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2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝1 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．x20 D．ax2+bx+c＝0
2．（2分）如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．75°
3．（2分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（ ）
A．15° B．40° C．35° D．75°
4．（2分）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
5．（2分）反比例函数y的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么k值范围是（ ）
A．k＞2 B．k≤2 C．k＜2 D．k≥2
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2022+a﹣b的值是 ．
8．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是 ．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
10．（3分）如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为 cm．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，作B′D∥AC交BC于点D，则∠AB'D＝ ．
12．（3分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ ．
13．（3分）如图，圆锥体的高，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
14．（3分）烟花厂为建党100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
三、解答题（每题5分，共20分）
15．（5分）解方程：（x﹣2）2﹣2x+4＝0
16．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请在图中画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
17．（5分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：BE＝DE．
18．（5分）已知抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
21．（7分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
22．（7分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOPS△AOB，请求出点P的坐标．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（m2）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
24．（8分）（1）【问题原型】小伟遇到这样一个问题：如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数．小伟是这样思考的：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你计算图①中∠BPC的度数．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB＝2，PC．∠BPC的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ， ），B （ ， ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝1 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．x20 D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、a＝0时是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2分）如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．75°
【分析】由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝75°，即可求解．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（ ）
A．15° B．40° C．35° D．75°
【分析】利用三角形的外角的性质求出∠C，再利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠APD＝∠A+∠C，
又∵∠A＝40°，∠APD＝75°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝75°﹣40°＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2分）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：依题意得：0.3，
解得：x＝7．
故选：C．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）是解题关键．
5．（2分）反比例函数y的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么k值范围是（ ）
A．k＞2 B．k≤2 C．k＜2 D．k≥2
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的k的值即可．
【解答】解：∵在反比例函数y的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2．
故选：A．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2022+a﹣b的值是 2020 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，可以得到a﹣b的值，然后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+2＝0，
∴a﹣b＝﹣2，
∴2022+a﹣b＝2022﹣2＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
8．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣3或x＞1 ．
【分析】当a＞0时，抛物线开口向上，由题意可知，抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0），（1，0），进而根据图象即可求解．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，
∵方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0），（1，0），
因此抛物线的大致图象为：
由图可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象的特征是解题的关键．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣1且a≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，
解得a＞﹣1且a≠0．
故答案为a＞﹣1且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（3分）如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为 10 cm．
【分析】连接OC交AB于点D，连接OA，根据轴对称的性质可得OC⊥AB，OD＝DCOC＝5cm，再根据垂径定理可得AD＝BD，然后利用勾股定理求出AD，从而求出AB的长．
【解答】解：连接OC交AB于点D，连接OA，
∵折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，
∴OC⊥AB，OD＝DCOC＝5cm，
∴AD＝BDAB，
在Rt△OAD中，OA＝10cm，
∴AD5cm，
∴AB＝2AD＝10cm，
∴弦AB的长度为10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，作B′D∥AC交BC于点D，则∠AB'D＝ 30° ．
【分析】由平行线的性质可得∠C′CA＝∠CAB＝70°，由旋转的性质AC＝AC′，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
∴∠AB'D＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ 8 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算．
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD，
∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k5．
解得k＝8．
故答案是：8．
【点评】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．
13．（3分）如图，圆锥体的高，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是 120° ．
【分析】根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为2πr＝2π，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角．
【解答】解：根据题意得，圆锥的母线长为：3（cm），
设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，，
解得：n＝120，
∴该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长＝展开图扇形弧长，圆锥母线长＝展开图扇形半径，母线长，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．
14．（3分）烟花厂为建党100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 6 s．
【分析】根据题意求得顶点的横坐标即可求解．
【解答】解：依题意，，当时，h取得最大值，
即从点火升空到引爆需要的时间为6s．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得顶点的横坐标是解题的关键．
三、解答题（每题5分，共20分）
15．（5分）解方程：（x﹣2）2﹣2x+4＝0
【分析】利用因式分解法解二元一次方程．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x+4＝0，
变形，得：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
因式分解，得：（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程—因式分解法是解题的关键．
16．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请在图中画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（2）利用平行四边形的定义画出图形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；
（2）如图，满足条件的点D的坐标为（0，0）或（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
17．（5分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：BE＝DE．
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，即，
∴∠B＝∠D，
∴BE＝DE．
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
18．（5分）已知抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0时，Δ＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；
（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x轴有两个交点的坐标．
【解答】（1）∵抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，
∴y＝0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0，则△＝（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，
解得m＜6且m≠2．
即m的取值范围是：m＜6且m≠2．
（2）∵m＜6且m≠2，
∴m满足条件的最大整数是m＝5．
∴y＝3x2+10x+8．
当y＝0时，3x2+10x+8＝0．
解得．
即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0时，△的值有关．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠DBC＝∠OCB，证明OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH＝HC，根据余弦的定义求出BH，进而求出BC，根据正弦的定义求出OH，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB•cos∠OBH＝2，OHOB＝1，
∴BC＝2，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
21
．
【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
20．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【分析】（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有121名感染者列一元二次方程，求解即可；
（2）根据每轮传染人数相同进一步求解即可．
【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
根据题意，可得（1+x）2＝121，
解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；
（2）根据题意，121×10＝1210（名），
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
21．（7分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得结果．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个，
∴摸出小球上的数字是奇数的概率为．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点在函数y＝﹣x+4的图象上的有（1，3），（3，1），共2种，
∴由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．
22．（7分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOPS△AOB，请求出点P的坐标．
【分析】（1）通过图象位置关系解不等式．
（2）用待定系数法法求解析式．
（2）先求△AOB的面积，再求P的坐标．
【解答】解：（1）当y的图象在y＝ax+b图象的下方时，ax+b成立，
∴﹣4＜x＜﹣2．
（2）将A（﹣2，4）代入y得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6．
（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
OC×（yA﹣yB）
6×2
＝6，
∴S△AOP6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0．﹣3）．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（m2）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式，令P＝800可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【解答】解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P，将（400，0.5）代入得：
0.5，
解得k＝200，
∴P，
当P＝800时，800，
∴a＝0.25，
答：P，a＝0.25；
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S＝0.1×0.2＝0.02（m2），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P10000（Pa），
∵10000＞2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
24．（8分）（1）【问题原型】小伟遇到这样一个问题：如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数．小伟是这样思考的：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你计算图①中∠BPC的度数．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB＝2，PC．∠BPC的度数．
【分析】（1）【问题原型】将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，则，得到BP＝BP'，AP′＝PC＝1，∠PBP'＝60°，∠AP'B＝∠BPC，证得△BP'P是等边三角形，求出∠BP'P＝∠PBP'＝60°，，根据勾股定理逆定理证得△AP'P是直角三角形，∠AP'P＝90°，即可求出∠AP'B＝∠APP'+∠BP'P＝150°；
（2）【类比迁移】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，推出BE＝BP＝2，，∠PBE＝90°，∠AEB＝∠BPC，利用勾股定理证得△AEP是直角三角形，求出∠AEB＝∠AEP+∠BEP＝135°，即可得到∠BPC的度数．
【解答】解：（1）【问题原型】将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，
∴△BPC≌△BP′A，
∴BP＝BP'，AP′＝PC＝1，∠PBP'＝60°，∠AP'B＝∠BPC，
∴△BP'P是等边三角形，
∴∠BP'P＝∠PBP'＝60°，，
∵AP'2+PP'2＝1+3＝4＝AP2，
∴△AP'P是直角三角形，∠AP'P＝90°，
∴∠AP'B＝∠APP'+∠BP'P＝150°，
∴∠BPC＝150°；
（2）【类比迁移】如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，
∴△NPC∽△BP′A，
∴BE＝BP＝2，，∠PBE＝90°，∠AEB＝∠BPC，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴∠BEP＝∠EPB＝45°，，
∵AE2+PE2＝2+8＝10＝AP2，
∴△AEP是直角三角形，∠AEP＝90°，
∴∠AEB＝∠AEP+∠BEP＝135°，
∴∠BPC＝135°；
【点评】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 2t （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t；
（3）当0＜t时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述：S．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，比较复杂，此类题要先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，利用数形结合的思想，先确定重叠部分图形的形状，再求其面积．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ﹣3 ， 0 ），B （ 4 ， 0 ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，令y＝0即可解得A、B坐标；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，从而可得△PNQ是等腰直角三角形，PQPN，故求PQPN最大值只需求出PQ最大值，用m表示出PQ即可得答案；
（3）用m表示出△ACQ三边长度，分论讨论即可．
【解答】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a，
∴yx2x+4，
令y＝0得0x2x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：；﹣3，0；4，0；
（2）∵yx2x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQPN，
∴PQPN＝2PQ，
∴PQPN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，m2m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（m2m+4）﹣（﹣m+4）m2m（m﹣2）2，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQPN的最大值为．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC5，AQ，CQ，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3），
②AC＝CQ时，5，解得m或m（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，），
③AQ＝CQ时，，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）．
【点评】本题考查二次函数综合运用，题目较难，解题的关键是表示相关点的坐标从而表示出线段长度，再根据已知列方程求解．
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2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝1 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．x20 D．ax2+bx+c＝0
2．（2分）如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．75°
3．（2分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（ ）
A．15° B．40° C．35° D．75°
4．（2分）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
5．（2分）反比例函数y的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么k值范围是（ ）
A．k＞2 B．k≤2 C．k＜2 D．k≥2
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2022+a﹣b的值是 ．
8．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是 ．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
10．（3分）如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为 cm．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，作B′D∥AC交BC于点D，则∠AB'D＝ ．
12．（3分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ ．
13．（3分）如图，圆锥体的高，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
14．（3分）烟花厂为建党100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
三、解答题（每题5分，共20分）
15．（5分）解方程：（x﹣2）2﹣2x+4＝0
16．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请在图中画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
17．（5分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：BE＝DE．
18．（5分）已知抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
21．（7分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
22．（7分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOPS△AOB，请求出点P的坐标．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（m2）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
24．（8分）（1）【问题原型】小伟遇到这样一个问题：如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数．小伟是这样思考的：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你计算图①中∠BPC的度数．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB＝2，PC．∠BPC的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ， ），B （ ， ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年吉林省松原市前郭县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2）＝1 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．x20 D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、a＝0时是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2分）如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠AOB＝30°，∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．75°
【分析】由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝75°，即可求解．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝（ ）
A．15° B．40° C．35° D．75°
【分析】利用三角形的外角的性质求出∠C，再利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠APD＝∠A+∠C，
又∵∠A＝40°，∠APD＝75°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝75°﹣40°＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2分）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：依题意得：0.3，
解得：x＝7．
故选：C．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）是解题关键．
5．（2分）反比例函数y的图象在每一个象限内y随x的增大而减小，那么k值范围是（ ）
A．k＞2 B．k≤2 C．k＜2 D．k≥2
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的k的值即可．
【解答】解：∵在反比例函数y的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2．
故选：A．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2022+a﹣b的值是 2020 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，可以得到a﹣b的值，然后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+2＝0，
∴a﹣b＝﹣2，
∴2022+a﹣b＝2022﹣2＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
8．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣3或x＞1 ．
【分析】当a＞0时，抛物线开口向上，由题意可知，抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0），（1，0），进而根据图象即可求解．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，
∵方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0），（1，0），
因此抛物线的大致图象为：
由图可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象的特征是解题的关键．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣1且a≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，
解得a＞﹣1且a≠0．
故答案为a＞﹣1且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（3分）如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为 10 cm．
【分析】连接OC交AB于点D，连接OA，根据轴对称的性质可得OC⊥AB，OD＝DCOC＝5cm，再根据垂径定理可得AD＝BD，然后利用勾股定理求出AD，从而求出AB的长．
【解答】解：连接OC交AB于点D，连接OA，
∵折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，
∴OC⊥AB，OD＝DCOC＝5cm，
∴AD＝BDAB，
在Rt△OAD中，OA＝10cm，
∴AD5cm，
∴AB＝2AD＝10cm，
∴弦AB的长度为10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，作B′D∥AC交BC于点D，则∠AB'D＝ 30° ．
【分析】由平行线的性质可得∠C′CA＝∠CAB＝70°，由旋转的性质AC＝AC′，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
∴∠AB'D＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ 8 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算．
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD，
∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k5．
解得k＝8．
故答案是：8．
【点评】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．
13．（3分）如图，圆锥体的高，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是 120° ．
【分析】根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为2πr＝2π，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角．
【解答】解：根据题意得，圆锥的母线长为：3（cm），
设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，，
解得：n＝120，
∴该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长＝展开图扇形弧长，圆锥母线长＝展开图扇形半径，母线长，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．
14．（3分）烟花厂为建党100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 6 s．
【分析】根据题意求得顶点的横坐标即可求解．
【解答】解：依题意，，当时，h取得最大值，
即从点火升空到引爆需要的时间为6s．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得顶点的横坐标是解题的关键．
三、解答题（每题5分，共20分）
15．（5分）解方程：（x﹣2）2﹣2x+4＝0
【分析】利用因式分解法解二元一次方程．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x+4＝0，
变形，得：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
因式分解，得：（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程—因式分解法是解题的关键．
16．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请在图中画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（2）利用平行四边形的定义画出图形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；
（2）如图，满足条件的点D的坐标为（0，0）或（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
17．（5分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：BE＝DE．
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，即，
∴∠B＝∠D，
∴BE＝DE．
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
18．（5分）已知抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0时，Δ＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；
（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x轴有两个交点的坐标．
【解答】（1）∵抛物线y＝（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，
∴y＝0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0，则△＝（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，
解得m＜6且m≠2．
即m的取值范围是：m＜6且m≠2．
（2）∵m＜6且m≠2，
∴m满足条件的最大整数是m＝5．
∴y＝3x2+10x+8．
当y＝0时，3x2+10x+8＝0．
解得．
即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0时，△的值有关．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠DBC＝∠OCB，证明OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH＝HC，根据余弦的定义求出BH，进而求出BC，根据正弦的定义求出OH，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB•cos∠OBH＝2，OHOB＝1，
∴BC＝2，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
21
．
【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
20．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【分析】（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有121名感染者列一元二次方程，求解即可；
（2）根据每轮传染人数相同进一步求解即可．
【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
根据题意，可得（1+x）2＝121，
解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；
（2）根据题意，121×10＝1210（名），
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
21．（7分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得结果．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个，
∴摸出小球上的数字是奇数的概率为．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点在函数y＝﹣x+4的图象上的有（1，3），（3，1），共2种，
∴由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．
22．（7分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOPS△AOB，请求出点P的坐标．
【分析】（1）通过图象位置关系解不等式．
（2）用待定系数法法求解析式．
（2）先求△AOB的面积，再求P的坐标．
【解答】解：（1）当y的图象在y＝ax+b图象的下方时，ax+b成立，
∴﹣4＜x＜﹣2．
（2）将A（﹣2，4）代入y得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6．
（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
OC×（yA﹣yB）
6×2
＝6，
∴S△AOP6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0．﹣3）．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（m2）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式，令P＝800可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【解答】解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P，将（400，0.5）代入得：
0.5，
解得k＝200，
∴P，
当P＝800时，800，
∴a＝0.25，
答：P，a＝0.25；
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S＝0.1×0.2＝0.02（m2），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P10000（Pa），
∵10000＞2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
24．（8分）（1）【问题原型】小伟遇到这样一个问题：如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数．小伟是这样思考的：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你计算图①中∠BPC的度数．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB＝2，PC．∠BPC的度数．
【分析】（1）【问题原型】将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，则，得到BP＝BP'，AP′＝PC＝1，∠PBP'＝60°，∠AP'B＝∠BPC，证得△BP'P是等边三角形，求出∠BP'P＝∠PBP'＝60°，，根据勾股定理逆定理证得△AP'P是直角三角形，∠AP'P＝90°，即可求出∠AP'B＝∠APP'+∠BP'P＝150°；
（2）【类比迁移】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，推出BE＝BP＝2，，∠PBE＝90°，∠AEB＝∠BPC，利用勾股定理证得△AEP是直角三角形，求出∠AEB＝∠AEP+∠BEP＝135°，即可得到∠BPC的度数．
【解答】解：（1）【问题原型】将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP′、PP'，
∴△BPC≌△BP′A，
∴BP＝BP'，AP′＝PC＝1，∠PBP'＝60°，∠AP'B＝∠BPC，
∴△BP'P是等边三角形，
∴∠BP'P＝∠PBP'＝60°，，
∵AP'2+PP'2＝1+3＝4＝AP2，
∴△AP'P是直角三角形，∠AP'P＝90°，
∴∠AP'B＝∠APP'+∠BP'P＝150°，
∴∠BPC＝150°；
（2）【类比迁移】如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，
∴△NPC∽△BP′A，
∴BE＝BP＝2，，∠PBE＝90°，∠AEB＝∠BPC，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴∠BEP＝∠EPB＝45°，，
∵AE2+PE2＝2+8＝10＝AP2，
∴△AEP是直角三角形，∠AEP＝90°，
∴∠AEB＝∠AEP+∠BEP＝135°，
∴∠BPC＝135°；
【点评】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 2t （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t；
（3）当0＜t时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述：S．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，比较复杂，此类题要先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，利用数形结合的思想，先确定重叠部分图形的形状，再求其面积．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ﹣3 ， 0 ），B （ 4 ， 0 ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，令y＝0即可解得A、B坐标；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，从而可得△PNQ是等腰直角三角形，PQPN，故求PQPN最大值只需求出PQ最大值，用m表示出PQ即可得答案；
（3）用m表示出△ACQ三边长度，分论讨论即可．
【解答】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a，
∴yx2x+4，
令y＝0得0x2x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：；﹣3，0；4，0；
（2）∵yx2x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQPN，
∴PQPN＝2PQ，
∴PQPN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，m2m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（m2m+4）﹣（﹣m+4）m2m（m﹣2）2，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQPN的最大值为．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC5，AQ，CQ，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3），
②AC＝CQ时，5，解得m或m（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，），
③AQ＝CQ时，，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）．
【点评】本题考查二次函数综合运用，题目较难，解题的关键是表示相关点的坐标从而表示出线段长度，再根据已知列方程求解．
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