2023-2024学年吉林省松原市前郭县三校联考八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省松原市前郭县三校联考八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.点P(−5,8)关于x轴的对称点是( )
A. (5,8)B. (−5,−8)C. (5,−8)D. (8,5)
3.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，3cm，5cm
C. 2cm，3cm，5cmD. 3cm，5cm，9cm
4.如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB//DE，若∠D=30°，∠DCB=80°，则∠B等于( )
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 130°
5.如图，已知∠DOB=∠COA，补充下列条件后仍不能判定△ABO≌△CDO的是( )
A. ∠D=∠B，OB=ODB. ∠C=∠A，OA=OC
C. OA=OC，OB=ODD. AB=CD，OB=OD
6.如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠B=110°，则∠D等于( )
A. 110°
B. 70°
C. 90°
D. 30°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.若等边三角形的边长为2cm，则它的周长为______cm．
8.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ．
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点D到AB的距离为7cm，则CD=______cm．
10.BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是______．
11.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC=______米．
12.如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有______个．
13.如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边△ADE，则∠AEB= ______．
14.已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，BE=CF，AC=DF，∠A=62°，∠DEF=40°，则∠F=______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180度，求这个多边形的边数．
16.(本小题5分)
如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE=30°，∠CAD=20°，求∠B的度数．
18.(本小题5分)
如图，AB=AC=AD，且AD//BC，∠BAC=20°，求∠D的度数．
19.(本小题7分)
如图，BA⊥DC，FD⊥DC，∠ACF=90°，AB=CD.求证：BD+DF=AB．
20.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的平分线，∠DAC+∠B=90°，且AB⊥AC．
求证：△ADC是等腰三角形．
21.(本小题7分)
如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB．
(1)∠E= ______度；
(2)若ED=CD，AE=BC，求证：AF=BF．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)
(2)在(1)的结果下，连接BB1，AB1，则△A1BB1面积是______；
(3)在对称轴上有一点P，当△PBC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
24.(本小题8分)
如图①所示，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．
(1)如图②所示，若连接AC，则△ADC是______三角形(形状).你是根据哪个判定定理得到的？
答：______.(请写出定理的具体内容)
(2)如图③所示，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．
25.(本小题10分)
如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形.∠BAC=∠DFE=90°，AB=AC，FD=FE，△DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q．
(1)如图①，当E为BC的中点，且BP=CQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当ED经过点A.且BE=CQ时，求∠EAQ的度数．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BC=7，高线AD，BE相交于点O，且AE=BE．
(1)∠ACB与∠AOB的数量关系是______；
(2)试说明：△AEO≌△BEC；
(3)点F是直线AC上的一点且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：点P(−5,8)关于x轴的对称点是(−5,−8)，
故选：B．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3.【答案】B
【解析】解：A、1+2=3，不能摆成三角形；
B、3+3>5，能摆成三角形；
C、2+3=5，不能摆成三角形；
D、3+5<9，不能摆成三角形．
故选：B．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠D=30°，∠DCB=80°，
∴∠E=80°−30°=50°．
∵AB//DE，
∴∠B=180°−∠E=130°．
故选：D．
根据三角形外角的性质求出∠E，再由平行线的性质表示出即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握各知识点是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠DOB=∠COA，
∴∠DOB−∠BOC=∠COA−∠BOC，
即∠DOC=∠BOA，
A、根据∠D=∠B、OB=OD和∠DOC=∠BOA能推出△ABO≌△CDO(ASA)，故本选项不符合题意；
B、根据∠A=∠C、OA=OC和∠DOC=∠BOA能推出△ABO≌△CDO(ASA)，故本选项不符合题意；
C、根据OA=OC、∠DOC=∠BOA和OB=OD能推出△ABO≌△CDO(SAS)，故本选项不符合题意；
D、根据CD=AB、OB=OD和∠DOC=∠BOA不能推出△ABO≌△CDO，故本选项符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
6.【答案】A
【解析】解：由轴对称的性质可知，∠D=∠B，
∵∠B=110°，
∴∠D=110°，
故选：A．
根据轴对称图形对应角相等，即可得到答案．
本题考查了轴对称的性质，能够根据轴对称的性质得到∠D=∠B是解题的关键．
7.【答案】6
【解析】解：∵等边三角形的边长为2cm，
∴周长为2×3=6cm，
故答案为：6．
根据等边三角形三边相等求得答案即可．
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是了解等边三角形的三边相等，难度不大．
8.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
9.【答案】7
【解析】解：作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DC=DE，
∵点D到AB的距离为7cm，
∴DE=7cm，
∴DC=7cm，
故答案为：7．
根据题意和角平分线的性质，可以得到DC与点D到AB的距离相等，从而可以得到CD的长．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】2
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差=(AB+BD+AD)−(BC+BD+CD)=AB−BC，
∵AB=5，BC=3，
∴△ABD和△BCD的周长的差=5−3=2．
故答案为：2．
根据三角形的中线的定义可得AD=CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差=AB−BC．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB−BC是解题的关键．
11.【答案】48
【解析】解：∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=48米，
∴AC=48米．
故答案为：48．
根据等边三角形的判定与性质即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到△ABC是等边三角形．
12.【答案】3
【解析】解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．
∴EF/​/DG，∠E=∠D=60°，
∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，
∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，
∴△MEN，△MDG是等边三角形．
∵∠A=∠B=30°，
∴MA=MB，
∴△ABM是等腰三角形．
∴图中等腰三角形有3个．
等腰三角形的判定，及直角三角形的性质得出．
此题考查了等腰三角形的判定，等角对等边；还考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
13.【答案】15°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=12(180°−∠BAE)=15°，
故答案为：15°．
由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，进而可求得∠AEB=15°．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
14.【答案】78°
【解析】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC与△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠A=∠D=62°，
∴∠F=180°−∠D−∠DEF=180°−62°−40°=78°；
故答案为：78°．
由BE=CF可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF(SSS)，再利用全等三角形的性质得出∠A=∠D=62°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)⋅180°=2×360°+180°，
解得n=7，
答：这个多边形的边数7．
【解析】设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形内角与外角，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
16.【答案】证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
在等边△BDE中，BD=BE，∠DBE=60°，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABE和△CBD中，
AB=AC∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD．
【解析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠ABC=60°，BD=BE，∠DBE=60°，易证△ABE≌△CBD(SAS)，根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了等边三角形的性质，证明△ABE≌△CBD(SAS)是解题的关键．
17.【答案】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=30°−20°=10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°−∠EAD=80°，
∵∠AED=∠B+∠BAE，
∴∠B=80°−30°=50°．
【解析】想办法求出∠AED，再利用三角形的外角的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABD+∠DBC=∠C，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵AD/​/BC，
∴∠DBC=∠D，
∴∠C=2∠D，
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=∠C=80°，
∴∠D=40°．
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，根据平行线的性质得出∠DBC=∠D，求出∠C=2∠D，求出∠C即可．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵∠ACF=90°，BA⊥DC，
∴∠ACD+∠FCD=∠ACD+∠CAB=90°，
即∠FCD=∠CAB，
又∵AB=CD，∠CBA=∠FDC=90°，
∴△ABC≌△CDF(ASA)，
∴BC=DF，
∴AB=CD=BD+BC=BD+DF．
∴BD+DF=AB．
【解析】首先要证明△ABC≌△CDF，然后根据三角形全等的性质得到BC=DF，再根据等量代换的思想得到结论，问题迎刃而解．
本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定方法．
20.【答案】证明：∵AB⊥AC，
∴∠ACB+∠B=90°，
∵∠DAC+∠B=90°，
∴∠DAC=∠BCA，
又∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
即△ADC是等腰三角形．
【解析】根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明∠DAC=∠DCA，再根据等角对等边可得证得．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明∠DAC=∠DCA是解题的关键．
21.【答案】108
【解析】(1)解：∵多边形的内角和公式为：(n−2)⋅180°，
∴五边形ABCDE的内角和为：(5−2)×180°=540°，
又∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠E=540°÷5=108°，
故答案为：108；
(2)证明：连接AD、DB，
在△DEA和△DCB中，
DE=DC∠E=∠CAE=BC，
∴△DEA≌△DCB(SAS)，
∴AD=DB，
∵DF⊥AB，
∴AF=BF．
(1)先根据多边形内角和公式求出该图形的内角和，再利用内角和求∠E即可；
(2)连接AD、DB，然后证明△DEA≌△DCB可得AD=DB，再根据等腰三角形的性质可得AF=BF．
本题主要考查了多边形内角和公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
在Rt△BEC中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
(2)解：△BCD是等边三角形，
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质．
(1)连接BE，由垂直平分线的性质可求得BE=AE，进而推出∠EBC=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论；
(2)由直角三角形斜边上的中线性质可得CD=BD，且∠ABC=60°，可证明△BCD为等边三角形．
23.【答案】4
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A1BB1面积是12×2×4=4，
故答案为：4；
(3)如图所示，点P即为所求．
(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)依据三角形面积公式即可得出结论；
(3)连接B1C，与l的交点即为所求的点P．
此题主要考查了利用轴对称求短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
24.【答案】等边 一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形
【解析】解：(1)∵在△ADC中，AD=AC，
∴△ADC是等腰三角形，
又∵∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形(一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形)；
故答案为：等边；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；
(2)∵由(1)知，△ADC是等边三角形，
∴DC=AC，∠DCA=60°；
又∵△BCE是等边三角形，
∴CB=CE，∠BCE=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，
∴∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△EAC中，
DC=AC∠DCB=∠ACECB=CE，
∴△BDC≌△EAC(SAS)，
∴BD=EA(全等三角形的对应边相等)．
(1)一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可解决问题；
(2)通过全等三角形的判定定理SAS证得△BDC≌△EAC，然后根据全等三角形的对应边相等推知BD=EA．
本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：①三边长度相等；②三个内角度数均为60度；③一个内角为60度的等腰三角形．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵E是BC的中点．
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
BE=CE∠B=∠CBP=CQ，
∴△BPE≌△CQE(SAS)．
(2)解：同理可得∠AEQ=45°，∠B=45°，
∴∠AEB+∠QEC=135°，∠AEB+∠BAE=135°，
∴∠QEC=∠BAE，
在△ABE和△ECQ中，
∠B=∠C∠BAE=∠CEQBE=CQ，
∴△ABE≌△ECQ(AAS)，
∴AE=EQ，
∴∠EAQ=∠EQA=12(180°−∠AEQ)=67.5°．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，由线段中点的定义得到BE=CE，据此利用SAS证明△BPE≌△CQE即可；
(2)只需要证明△ABE≌△ECQ(AAS)，得到AE=EQ，则∠EAQ=∠EQA=12(180°−∠AEQ)=67.5°．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，通过证明三角形全等，进而根据全等三角形对应边相等进行求解是解题的关键．
26.【答案】∠ACB+∠AOB=180°
【解析】(1)解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠DOE=360°−(∠BEC+∠ADC)=180°，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠ACB+∠DOE=180°；
(2)证明：∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=∠ACB+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△AEO和△BEC中，
∠AEO=∠AEC=90°∠CAD=∠CBEAE=BE，
∴△AEO≌△BEC(AAS)；
(3)如图1，
当点F在AC的延长线上时，
∵∠ACB+∠DOE=180°，∠FCQ+∠ACB=180°，
∴∠AOB=∠FCQ，
∵OB=CF，
∴当CQ=OP时，△BOP≌△CFQ，
∴7−4t=t，
∴t=75，
如图2，
同上：△FCQ≌△BOP，
此时CQ=OP，
∴4t−7=t，
∴t=73，
综上所述：当t=75或73时，△BOP与△CFQ全等．
(1)在四边形CDOE中，∠ADC=∠BEC=90°，根据四边形内角和得出∠ACB和DOE互补，进一步求得结果；
(2)全等三个条件是：∠AEO=∠BEC，∠CAD=∠CBE及AE=BE；
(3)分为点F在AC的延长线时，△BOP≌△FCQ，此时CQ=OP，可求得结果；当点F在AC上，点Q带BC的延长线上时，△FCQ≌△BOP，根据CQ=OP可求得另一个值．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面．