3a
＝3a2÷3a﹣6ab÷3a
＝a﹣2b．
故答案为：a﹣2b．
10．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 七 边形．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：七．
11．（3分）已知点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P1的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P1的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
12．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝ 35 度．
【解答】解：过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∵∠1＝30°，∠2＝40°，
∴∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝40°，
∴∠BED＝∠AEC＝∠3+∠4＝70°，
∵EF是∠BED的平分线，
∴∠BEF＝∠BED＝×70°＝35°．
解法二：直接根据平行可得∠B＝∠2＝40°，再由外角可得∠BED＝∠1+∠B＝70°，
∵EF是∠BED的平分线，
∴∠BEF＝∠BED＝×70°＝35°．
故答案为：35．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED＝5，则EC的长为 10 ．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED＝5，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠DCE＝30°，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE＝30°，ED＝5，
∴CE＝2DE＝10．
故答案为：10．
14．（3分）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数 180°﹣3m （用含m的代数式表示）．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为矩形，
∴DE∥CF，
∴∠DEF+∠CFE＝180°
∴∠CFE＝180°﹣m．
如图2，∵∠EFG＝∠DEF＝m，
∴∠CFG＝180°﹣2m．
如图3，∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣3m．
故答案为180°﹣3m．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：（﹣5）3÷（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣+1|．
【解答】解：原式＝﹣125÷2+1﹣（﹣1）
＝﹣62.5+1﹣+1
＝﹣60.5﹣．
16．（5分）先化简，再求值（+）÷，其中m＝．
【解答】解：原式＝×
＝×
＝
当m＝时，
原式＝
＝
＝﹣
17．（5分）解方程：＝1．
【解答】解：原方程可变形为：﹣＝1，
去分母，得2﹣3＝3x﹣3，
整理，得3x＝2，
解，得x＝．
经检验，x＝是原方程的解．
∴原方程的解为x＝．
18．（5分）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．
【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）若△A'B'C'与△ABC关于x轴成轴对称，作出△A'B'C'；
（2）若P为y轴上一点，使得△APC周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为 （0，2） ；
（3）计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求：
（2）点P即为所求，P（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（3）△ABC的面积为：．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
【解答】解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
21．（7分）下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点A．
求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图2，
①在直线l上取点D；
②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；
③作直线BE，交直线l于点C；
④连接AB．
△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EA，ED．
∵BA＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠BAD＝60°．
∵BA＝BD，EA＝ ED ，
∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（ 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）．
∴BE⊥AD．
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC+∠BAD＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ）（填推理的依据）．
∴∠ABC＝30°．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：如图，连接BD，EA，ED．
∵BA＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠BAD＝60°．
∵BA＝BD，EA＝ED，
∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∴BE⊥AD．
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC+∠BAD＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠ABC＝30°．
故答案为：ED；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形两个锐角互余．
22．（7分）如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？
【解答】解：由题意知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
在△BCD中，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD＝80海里，
∴BC＝160海里，
由∠CBD＝60°，得∠ABC＝120°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝BC，
∴AB＝160海里，
∵AD＝AB+BD，
∴AD＝160+80＝240（海里）．
因此船从A到D一共走了240海里．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．
（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？
（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
【解答】解：（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验x＝70是原方程的解，
即李明步行的速度是70米/分．
（2）根据题意得，李明总共需要：．
即李明能在联欢会开始前赶到．
答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校．
24．（8分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
【解答】解：（I）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280．
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
（II）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，
依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，
解得：m＝40，
∴100﹣m＝60．
答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．
26．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ DE ，BC＝ AE ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS）
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE；AE；
（2）①如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝4，
解得，BC＝1，OC＝3，
∴点B的坐标为（3，1），
同理，点B′的坐标为（﹣1，3），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3）．