2023-2024学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为．( )
A. x2−2=(x+3)2B. x2−1=0
C. x2+3x−5=0D. ax2+bx+c=0
3.若函数y=(m+4)x|m|−5是反比例函数，则m的值为( )
A. 4B. −4C. 4或−4D. 0
4.下列属于随机事件的是( )
A. 一个袋中有5个红球，从中摸出一个球是红球
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 在地球上，抛出的篮球会落下
D. 从装有10个白球的不透明袋中取出1个黑球
5.如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A. 12π
B. 6π
C. 4π
D. 2π
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)，对称轴是直线x=−1，如果你不知道下列结论：①abc>0，②b2−4ac>0，③2a−b=0，④3a+2c<0中，哪些是正确结论，那么你从中随机选择一个结论是正确的概率是( )
A. 1B. 34C. 12D. 14
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.已知m是方程x2−2x−2020=0的一个根，则式子−2m2+4m的值为______ ．
8.抛物线y=a(x−1)2+3向右平移1个单位，向上平移2个单位后经过点(1,7).则a的值是______ ．
9.已知A(m−1,−2)、B(−3,−2−n)两点关于原点对称，则m+n)2023= ______ ．
10.在一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为______ ．
11.如图，点A是反比例函数y=kx(x<0)的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO=AB，若△ABO的面积为4，则k的值为______．
12.二次函数y=ax2−2ax−m的部分图象如图所示，则方程ax2−2ax−m=0的根为______．
13.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸．
14.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=1x的图象交于(−1,m)，(−5,n)两点，则不等式kx+b−1x>0的解集为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：x2−2x−1=0．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称作格点，△ABC的三个顶点都在格点上，把△ABC先向右平移6个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得△A2B2C1.结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中画出△A1B1C1和△A2B2C1；
(2)图中的△A2B2C1能不能通过顺时针旋转△ABC得到？如果可以，请写出旋转中心D的坐标及旋转角α的度数(0°<α<180°)；如果不能，说明理由．
17.(本小题5分)
如图，AC、BC是⊙O的两条弦，且AC=BC，∠AOC+∠ABC=75°，D为弦AB所对优弧上一点，求∠D的度数．
18.(本小题5分)
已知反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若a>0，此函数的图象过第一象限的两点(a+5,y1)(2a+1,y2)，且y119.(本小题7分)
二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A.惊蛰”“B.夏至”“C.白露”“D.霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
(1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是______ ．
(2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B.夏至”的概率．
20.(本小题7分)
如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接EM，若EM/​/BC，求∠ABC的度数．
21.(本小题7分)
关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)上述方程的根x1，x2恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长．
22.(本小题7分)
驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．
(1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为______ ；下降阶段的函数解析式为______ ；(并写出x的取值范围)
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？
23.(本小题8分)
某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
24.(本小题8分)
问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．

(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；
(3)【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，△DEC的周长最小值= ______ (直接写答案)．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A(6,0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(−6,0)，C(0,2)，点D在第二象限.将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′=t(0≤t≤6)．

(1)如图①，当t=1时，O′C′与OB交于F点，求点C′，F的坐标；
(2)若矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形时，C′D′分别与OB交于点G，与AB交于点H.O′C′与AB交于点N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当53≤t≤4 2时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C(0,3)，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是分式方程，故C错误；
D、a=0时是一元一次方程，故D错误；
故选：B．
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得，|m|−5=−1，且m+4≠0，
解得：m=4．
故选：A．
根据自变量的指数等于1，且系数不等于0列式求解即可．
本题考查了反比例函数的定义．一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
4.【答案】B
【解析】解：A、一个袋中有5个红球，从中摸出一个球一定是红球，不是随机事件，不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，同位角可能相等，也可能不相等，是随便事件，符合题意；
C、在地球上，抛出的篮球一定会落下，不是随机事件，不符合题意；
D、从装有10个白球的不透明袋中取出1个黑球一定不会发生，不是随机事件，不符合题意；
故选：B．
根据随机事件的定义进行求解即可：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件．
本题主要考查了事件的分类，掌握随机事件的定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴S扇形OAB=60×π×62360=6π，
故选：B．
先由圆周角定理可得∠AOB的度数，然后再根据扇形的面积公式计算可得结果．
此题主要是考查了圆周角定理，扇形的面积公式，能够熟练运用同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：①∵二次函数图象与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∵a<0，
∴b<0，
∴abc>0，
∴①正确；
②抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴②正确；
③∵b=2a，
∴2a−b=0，
∴③正确；
④图象经过点(1,0)，
∴a+b+c=0，
∵b=2a，
∴c=−3a，
∴3a+2c=3a−6a=−3a>0，
∴④不正确；
共有4个结论，正确的有3个，
∴从中随机选择一个结论是正确的概率是34．
故选：B．
根据题意可知，抛物线与y轴交于正半轴，c>0，对称轴为直线x=−1，b<0，据此对①作出判断；根据抛物线与x轴的交点，即可对②作出判断；根据对称轴为直线x=−1，即可对③作出判断；根据二次函数图象与x轴另一个交点为(1,0)，坐标代入解析式即可得出c=−3a，即可求得3a+2c=−3a，即可对④作出判断．
本题考查的是概率公式及二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
7.【答案】−4040
【解析】解：∵m是方程x2−2x−2020=0的一个根，
∴m2−2m−2020=0，
∴m2−2m=2020，
∴−2m2+4m
=−2(m2+2m)
=−2×2020
=−4040，
故答案为：−4040．
根据一元二次方程的根的定义，将m代入x2−2x−2020=0，求出m2−2m=2020，即可求出−2m2+4m的值．
本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想．
8.【答案】2
【解析】解：抛物线y=a(x−1)2+3向右平移1个单位，向上平移2个单位后，得到新抛物线解析式为：y=a(x−1−1)2+3+2，即y=a(x−2)2+5．
∵新抛物线经过点(1,7)，
∴a(1−2)2+5=7．
解得：a=2．
故答案是：2．
先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点(1,7)，所以把点(1,7)代入新的抛物线解析式就可求的a值为2．
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9.【答案】0
【解析】解：∵A(m−1,−2)、B(−3,−2−n)两点，若A、B两点关于原点对称，
∴m−1=3，−2−n=2，
解得m=4，n=−4，
所以(m+n)2022=0．
故答案为：0．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程求出m、n的值，再代入计算即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
10.【答案】10
【解析】解：由题意知，估计盒子中白球的个数约为25×0.4=10(个)，
故答案为：10．
用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11.【答案】−4
【解析】解：过点A作AC⊥x轴，设点A(x,y)，
∵OA=AB，
∴OC=BC，
∴点B(2x,0)，
∵顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，
∴xy=k，
∵△OAB的面积为4，
∴12OB⋅AC=4，
即12×2|x|×y=4，
∴xy=−4，
即k=−4．
故答案为：−4．
过点A作AC⊥x轴，设点A(x,y)，可得出xy=k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数y=kx图象上的点(x,y)一定满足xy=k．
12.【答案】x=−1或x=3
【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax−m的对称轴为直线x=−−2a2×a=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴ax2−2ax−m=0的根为x=−1或x=3，
故答案为：x=−1或x=3．
ax2−2ax−m=0的根为y=ax2−2ax−m的图象与x轴的交点的横坐标，根据图象求出抛物线与x轴交点的横坐标即可．
本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要牢记二次函数的图象和对应的一元二次方程的根的关系．
13.【答案】26
【解析】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r−1，OA=r，
由勾股定理得：r2=52+(r−1)2，
解得：r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中，AD=5，OD=r−1，OA=r，由勾股定理得出方程r2=52+(r−1)2，解方程即可．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】x<−5或−1【解析】解：从函数图象看，当x<−5和−1故不等式kx+b−1x≥0的解集为x<−5或−1故答案为：x<−5或−1从函数图象看，当x<−5和−1本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
15.【答案】解：∵a=1，b=−2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×(−1)=8>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−(−2)± 82×1=1± 2，
∴x1=1+ 2，x2=1− 2．
【解析】本题考查了解一元二次方程的方法−公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
16.【答案】解：(1)△A1B1C1和△A2B2C1如图所示；

(2)如图所示，△ABC可以绕点D(1,−2)顺时针旋转90度得到△A2B2C1．
∴旋转中心的坐标为D(1,−2)，旋转角度α=90°．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
(2)利用旋转方式分别作出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C1，然后顺次连接即可A2、B2、C1；
(3)旋转对应图形对应点连线的中垂线的交点即为旋转中心，据此求解即可．
本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质．
17.【答案】解：连接OB，DC，
∵AC=BC，
∴AC=BC，
∴∠ADC=∠BDC，
∴∠ABC=∠ADC=∠BDC，
∵∠AOC+∠ABC=75°，∠AOC=2∠ABC，
∴3∠ABC=75°，
解得：∠ABC=∠ADC=∠BDC=25°，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=2∠ADC=50°．
【解析】连接OB，DC，根据AC=BC求出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ADC=∠BDC，求出∠ABC=∠ADC=∠BDC，根据∠AOC+∠ABC=75°求出∠ADC，即可求出答案．
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限，
∴k−4>0，
解得：k>4．
∴k的取值范围是：k>4．
(2)∵反比例函数图象过第一象限的两点(a+5,y1)(2a+1,y2)，且y1∴a+5>2a+1，
解得：a<4，
又∵a>0，
∴a的取值范围是：0【解析】(1)根据反比例函数y=k−4x的图象经过第一、三象限可得：k−4>0，解此不等式可得k的取值范围；
(2)根据反比例函数的性质得a+5>2a+1，解此不等式求出a的取值范围，再结合a>0即可得出a的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
19.【答案】14
【解析】解：(1)共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A.惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是14，
故答案为：14；
(2)用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B.夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B.夏至”的概率为612=12．
(1)共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A.惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
(2)用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法活树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示：

∵点O为⊙O的圆心，AB为⊙O的切线，切点为M，
∴OM为⊙O的半径，且OM⊥AB，
∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC，
∴ON=OM，
即ON为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：设∠ABE=α，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE=α，∠ABC=2∠ABE=2α，
∵EM//BC，
∴∠MEB=∠CBE=α，
∵OE=OM，
∴∠MEB=∠OME=α，
∴∠MOB=∠MEB+∠OME=2α，
∵OM⊥AB，
∴∠MOB+∠MBE=90°，
即2α+α=90°，
∴α=30°，
∴∠ABC=2α=60°．
【解析】(1)连接OM，过点O作ON⊥BC于N，先根据切线的性质得OM⊥AB，再由角平分线的性质得ON=OM，进而根据切线的判定可得出结论；
(2)设∠ABE=α，根据角平分线的定义得ABE=∠CBE=α，∠ABC=2α，再由EM/​/BC得∠MEB=∠CBE=α，由OE=OM得∠MEB=∠OME=α，由此得∠MOB=2α，然后根据∠MOB+∠MBE=90°求出α=30°，进而可得∠ABC的度数．
此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根，
∴Δ=[−2(m+1)]2−4(m2+5)=8m−16≥0，
解得：m≥2．
(2)∵x1，x2是方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个根，
∴x1+x2=2(m+1)，x1⋅x2=m2+5．
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=62，即m2+4m−21=0，
∴m=3或m=−7．
∵2(m+1)>0，
∴m=3，
∴这个三角形的周长=6+x1+x2=14．
【解析】(1)由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出Δ=8m−16≥0，解之即可得出结论；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=2(m+1)、x1⋅x2=m2+5，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：(1)由方程有两个实数根找出Δ=8m−16≥0；(2)利用根与系数的关系结合勾股定理找出m2+4m−21=0．
22.【答案】y=100x(0≤x≤4) y=1600x(4≤x≤10)
【解析】解：(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将(4,400)代入得：400=4k，
解得：k=100，故直线解析式为：y=100x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，将(4,400)代入得：400=a4，
解得：a=1600，故反比例函数解析式为：y=1600x；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=100x(0≤x≤4)，
下降阶段的函数关系式为y=1600x(4≤x≤10)．
故答案为：y=100x(0≤x≤4)，y=1600x(4≤x≤10)；
(2)当y=200，则200=100x，
解得：x=2，
当y=200，则200=1600x，
解得：x=8，
∵8−2=6(小时)，
∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时．
(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，利用待定系数法即可解决问题；
(2)分别求出y=200时的两个函数值，再求时间差即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(2,120)，(4,140)代入y=kx+b得：2k+b=1204k+b=140，
解得：k=10b=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100(0(2)(60−3−40)×(10×3+100)
=(60−3−40)×(30+100)
=17×130
=2210(元)．
答：当每千克干果降价3元时，超市获利2210元．
(3)依题意得：(60−x−40)(10x+100)=2090，
整理得：x2−10x+9=0，
解得：x1=1，x2=9．
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=9．
答：这种干果每千克应降价9元．
【解析】(1)观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；
(2)利用超市销售该种干果获得的利润=每千克的销售利润×日销售量，即可求出结论；
(3)利用超市销售该种干果获得的利润=每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价9元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)根据各数量之间的关系，列式计算；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】(1)解：BD=CE，理由如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠BEC=60°，
∴∠BEC=∠AED=60°，
∴EB平分∠AEC；
(3)2+ 3
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：当点D在线段BC上时，△DEC的周长存在最小值，最小值为2+ 3，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∴△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE，
∴当点D在线段BC上时，△DEC的周长=BC+DE，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD，
∴当AD的值最小时，△DEC的周长最小，此时AD⊥BC，
∴BD=12AB=1，AD= 3BD= 3=DE，
∴△DEC的周长的最小值为2+ 3．
故答案为：2+ 3．
(1)证明△ABD≌△ACE，即可得BD=CE；
(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得∠ADB=∠AEC=120°，故∠BEC=60°，从而EB平分∠AEC；
(3)由△ABD≌△ACE，得CE=BD，可得△DEC的周长=BC+DE，而DE=AD，当AD的值最小时，△DEC的周长最小，此时AD⊥BC，即可求得答案．
本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)由点C(0,2)，得OC=2，
由已知矩形平移得，OO′=t，OC=O′C′=2，∠COE=∠C′O′O=90°，
又△OAB是等腰直角三角形，得∠BOO′=∠BAO=45°，
∴△OOF是等腰直角三角形，
∴OO′=O′F=1，
∴点F的坐标F(1,1)，点C′的坐标C′(1,2)；
(2)①由平移知，O′C′=2，∠C′=∠C′O′O=90°，OO′=t，
如图②，过点G作GM⊥OA于M，

∴GM=OM=2，
∴O′M=C′G=t−2，
由C′D′//OA，
得∠O′AN=∠C′HN=45°，
∴△O′AN与△C′NH均为等腰直角三角形，
又OA=6，
∴O′A=O′N=6−t，
∴C′H=C′N=2−(6−t)=t−4，
∴S=S梯形OGCO′−S△GNH=12(C′G+OO′)O′C′−12C′H⋅C′N
=12(t−2+t)×2−12(t−4)2
=2t−2−12(t−4)2
=−12t2+6t−10，
其中t的取值范围是4②∵t=53时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，
∴S=12×53×53=2518，
当t=4 2时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形，
∴S=−12t2+6t−10=−12×(4 2)2+6×4 2−10=24 2−26，
∴S的取值范围为：2518≤S≤24 2−26．
【解析】(1)由t=1、C(0,2)，可得点C坐标，根据△OAB是等腰直角三角形可证△OOF是等腰直角三角形，从而可得∴OO′=O′F=t=1，即可求得结果；
(2)①过点G作GM⊥OA于M，根据平移的性质可得O′C′=2，OO′=t，GM=OM=2，O′M=C′G=t−2，由C′D′//OA，可证△O′AN与△C′NH均为等腰直角三角形，可得O′A=O′N=6−t，C′H=C′N=2−(6−t)=t−4，再根据S=S梯形OGCO′−S△C′NH，即可得出结果；
②根据t=53时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，当t=4 2时，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形，分别进行计算即可．
本题考查平移的性质、平面直角坐标系与图形、等腰直角三角形的性质及求二次函数解析式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将B(3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c，
得−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x+3．
答：二次函数的解析式为y=−x2+2x+3．
(2)如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，

设P(x,−x2+2x+3)，直线BC的解析式为y=mx+n，
则3m+n=0n=3，
解得m=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
则Q(x,−x+3)，
∴S△CPB=S△BPQ+S△CPQ=12QP⋅OB=12(−x2+3x)×3=−32(x−32)2+278，
当x=32时，△CPB的面积最大，
此时，点P的坐标为(32,154)，△CPB的面积的最大值为278．
(3)存在．
如图，设点P(x,−x2+2x+3)，PP′交CO于点E，

若四边形POP′C是菱形，则OP=PC，
连接PP′，则PE⊥OC，OE=CE=32，
∴−x2+2x+3=32，
解得x1=2+ 102，x2=2− 102(不合题意，舍去)，
∴P(2+ 102,32).
【解析】(1)利用待定系数法即可求解．
(2)设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解．
(3)设出点P的坐标，求出P′的坐标，利用菱形的性质即可求解．
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作x轴的平行线或y轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．